2023届高三数学一轮复习大题专练17导数讨论函数单调性

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一轮大题专练17—导数（讨论函数单调性）1．已知，其中为实数．（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）讨论的单调性．解：（1）若，则，，设曲线在处的切线方程的斜率为，则，又（1），所以，在处的切线方程为：，即；（2），①当时，，，，，故在上单调递减，在上单调递增；同理可得，②当时，在，上单调递增，在上单调递减；③当时，在上单调递增；④当时，在，上单调递增，在上单调递减；综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减．2．已知函数，讨论的单调性；解：，设，则当时，，当时，，所以在单调递减，在上单调递增；设，由得或．①若，则，所以在单调递增，②若，则，当，，时，，当时，，所以在，单调递增，在单调递减；③若，则，当，，时，，当时，，所以在，单调递增，在单调递减；综上：当，在单调递减，在上单调递增，当，在，单调递增，在单调递减，当，在单调递增，当，在，单调递增，在单调递减．3．已知函数，．（1）若函数在时取得极值，求的值；（2）讨论函数的单调性．解：（1），，在处取得极值，故（1），解得：，时，，，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在递增，故是函数的极大值点，符合题意；（2）由（1）得，令，则或，①时，，此时在上单调递增，②时，，当时，，当，，时，，故在递减，在，递增，③时，，此时当时，，当，时，，在递减，在，递增，综上：时，在递增，在递减，在递增，时，在上单调递增，时，在递增，在递减，在递增．4．已知函数．（1）当时，求在，的最大值为自然对数的底数，；（2）讨论函数的单调性；（3）若且，求实数的取值范围．解：（1）当时，，则，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，故当时，函数取得唯一的极大值，即最大值，所以在，的最大值为；（2）函数的定义域为，则，①当，即时，，此时函数在上单调递增；②当，即时，若，则，令，可得，令，可得，此时函数在上单调递增，在，上单调递减；若，则，则，故，则对恒成立，此时函数在上单调递减．综上所述，当若时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在，上单调递减；当时，函数在上单调递增；（3）等价于，即，令，则，又，①当时，对任意的恒成立，符合题意；②当时，令，可得或（舍，当，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，取得最大值（a），因为，所以，令（a），则函数（a）在上单调递增，又（1），故由，可得（a）（1），解得．综上所述，实数的取值范围为，．5．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围．解：（1），定义域是，，当时，，时，，递增，时，，递减，当时，函数时，对称轴为，时，，△，当△即时，函数即，单调递增，当△，即时，令，，，时，，单调递增，，时，，单调递减，，时，，单调递增，当时，△，函数，对称轴，令，解得：，（舍，时，，递增，，时，，递减，综上，时，在递增，时，的单调递增区间是，，，递减区间是，，时，的递增区间是，递减区间是，时，的递增区间是，递减区间是，；（2）即，故，而，则恒成立，，令，故，令，则，，单调递增，故，递增，故，即，则，，，故时，，递增，时，，递减，故的最大值是（2），故的取值范围是，．6．已知函数．（Ⅰ）若，求的最小值；（Ⅱ）求函数的单调区间．解：（Ⅰ）函数的定义域为．若，则，，令，得，随的变化，，的变化情况如下表所示10单调递减极小值（1）单调递增所以时，的最小值为．（6分）（Ⅱ）因为，当时，，令，得，所以，在区间上单调递增，令，得，所以，在区间上单调递减．当时，令，得或，随的变化，，的变化情况如下表所示100单调递增（a）单调递减（1）单调递增所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．当时，因为，当且仅当时，，所以在区间上单调递增．当时，令，得或，随的变化，，的变化情况如下表所示100单调递增（1）单调递减（a）单调递增所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为．（15分）7．已知函数，．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）证明：函数为单调递增函数．解：（1）函数的定义域为，对函数求导可得，时，，则，故，，故切线方程是：，即；（2）证明：由第（1）问可得，令，则，可知在上，，在上，，即在上单调递减，在上单调递增，于是有，即恒成立，构造函数，则，可知在上，，在上，，即在上单调递减，在上单调递增，于是有，即恒成立，当时，成立，综上可得，，即有，函数为单调递增函数．88．已知函数，．（1）当时，求证：；（2）当时，讨论函数的单调性．解：（1）证明：当时，，该函数的定义域为，，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增．所以，（2），因此，当时，；（2）当时，函数的定义域为，．①当时，即当时，则．由可得，由可得．此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；②当时，即当时，由可得，由可得或．此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、；③当时，即当时，则对任意的恒成立，此时，函数的单调递增区间为；④当时，即当时，由可得，由可得或．此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、．综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、．