2023届高三数学一轮复习大题专练16导数讨论函数单调性含解析

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一轮大题专练16—导数（讨论函数单调性）
1．已知，其中为实数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
解：（1）若，则，
，
设曲线在处的切线方程的斜率为，
则，又（1），
所以，在处的切线方程为：，即；
（2），
①当时，，，，，
故在上单调递减，在上单调递增；
同理可得，
②当时，在，上单调递增，在上单调递减；
③当时，在上单调递增；
④当时，在，上单调递增，在上单调递减；
综上所述，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
2．已知函数，讨论的单调性；
解：，
设，则当时，，当时，，
所以在单调递减，在上单调递增；
设，由得或．
①若，则，所以在单调递增，
②若，则，
当，，时，，
当时，，
所以在，单调递增，在单调递减；
③若，则，
当，，时，，
当时，，
所以在，单调递增，在单调递减；
综上：当，在单调递减，在上单调递增，
当，在，单调递增，在单调递减，
当，在单调递增，
当，在，单调递增，在单调递减．
3．已知函数，．
（1）若函数在时取得极值，求的值；
（2）讨论函数的单调性．
解：（1），
，
在处取得极值，
故（1），解得：，
时，，
，
令，解得：或，
令，解得：，
故在递增，在递减，在递增，
故是函数的极大值点，符合题意；
（2）由（1）得，
令，则或，
①时，，
此时在上单调递增，
②时，，
当时，，
当，，时，，
故在递减，在，递增，
③时，，
此时当时，，
当，时，，
在递减，在，递增，
综上：时，在递增，在递减，在递增，
时，在上单调递增，
时，在递增，在递减，在递增．
4．已知函数．
（1）当时，求在，的最大值为自然对数的底数，；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若且，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，
则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
故当时，函数取得唯一的极大值，即最大值，
所以在，的最大值为；
（2）函数的定义域为，
则，
①当，即时，，
此时函数在上单调递增；
②当，即时，
若，则，
令，可得，令，可得，
此时函数在上单调递增，在，上单调递减；
若，则，则，故，
则对恒成立，
此时函数在上单调递减．
综上所述，当若时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在，上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
（3）等价于，即，
令，则，
又，
①当时，对任意的恒成立，符合题意；
②当时，令，可得或（舍，
当，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值（a），
因为，所以，
令（a），则函数（a）在上单调递增，
又（1），故由，可得（a）（1），解得．
综上所述，实数的取值范围为，．
5．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
解：（1），定义域是，
，
当时，，
时，，递增，
时，，递减，
当时，函数时，对称轴为，时，，
△，当△即时，函数即，单调递增，
当△，即时，令，，，
时，，单调递增，
，时，，单调递减，
，时，，单调递增，
当时，△，函数，对称轴，
令，解得：，（舍，
时，，递增，
，时，，递减，
综上，时，在递增，
时，的单调递增区间是，，，递减区间是，，
时，的递增区间是，递减区间是，
时，的递增区间是，递减区间是，；
（2）即，
故，而，则恒成立，
，令，
故，
令，则，，
单调递增，故，递增，
故，即，
则，，，
故时，，递增，
时，，递减，
故的最大值是（2），
故的取值范围是，．
6．已知函数．
（Ⅰ）若，求的最小值；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
解：（Ⅰ）函数的定义域为．
若，则，，
令，得，
随的变化，，的变化情况如下表所示


1



0


单调递减
极小值（1）
单调递增
所以时，的最小值为．（6分）
（Ⅱ）因为，
当时，，
令，得，所以，在区间上单调递增，
令，得，所以，在区间上单调递减．
当时，令，得或，
随的变化，，的变化情况如下表所示




1



0

0


单调递增
（a）
单调递减
（1）
单调递增
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，因为，当且仅当时，，
所以在区间上单调递增．
当时，令，得或，
随的变化，，的变化情况如下表所示


1





0

0


单调递增
（1）
单调递减
（a）
单调递增
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为．
（15分）
7．已知函数，．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）证明：函数为单调递增函数．
解：（1）函数的定义域为，
对函数求导可得，
时，，则，
故，，
故切线方程是：，即；
（2）证明：由第（1）问可得，
令，则，
可知在上，，在上，，
即在上单调递减，在上单调递增，
于是有，即恒成立，
构造函数，则，
可知在上，，在上，，
即在上单调递减，在上单调递增，
于是有，即恒成立，
当时，成立，
综上可得，，
即有，函数为单调递增函数．
88．已知函数，．
（1）当时，求证：；
（2）当时，讨论函数的单调性．
解：（1）证明：当时，，该函数的定义域为，
，
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增．
所以，（2），因此，当时，；
（2）当时，函数的定义域为，
．
①当时，即当时，则．
由可得，由可得．
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
②当时，即当时，
由可得，由可得或．
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、；
③当时，即当时，则对任意的恒成立，
此时，函数的单调递增区间为；
④当时，即当时，
由可得，由可得或．
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、．
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、；
当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、．