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安徽省合肥市第四十五中学2020-2021学年八年级上学期第三次段考数学【试卷+答案】
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这是一份安徽省合肥市第四十五中学2020-2021学年八年级上学期第三次段考数学【试卷+答案】，共21页。试卷主要包含了下列说法中错误的是，已知等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年安徽省合肥四十五中八年级第一学期第三次段考数学试卷
一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列图形中，不属于轴对称图形的有（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法中错误的是（ ）
A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴
B．关于某条直线对称的两个图形全等
C．全等的三角形一定关于某条直线对称
D．若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称
3．△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，∠A＝30°，则∠DCB的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
4．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
5．已知：在△ABC中，AB＝AC，O为不同于A的一点，且OB＝OC，则直线AO与底边BC的关系为（ ）
A．平行 B．AO垂直且平分BC
C．斜交 D．AO垂直但不平分BC
6．△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC边于点D，∠BDC＝75°，则∠A的度数是（ ）
A．35° B．40° C．70° D．110°
7．如图，∠ACB＝90°，E、F为AB上的点，AE＝AC，BC＝BF，则∠ECF的度数为（ ）
A．45° B．60° C．50° D．30°
8．如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB、下列确定P点的方法正确的是（ ）
A．P为∠A、∠B两角平分线的交点
B．P为AC、AB两边上的高的交点
C．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
D．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
9．如图所示，∠AOB是一个钢架，且∠AOB＝10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF、FG、GH…添加钢管的长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管的根数为（ ）
A．15 B．9 C．8 D．7
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：
①EF＝BE+CF；
②∠BGC＝90°+∠A；
③点G到△ABC各边的距离相等；
④设GD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．
其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10cm，CD＝6cm，则点D到AC的距离为 cm．
12．如图，在△ABC中，BC＝5，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 ．
13．等腰三角形有一个外角是100°，那么它的顶角的度数为 ．
14．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有 个．
15．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一点M，在OA上找一点N，使△PMN周长最小，则此时△PMN的周长为 ．
三.解答题（本大题共6小题，满分50分）
16．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出顶点C1的坐标．
（2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出顶点B2的坐标．
（3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请画出这条对称轴．
17．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，求∠C的度数？
18．如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF＝2CF．
19．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：AD＝DC；
（2）如图2，在上述条件下，若∠A＝∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．
20．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BAD＝20°时，∠EDC＝ °；
（2）当DC等于多少时△ABD≌△DCE？并说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
21．如图，在等腰△ABC中，顶角的平分线BD交AC于点D，AD＝3，作△ABC的高AE交CB的延长线于点E，且AE与BC的长是方程组的解．已知S△ABC＝m（m≠0），求△ABC的周长．
参考答案
一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列图形中，不属于轴对称图形的有（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：选项A、B、C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
2．下列说法中错误的是（ ）
A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴
B．关于某条直线对称的两个图形全等
C．全等的三角形一定关于某条直线对称
