2022届高考一轮复习第四章导数专练_零点个数问题1(Word含答案)

第四章导数专练_零点个数问题1

1．已知函数为自然对数的底数）．

（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；

（2）证明：对任意实数，函数有且只有一个零点．

（1）解：，则，

因为函数在上为增函数，

所以在上恒成立，

设，，

当时，，在上单调递增，

则，解得；

当时，令，解得，

则当，时，，单调递减，

当，时，，单调递增，

所以，解得，

综上，实数的取值范围是，．

（2）证明：，，

①当时，时，，

，，单调递减，

又（1），，

所以在时，恰有一个零点；

②当时，，令，可得，恰有一个零点；

③当时，，，

时，，单调递减，

，（1），，

所以在时恰有一个零点．

综上，有且只有一个零点．

2．已知函数．

（1）当时，求证：；

（2）当时，讨论零点的个数．

解：（1）证明：当时，，则，

当时，，单增，当时，，单减，

（1），即得证；

（2）令，则即为，

当，即时，该方程不成立，故不是的零点；

接下来讨论时的情况，当时，方程可化为，

令，则，

当时，，当且仅当时取等号，

当时，，当且仅当时取等号，

当时，，单增，当时，，单减，且当时，，，当时，，当时，，

函数的大致图象如下：

由图象可知，当，即时，只有一个解，则有一个零点，当，即时，有两个解，则有两个零点．

综上，当时，有两个零点，当时，有一个零点．

3．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数恰好有三个零点，求的取值范围．

解：（1）函数的定义域是，

由，

得，

由于，则，即在区间上，，递减，

当时，，，的变化如下：

当时，，即在区间，上，，递减，

综上：当时，在递减，在区间上递增，在，递减，

当时，函数在区间上单调递减．

（2）结合（1）得当时，函数可能存在3个零点，

当时，（1），，，

在区间上恰好存在一个零点，

在区间上存在2个零点，需保证，即，

且此时（1），，

在区间上存在1个零点，同时，，

设，对于函数，，，

故，且，在区间，上存在1个零点，

综上：当时，在区间，，，上各存在1个零点．

4．已知函数．

（1）当时，证明：；

（2）若有两个零点，求实数的取值范围．

1）证明：的定义域为，，

当时，令，解得．

时，，此时函数单调递减；时，，此时函数单调递增．

时，函数取得极小值即最小值，（1），

．

（2）解：①当时，由（1）可知：时，函数取得极小值即最小值（1）．

又由（1）可知：当时，．

要使得函数有两个零点，则（1），解得．

此时（2），，

函数在，，上个有一个零点，满足题意．

②当时，令，解得，或．

可得：

由表格可知：时，函数取得极大值．

令（a），．

则（a），

函数（a）在上单调递增．

（a），（a），

函数在上不可能有两个零点，舍去．．

③当时，．

函数在上单调递增，不可能有两个零点，舍去．

④当时，可得：

可得：时，函数取得极大值（1），

函数不可能有两个零点，舍去．

综上所述可得：若有两个零点，则实数的取值范围为．

5．已知函数，其中．

（1）当，时，证明：；

（2）若函数恒成立，求实数的取值范围；

（3）若函数有两个不同的零点，，证明：．

解：（1）证明：当时，，

，

当时，，在单调递增，

（1），（1）；

（2），则，

令，

当时，又，则，，

当时，△，得，，

故当时，在上单调递增，且（1），

故有，可得，

当时，有△，

此时有2个零点，设为，，且，

又，，故，

在上，为单调递减函数，

故此时有，即，得，

此时不恒成立，

综上：的取值范围是，；

（3）证明：若有2个不同的零点，，不妨设，

则，为的两个零点，且，，

由（2）知此时，并且在，，上单调递增，

在，上单调递减，且（1），

，，，，

，且的图像连续不断，

，，，，，

，

综上：．

6．已知函数，．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若，求证：函数有且仅有1个零点．

解：（1），

，

当时，令，得：；令，得；

当时，令，得：或，

令，得；

因此，当时，在递增，在递减；

当时，在，递减；在递增．

（2）证明：时，，，

时，，时，，时，，

故在递减，在递增，在递减，

又（1），

所以在上无零点，①

设，则，则在递减，在递增，

所以（1），所以．取对数，得，故，

又，

所以，

所以时，，当，即时，．

，故，又（1），的图象在上连续不间断，

所以函数在有且仅有1个零点，②

综合①②，得当时，函数有且仅有1个零点．

7．已知函数为奇函数，曲线在点，（1）处的切线与直线平行．

（Ⅰ）求的解析式及单调区间；

（Ⅱ）讨论的零点个数．

解：（Ⅰ）函数为上的奇函数，所以，即，解得；

又，且曲线在点，（1）处的切线与直线平行，

所以（1），解得，所以．

所以，

令，解得，

所以，，时，，单调递增；

，时，，单调递减；

所以的单调增区间为和，，减区间为，；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的极大值为，

极小值为，

函数的零点，即为与图象的交点；

如图所示：

由图象知，当或时，有1个零点；

当或时，有2个零点；

当时，有3个零点．

8．已知函数，，为自然对数的底数，．

（1）设函数，若在，上为减函数，在，上为增函数，求的取值范围；

（2）求证：函数有唯一零点．

（1）解：，

，

因为，所以令，可得或，令，可得，

所以在，上为增函数，在，上为减函数，在，上为增函数，

因为在，上为减函数，在，上为增函数，

所以，，且，，，

所以，

所以实数的取值范围是，．

（2）证明：令，可得，

设，，

则，，

故在内至少有一个零点，即至少有一个零点．

下面证明至多有一个零点：

，，

令，可得，且为增函数，

所以在内，，为减函数；

在内，，为增函数，

所以，

则恒成立，所以在上为增函数，

所以最多只有一个零点，也最多只有一个零点．

综上所述，有唯一零点．