高中数学8.1 成对数据的相关关系精品习题

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8.1成对数据的统计相关性同步练习

人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 有一散点图如图所示，在个数据中去掉后，下列说法正确的是  

A. 残差平方和变小
B. 相关系数变小
C. 相关指数变小
D. 解释变量与预报变量的相关性变弱
 

2. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其线性相关系数比较，正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 如图是相关变量，的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程，相关系数为，则   

A.   B.  
C.   D.   

4. 在下列组样本数据的散点图中，样本相关系数最大的是   

A.   B.  C.  D.

5. 相关系数是度量

A. 两个变量之间线性相关关系的强度
B. 散点图是否显示有意义的模型
C. 两个变量之间是否存在因果关系
D. 两个变量之间是否存在关系

6. 某大型电子商务平台每年都会举行“双”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从年到年共年“双”当天的销售额单位：亿元并作出散点图，将销售额看成以年份序号年作为第年的函数运用软件，分别选择回归直线和三次多项式回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法错误的是   

A. 销售额与年份序号呈正相关关系
B. 根据三次多项式函数可以预测年“双”当天的销售额约为亿元
C. 销售额与年份序号线性相关不显著
D. 三次多项式回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果

7. 下面的散点图与相关系数一定不符合的是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，给出了样本容量均为的，两组样本数据的散点图，已知中两个变量的线性相关系数为，中两个变量的线性相关系数为，则

A.  B.  C.  D. 无法判定

9. 下列说法中正确的是

A. 若回归直线方程为，则与正相关
B. 利用散点图不能直观地判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示
C. 当相关系数满足大于时，认为两个变量有很强的线性相关性
D. 散点图中点越分散，两个变量的相关性越强

10. 下列有关线性回归分析的四个命题：

线性回归直线必过样本数据的中心点；

回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；

当相关性系数时，两个变量正相关；

如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于．

其中真命题的个数为   

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

11. 下列的散点图与相关系数一定不符合的是
     ．

A.  B.  C.  D.

12. 变量，的散点图如图所示，那么，之间的样本相关系数最接近的值是

A.
B.
C.
D.

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 在环境保护部公布的年城市月均浓度排名情况中，某座城市在城的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为某三座城市．

从排名情况看，

在甲、乙两城中，月份名次比月份名次靠前的城市是      ；

在第季度的三个月中，丙城市的名次最靠前的月份是      ．

14. 某工厂共有位工人组装某种零件．如图的散点图反映了工人们组装每个零件所用的工时单位：分钟与人数的分布情况．由散点图可得，这位工人组装每个零件所用工时的中位数为      若将个要组装的零件平均分给每个工人，让他们同时开始组装，则至少要过      分钟后，所有工人都完成组装任务．

15. 假设与之间具有如下的双曲线相关关系：，作变换      ，      ，则模型可转化为线性回归模型：．
16. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费单位：千元对年销售量单位：和年利润单位：千元的影响，对近年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

表中，．

根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型给出判断即可，不必说明理由          

根据的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程          ．

附：对于一组数据，，，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，

17. 某市居民年家庭年平均收入单位：万元与年平均支出单位：万元的统计资料如下表所示：

根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是       ，家庭年平均收入与年平均支出有       相关关系填“正”或“负” 

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 为了了解空气质量指数与参加户外健身运动的人数之间的关系，某校环保小组在暑假期间天进行了一项统计活动：每天记录到体育公园参加户外健身运动的人数，并与当天值从气象部门获取构成组成对数据，其中为当天参加户外健身运动的人数，为当天的值，并制作了如下散点图：

连续天参加健身运动人数与散点图

环保小组准备做与的线性回归分析，算得与的相关系数为，试分析与的线性相关关系？
环保小组还发现散点有分区聚集的特点，尝试作聚类分析．用直线与将散点图分成、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域如图，统计得到各区域的点数分别为、、、，并初步认定“参加户外健身运动的人数不少于与值不大于有关联”，试分析该初步认定的犯错率是否小于？
附：

19. 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮饮料销售量的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的散点图和对比表：
     

从散点图可以发现，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与当天热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，当天卖出去的热饮杯数越少．统计中常用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱，统计学认为，对于变量，，如果，那么负相关很强；如果，那么正相关很强；如果，那么相关性一般；如果，那么相关性较弱．请根据已知数据，判断气温与当天热饮销售杯数相关性的强弱；

请根据已知数据求出气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程；

(ⅱ)记为不超过的最大整数，如，对于(ⅰ)中求出的线性回归方程，将视为气温与当天热饮销售杯数的函数关系．已知气温与当天每杯热饮的销售利润的关系是单位：元，请问当气温为多少时，当天的热饮销售利润总额最大？

参考公式及数据：，，，，，．，，，．






 