D．若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称
【分析】根据轴对称的性质和定义，对选项进行一一分析，选择正确答案．
解：A、成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴，符合轴对称的定义，故正确；
B、关于某条直线对称的两个图形全等，符合轴对称的定义，故正确；
C、全等的三角形一定关于某条直线对称，由于位置关系不确定，不一定关于某条直线对称，故错误；
D、若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称，符合轴对称的定义，故正确．
故选：C．
3．△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，∠A＝30°，则∠DCB的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】由AB＝AC，∠A＝30°，可得∠ABC＝∠ACB＝75°，又DE垂直平分AC，进而解答即可．
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴∠DCA＝30°，
∴∠DCB＝45°，
故选：C．
4．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
【分析】由AC＝AD，BC＝BD，可得点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，可得AB是CD的垂直平分线．
解：∵AC＝AD，BC＝BD，
∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，
∴AB是CD的垂直平分线．
即AB垂直平分CD．
故选：A．
5．已知：在△ABC中，AB＝AC，O为不同于A的一点，且OB＝OC，则直线AO与底边BC的关系为（ ）
A．平行 B．AO垂直且平分BC
C．斜交 D．AO垂直但不平分BC
【分析】根据题中所示，画出图形，利用三角形全等，证明AO是角平分线，再根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
解：连接AO并延长，如图：
在△ABO和△ACO中，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠BAO＝∠CAO，
∴AO垂直且平分BC（等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合）．
故选：B．
6．△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC边于点D，∠BDC＝75°，则∠A的度数是（ ）
A．35° B．40° C．70° D．110°
【分析】根据等腰三角形两底角相等，内角和180°，设出未知量，列出方程求出结果．
解：设∠A的度数是x，则∠C＝∠B＝
∵BD平分∠ABC交AC边于点D
∴∠DBC＝
∴++75＝180°
∴x＝40°
∴∠A的度数是40°
故选：B．
7．如图，∠ACB＝90°，E、F为AB上的点，AE＝AC，BC＝BF，则∠ECF的度数为（ ）
A．45° B．60° C．50° D．30°
【分析】根据等腰三角形的性质得：∠AEC＝∠ACE＝，∠BFC＝∠BCF＝，从而利用∠ECF＝∠BCF+∠ACE﹣∠ACB＝+﹣90°＝45°求解．
解：∵AE＝AC，BC＝BF，
∴∠AEC＝∠ACE＝，∠BFC＝∠BCF＝，
∴∠ECF＝∠BCF+∠ACE﹣∠ACB＝+﹣90°＝45°，
故选：A．
8．如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB、下列确定P点的方法正确的是（ ）
A．P为∠A、∠B两角平分线的交点
B．P为AC、AB两边上的高的交点
C．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
D．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
【分析】根据角平分线及线段垂直平分线的判定定理作答．
解：∵点P到∠A的两边的距离相等，
∴点P在∠A的角平分线上；
又∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴P为∠BAC的角平分线与线段AB的垂直平分线的交点．
故选：D．
9．如图所示，∠AOB是一个钢架，且∠AOB＝10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF、FG、GH…添加钢管的长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管的根数为（ ）
A．15 B．9 C．8 D．7
【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．
解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB＝10°，
∴∠GEF＝∠FGE＝20°，
…
从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．
所以一共有8个．
故选：C．
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：
①EF＝BE+CF；
②∠BGC＝90°+∠A；
③点G到△ABC各边的距离相等；
④设GD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．
其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【分析】①根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G可得出∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF，故可得出BE＝EG，GF＝CF，由此可得出结论；
②先根据角平分线的性质得出∠GBC+∠GCB＝（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；
③根据三角形内心的性质即可得出结论；
④连接AG，根据三角形的面积公式即可得出结论．
解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG．
∵EF∥BC，
∴∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF，
∴∠EBG＝∠EGB，∠FCG＝∠CGF，
∴BE＝EG，GF＝CF，
∴EF＝EG+GF＝BE+CF，故本小题正确；
②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠GBC+∠GCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），
∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故本小题正确；
③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴点G是△ABC的内心，
∴点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确；
④连接AG，
∵点G是△ABC的内心，GD＝m，AE+AF＝n，
∴S△AEF＝AE•GD+AF•GD＝（AE+AF）•GD＝nm，故本小题正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10cm，CD＝6cm，则点D到AC的距离为 4 cm．
【分析】过点D作DE⊥AC于E，根据题意求出BD，根据角平分线的性质解答即可．
解：过点D作DE⊥AC于E，
∵BC＝10cm，CD＝6cm，
∴BD＝10﹣6＝4（cm），
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AC，
∴DE＝BD＝4cm．
故答案为：4．
12．如图，在△ABC中，BC＝5，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 5cm ．
【分析】根据平行线的性质可证的△DPB和△EPC为等腰三角形，从而将△PDE的周长转化为BC的长．
解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝5cm．
即△PDE的周长是5cm．
故答案为：5cm．
13．等腰三角形有一个外角是100°，那么它的顶角的度数为 80°或20° ．
【分析】根据等腰三角形的性质，已知等腰三角形有一个外角为100°，可知道三角形的一个内角．但没有明确是顶角还是底角，所以要根据情况讨论顶角的度数．
解：等腰三角形有一个外角是100°即是已知一个角是80度，这个角可能是顶角，也可能是底角，
当是底角时，顶角是180﹣80﹣80＝20°，因而顶角的度数为80°或20°．
故填80°或20°．
14．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有 4 个．
【分析】分别以A、B为圆心，以AB为半径作圆，再作AB的垂直平分线，即可得出答案．
解：以A为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有一个交点；
同理以B为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有两个交点；
作AB的垂直平分线与BC有一个交点，
即有1+2+1＝4个，
故答案为4．
15．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一点M，在OA上找一点N，使△PMN周长最小，则此时△PMN的周长为 5 ．
【分析】作点P关于OB的对称点C，作P点关于AO的对称点D，连接CD交OA于N，交OB于M，连接MP，NP，OC，OD，当C、M、N、D点共线时，△PMN的周长最小，由题意可知△OCD是等边三角形，则CD＝5即为所求．
解：作点P关于OB的对称点C，作P点关于AO的对称点D，连接CD交OA于N，交OB于M，连接MP，NP，OC，OD，
∴CM＝MP，NP＝DN，
∴PM+PN+MN＝CM+MN+DN≥CD，
∴当C、M、N、D点共线时，△PMN的周长最小，
∵∠BOA＝30°，OP＝OC＝OB，
∴∠COD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OP，
∵P（5，0），
∴OP＝5，
∴CD＝5，
∴△PMN的周长最小值为5，
故答案为：5．
三.解答题（本大题共6小题，满分50分）
16．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出顶点C1的坐标．
（2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出顶点B2的坐标．
（3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请画出这条对称轴．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）根据轴对称图形的性质解决问题即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．A1（0，4），B1（2，2），C1（1，1）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作．A2（6，4），B2（4，2），C2（5，1）．
（3）如图直线l即为所求作．
17．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，求∠C的度数？
【分析】根据三角形外角与外角性质以及等腰三角形的性质．由AB＝AD＝DC可得∠DAC＝∠C，易求解．
解：∵∠BAD＝20°，AB＝AD＝DC，
∴∠ABD＝∠ADB＝80°，
由三角形外角与外角性质可得∠ADC＝180°﹣∠ADB＝100°，
又∵AD＝DC，
∴∠C＝∠ADB＝40°，
∴∠C＝40°．
18．如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF＝2CF．
【分析】利用辅助线，连接AF，求出CF＝AF，∠BAF＝90°，再根据AB＝AC，∠BAC＝120°可求出∠B的度数，由直角三角形的性质即可求出BF＝2AF＝2CF．
【解答】证明：连接AF，（1分）
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝＝30°，（1分）
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，
∴CF＝AF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠FAC＝∠C＝30°（等边对等角），
∴∠BAF＝∠BAC﹣∠FAC＝120°﹣30°＝90°，（1分）
在Rt△ABF中，∠B＝30°，
∴BF＝2AF（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），（1分）
∴BF＝2CF（等量代换）．
19．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：AD＝DC；
（2）如图2，在上述条件下，若∠A＝∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．
【分析】（1）利用平行线的性质以及角平分线的性质得出对应角关系即可得出∠CDB＝∠CBD进而得出AD＝DC，
（2）利用等腰三角形的性质得出点F是BD的中点，再利用直角三角形的性质以及等边三角形的判定得出答案．
【解答】（1）证明：∵DC∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝DC，
又∵AD＝BC，
∴AD＝DC；
（2）△DEF为等边三角形，
证明：∵BC＝DC（已证），CF⊥BD，
∴点F是BD的中点，
∵∠DEB＝90°，∴EF＝DF＝BF．
∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝30°，∠BDE＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
20．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BAD＝20°时，∠EDC＝ 20 °；
（2）当DC等于多少时△ABD≌△DCE？并说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
【分析】（1）根据外角等于不相邻两内角和可解题；
（2）当DC＝AB＝2时，即可求证△ABD≌△DCE；
（3）分类谈论，①若AD＝AE时；②若DA＝DE时，③若EA＝ED时，即可解题．
解：（1）∵∠BAD＝20°，∠B＝40°，
∴∠ADC＝60°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠EDC＝20°．
（2）DC＝AB＝2时，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①若AD＝AE时，则∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴△ADE不可能是等腰三角形；
②若DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
③若EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴当∠BAD＝30°或60°时，△ADE是等腰三角形．
21．如图，在等腰△ABC中，顶角的平分线BD交AC于点D，AD＝3，作△ABC的高AE交CB的延长线于点E，且AE与BC的长是方程组的解．已知S△ABC＝m（m≠0），求△ABC的周长．
【分析】先由等腰三角形三线合一的性质得出AC＝2AD＝6，再解方程组，求得，那么S△ABC＝BC•AE＝（m﹣）•m，而S△ABC＝m，得出方程（m﹣）•m＝m，由m≠0，得出m＝5，然后分BC＝m﹣＝或BC＝m＝5，两种情况进行讨论即可．
解：∵在等腰△ABC中，顶角的平分线BD交AC于点D，AD＝3，
∴AC＝2AD＝6．
解方程组得．
∵S△ABC＝BC•AE＝（m﹣）•m，
∴（m﹣）•m＝m，
∵m≠0，
∴m＝5，
如果BC＝m﹣＝，
∵，，6能够组成三角形，
∴△ABC的周长＝++6＝（不合题意舍去）；
如果BC＝m＝5，
∵5，5，6能够组成三角形，
∴△ABC的周长＝5+5+6＝16．
故△ABC的周长为16．
2020-2021学年安徽省合肥四十五中八年级第一学期第三次段考数学试卷
一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列图形中，不属于轴对称图形的有（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法中错误的是（ ）
A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴
B．关于某条直线对称的两个图形全等
C．全等的三角形一定关于某条直线对称
D．若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称
3．△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，∠A＝30°，则∠DCB的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
4．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
5．已知：在△ABC中，AB＝AC，O为不同于A的一点，且OB＝OC，则直线AO与底边BC的关系为（ ）
A．平行 B．AO垂直且平分BC
C．斜交 D．AO垂直但不平分BC
6．△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC边于点D，∠BDC＝75°，则∠A的度数是（ ）
A．35° B．40° C．70° D．110°
7．如图，∠ACB＝90°，E、F为AB上的点，AE＝AC，BC＝BF，则∠ECF的度数为（ ）
A．45° B．60° C．50° D．30°
8．如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB、下列确定P点的方法正确的是（ ）
A．P为∠A、∠B两角平分线的交点
B．P为AC、AB两边上的高的交点
C．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
D．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
9．如图所示，∠AOB是一个钢架，且∠AOB＝10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF、FG、GH…添加钢管的长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管的根数为（ ）
A．15 B．9 C．8 D．7
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：
①EF＝BE+CF；
②∠BGC＝90°+∠A；
③点G到△ABC各边的距离相等；
④设GD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．
其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10cm，CD＝6cm，则点D到AC的距离为 cm．
12．如图，在△ABC中，BC＝5，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 ．
13．等腰三角形有一个外角是100°，那么它的顶角的度数为 ．
14．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有 个．
15．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一点M，在OA上找一点N，使△PMN周长最小，则此时△PMN的周长为 ．
三.解答题（本大题共6小题，满分50分）
16．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出顶点C1的坐标．
（2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出顶点B2的坐标．
（3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请画出这条对称轴．
17．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，求∠C的度数？
18．如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF＝2CF．
19．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：AD＝DC；
（2）如图2，在上述条件下，若∠A＝∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．
20．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BAD＝20°时，∠EDC＝ °；
（2）当DC等于多少时△ABD≌△DCE？并说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
21．如图，在等腰△ABC中，顶角的平分线BD交AC于点D，AD＝3，作△ABC的高AE交CB的延长线于点E，且AE与BC的长是方程组的解．已知S△ABC＝m（m≠0），求△ABC的周长．
参考答案
一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列图形中，不属于轴对称图形的有（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：选项A、B、C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
2．下列说法中错误的是（ ）
A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴
B．关于某条直线对称的两个图形全等
C．全等的三角形一定关于某条直线对称
D．若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称
【分析】根据轴对称的性质和定义，对选项进行一一分析，选择正确答案．
解：A、成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴，符合轴对称的定义，故正确；
B、关于某条直线对称的两个图形全等，符合轴对称的定义，故正确；
C、全等的三角形一定关于某条直线对称，由于位置关系不确定，不一定关于某条直线对称，故错误；
D、若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称，符合轴对称的定义，故正确．
故选：C．
3．△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，∠A＝30°，则∠DCB的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】由AB＝AC，∠A＝30°，可得∠ABC＝∠ACB＝75°，又DE垂直平分AC，进而解答即可．
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴∠DCA＝30°，
∴∠DCB＝45°，
故选：C．
4．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
【分析】由AC＝AD，BC＝BD，可得点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，可得AB是CD的垂直平分线．
解：∵AC＝AD，BC＝BD，
∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，
∴AB是CD的垂直平分线．
即AB垂直平分CD．
故选：A．
5．已知：在△ABC中，AB＝AC，O为不同于A的一点，且OB＝OC，则直线AO与底边BC的关系为（ ）
A．平行 B．AO垂直且平分BC
C．斜交 D．AO垂直但不平分BC
【分析】根据题中所示，画出图形，利用三角形全等，证明AO是角平分线，再根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
解：连接AO并延长，如图：
在△ABO和△ACO中，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠BAO＝∠CAO，
∴AO垂直且平分BC（等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合）．
故选：B．
6．△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC边于点D，∠BDC＝75°，则∠A的度数是（ ）
A．35° B．40° C．70° D．110°
【分析】根据等腰三角形两底角相等，内角和180°，设出未知量，列出方程求出结果．
解：设∠A的度数是x，则∠C＝∠B＝
∵BD平分∠ABC交AC边于点D
∴∠DBC＝
∴++75＝180°
∴x＝40°
∴∠A的度数是40°
故选：B．
7．如图，∠ACB＝90°，E、F为AB上的点，AE＝AC，BC＝BF，则∠ECF的度数为（ ）
A．45° B．60° C．50° D．30°
【分析】根据等腰三角形的性质得：∠AEC＝∠ACE＝，∠BFC＝∠BCF＝，从而利用∠ECF＝∠BCF+∠ACE﹣∠ACB＝+﹣90°＝45°求解．
解：∵AE＝AC，BC＝BF，
∴∠AEC＝∠ACE＝，∠BFC＝∠BCF＝，
∴∠ECF＝∠BCF+∠ACE﹣∠ACB＝+﹣90°＝45°，
故选：A．
8．如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB、下列确定P点的方法正确的是（ ）
A．P为∠A、∠B两角平分线的交点
B．P为AC、AB两边上的高的交点
C．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
D．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
【分析】根据角平分线及线段垂直平分线的判定定理作答．
解：∵点P到∠A的两边的距离相等，
∴点P在∠A的角平分线上；
又∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴P为∠BAC的角平分线与线段AB的垂直平分线的交点．
故选：D．
9．如图所示，∠AOB是一个钢架，且∠AOB＝10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF、FG、GH…添加钢管的长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管的根数为（ ）
A．15 B．9 C．8 D．7
【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．
解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB＝10°，
∴∠GEF＝∠FGE＝20°，
…
从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．
所以一共有8个．
故选：C．
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：
①EF＝BE+CF；
②∠BGC＝90°+∠A；
③点G到△ABC各边的距离相等；
④设GD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．
其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【分析】①根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G可得出∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF，故可得出BE＝EG，GF＝CF，由此可得出结论；
②先根据角平分线的性质得出∠GBC+∠GCB＝（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；
③根据三角形内心的性质即可得出结论；
④连接AG，根据三角形的面积公式即可得出结论．
解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG．
∵EF∥BC，
∴∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF，
∴∠EBG＝∠EGB，∠FCG＝∠CGF，
∴BE＝EG，GF＝CF，
∴EF＝EG+GF＝BE+CF，故本小题正确；
②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠GBC+∠GCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），
∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故本小题正确；
③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴点G是△ABC的内心，
∴点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确；
④连接AG，
∵点G是△ABC的内心，GD＝m，AE+AF＝n，
∴S△AEF＝AE•GD+AF•GD＝（AE+AF）•GD＝nm，故本小题正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10cm，CD＝6cm，则点D到AC的距离为 4 cm．
【分析】过点D作DE⊥AC于E，根据题意求出BD，根据角平分线的性质解答即可．
解：过点D作DE⊥AC于E，
∵BC＝10cm，CD＝6cm，
∴BD＝10﹣6＝4（cm），
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AC，
∴DE＝BD＝4cm．
故答案为：4．
12．如图，在△ABC中，BC＝5，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 5cm ．
【分析】根据平行线的性质可证的△DPB和△EPC为等腰三角形，从而将△PDE的周长转化为BC的长．
解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝5cm．
即△PDE的周长是5cm．
故答案为：5cm．
13．等腰三角形有一个外角是100°，那么它的顶角的度数为 80°或20° ．
【分析】根据等腰三角形的性质，已知等腰三角形有一个外角为100°，可知道三角形的一个内角．但没有明确是顶角还是底角，所以要根据情况讨论顶角的度数．
解：等腰三角形有一个外角是100°即是已知一个角是80度，这个角可能是顶角，也可能是底角，
当是底角时，顶角是180﹣80﹣80＝20°，因而顶角的度数为80°或20°．
故填80°或20°．
14．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有 4 个．
【分析】分别以A、B为圆心，以AB为半径作圆，再作AB的垂直平分线，即可得出答案．
解：以A为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有一个交点；
同理以B为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有两个交点；
作AB的垂直平分线与BC有一个交点，
即有1+2+1＝4个，
故答案为4．
15．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一点M，在OA上找一点N，使△PMN周长最小，则此时△PMN的周长为 5 ．
【分析】作点P关于OB的对称点C，作P点关于AO的对称点D，连接CD交OA于N，交OB于M，连接MP，NP，OC，OD，当C、M、N、D点共线时，△PMN的周长最小，由题意可知△OCD是等边三角形，则CD＝5即为所求．
解：作点P关于OB的对称点C，作P点关于AO的对称点D，连接CD交OA于N，交OB于M，连接MP，NP，OC，OD，
∴CM＝MP，NP＝DN，
∴PM+PN+MN＝CM+MN+DN≥CD，
∴当C、M、N、D点共线时，△PMN的周长最小，
∵∠BOA＝30°，OP＝OC＝OB，
∴∠COD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OP，
∵P（5，0），
∴OP＝5，
∴CD＝5，
∴△PMN的周长最小值为5，
故答案为：5．
三.解答题（本大题共6小题，满分50分）
16．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出顶点C1的坐标．
（2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出顶点B2的坐标．
（3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请画出这条对称轴．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）根据轴对称图形的性质解决问题即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．A1（0，4），B1（2，2），C1（1，1）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作．A2（6，4），B2（4，2），C2（5，1）．
（3）如图直线l即为所求作．
17．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，求∠C的度数？
【分析】根据三角形外角与外角性质以及等腰三角形的性质．由AB＝AD＝DC可得∠DAC＝∠C，易求解．
解：∵∠BAD＝20°，AB＝AD＝DC，
∴∠ABD＝∠ADB＝80°，
由三角形外角与外角性质可得∠ADC＝180°﹣∠ADB＝100°，
又∵AD＝DC，
∴∠C＝∠ADB＝40°，
∴∠C＝40°．
18．如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF＝2CF．
【分析】利用辅助线，连接AF，求出CF＝AF，∠BAF＝90°，再根据AB＝AC，∠BAC＝120°可求出∠B的度数，由直角三角形的性质即可求出BF＝2AF＝2CF．
【解答】证明：连接AF，（1分）
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝＝30°，（1分）
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，
∴CF＝AF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠FAC＝∠C＝30°（等边对等角），
∴∠BAF＝∠BAC﹣∠FAC＝120°﹣30°＝90°，（1分）
在Rt△ABF中，∠B＝30°，
∴BF＝2AF（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），（1分）
∴BF＝2CF（等量代换）．
19．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：AD＝DC；
（2）如图2，在上述条件下，若∠A＝∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．
【分析】（1）利用平行线的性质以及角平分线的性质得出对应角关系即可得出∠CDB＝∠CBD进而得出AD＝DC，
（2）利用等腰三角形的性质得出点F是BD的中点，再利用直角三角形的性质以及等边三角形的判定得出答案．
【解答】（1）证明：∵DC∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝DC，
又∵AD＝BC，
∴AD＝DC；
（2）△DEF为等边三角形，
证明：∵BC＝DC（已证），CF⊥BD，
∴点F是BD的中点，
∵∠DEB＝90°，∴EF＝DF＝BF．
∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝30°，∠BDE＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
20．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BAD＝20°时，∠EDC＝ 20 °；
（2）当DC等于多少时△ABD≌△DCE？并说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
【分析】（1）根据外角等于不相邻两内角和可解题；
（2）当DC＝AB＝2时，即可求证△ABD≌△DCE；
（3）分类谈论，①若AD＝AE时；②若DA＝DE时，③若EA＝ED时，即可解题．
解：（1）∵∠BAD＝20°，∠B＝40°，
∴∠ADC＝60°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠EDC＝20°．
（2）DC＝AB＝2时，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①若AD＝AE时，则∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴△ADE不可能是等腰三角形；
②若DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
③若EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴当∠BAD＝30°或60°时，△ADE是等腰三角形．
21．如图，在等腰△ABC中，顶角的平分线BD交AC于点D，AD＝3，作△ABC的高AE交CB的延长线于点E，且AE与BC的长是方程组的解．已知S△ABC＝m（m≠0），求△ABC的周长．
【分析】先由等腰三角形三线合一的性质得出AC＝2AD＝6，再解方程组，求得，那么S△ABC＝BC•AE＝（m﹣）•m，而S△ABC＝m，得出方程（m﹣）•m＝m，由m≠0，得出m＝5，然后分BC＝m﹣＝或BC＝m＝5，两种情况进行讨论即可．
解：∵在等腰△ABC中，顶角的平分线BD交AC于点D，AD＝3，
∴AC＝2AD＝6．
解方程组得．
∵S△ABC＝BC•AE＝（m﹣）•m，
∴（m﹣）•m＝m，
∵m≠0，
∴m＝5，
如果BC＝m﹣＝，
∵，，6能够组成三角形，
∴△ABC的周长＝++6＝（不合题意舍去）；
如果BC＝m＝5，
∵5，5，6能够组成三角形，
∴△ABC的周长＝5+5+6＝16．
故△ABC的周长为16．
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