一个工厂在某年连续个月每月产品的总成本万元与该月产量万件之间有如下一组数据：

通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；

建立月总成本与月产量之间的回归方程；

通过建立的关于的回归方程，估计某月产量为万件时，此时产品的总成本为多少万元？均精确到

附注：参考数据：，，

参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．






 

20. 某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取名，获取他们本次考试的数学成绩和物理成绩，绘制成如图散点图：
    
    根据散点图可以看出与之间有线性相关关系，但图中有两个异常点，经调查得知，考生由于感冒导致物理考试发挥失常，考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计值：，其中，分别表示这名同学的数学成绩、物理成绩，，，，，与的相关系数．
    若不剔除，两名考生的数据，用组数据作回归分析，设此时与的相关系数为试判断与的大小关系，并说明理由；
    求关于的线性回归方程系数精确到，并估计如果考生加了这次物理考试已知考生的数学成绩为分，物理成绩是多少？精确到个位；
    从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩服从正态分布以剔除后的物理成绩作为样本，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值．试求该地区名考生中，物理成绩位于区间的人数的数学期望．
    附：回归方程中，，，
    若，则，．
    
    
    
    
    
    
    
     
21. 某公司为一所山区小学安装了价值万元的一台饮用水净化设备，每年都要为这台设备支出保养维修费用，我们称之为设备年度保养维修费下表是该公司第年为这台设备支出的年度保养维修费单位：千元的部分数据：

画出散点图如下：

通过计算得与的相关系数由散点图和相关系数的值可知，与的线性相关程度很高．

建立关于的线性回归方程；

若设备年度保养维修费不超过万元就称该设备当年状态正常，根据得到的线性回归方程，估计这台设备有多少年状态正常？

附：，．






 

22. 人均可支配收入是反映一个地区居民收入水平和城市经济发展水平的重要指标，并且对人均消费水平有重大影响，下图是根据国家统计局发布的年上半年居民收入和消费支出情况绘制的，是我国个省区、市年上半年人均可支配收入单位：元与人均消费支出单位：元的散点图．
     

由散点图可以看出，可以用线性回归模型拟合人均消费支出与人均可支配收入的关系，请用相关系数加以说明；

建立关于的线性回归方程精确到；

根据的结论，规定半年人均盈余人均可支配收入人均消费支出不低于元的省区、市达到阶段小康的标准，则估计达到阶段小康标准的省区、市的半年人均可支配收入至少为多少元？

参考数据：

参考公式：相关系数，

回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查利用散点图判断两个变量的关系，属于基础题．
根据去掉点后变量与变量的线性相关性变强进行分析，即可得解．
【解答】
解：从散点图可分析得出：只有点偏离直线远，去掉点，变量与变量的线性相关性变强，所以相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小．
故选：．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查根据散点图判断线性相关系数的大小，属于基础题．
根据相关系数的大小与两变量的相关关系可得．
【解答】
解：当时，两变量是正相关，当时，两变量是负相关，
当，两变量负相关很强，当，两变量正相关很强，
当或，相关性一般，
当，相关性很弱，
由此可得．
故选B．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了利用散点图判断两个变量的相关关系，线性回归直线方程，相关系数，是基础题．
【解答】
解：由图可知变量，负相关，
所以，，
剔除点后，剩下的点的数据更具有线性相关性，更接近，
所以．
故选D．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查散点图与线性相关的的关系，属于基础题．
利用“散点图越接近某一条直线线性相关性越强，相关系数的绝对值越大”判断即可．
【解答】
解：由给出的四组数据的散点图可以看出，图和图是正相关，图和图是负相关，
则，，，，
又根据图和图两组样本数据的散点图知，图中样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，
相关系数为应最接近，
．
故选A．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查两个变量线性相关的强弱的判断，考查相关系数的概念，属于基础题．
根据相关系数的定义，可知相关系数是度量两个变量之间线性相关关系的强度，由此可得结论．
【解答】
解：根据相关系数的定义，可知相关系数是度量两个变量之间线性相关关系的强度，的绝对值越接近于，表示两个变量的线性相关性越强，的绝对值接近于时，表示两个变量之间几乎不存在相关关系，
故选A．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查利用散点图判断两个变量的相关关系，回归直线方程、相关指数以及相关系数的应用，属于基础题．
根据散点分布情况可知销售额与序号呈正相关关系；将代入三次多项式函数即可判断；根据三次多项式回归曲线和回归直线相关指数的大小比较即可判断；由回归直线的相关系数即可判断．
【解答】
解：散点从左下到右上分布，所以销售额与序号呈正相关关系，故A正确；
令，由三次多项式函数得，所以年“双”当天的销售额约为亿元，故B正确；
因为相关系数，且非常接近，故销售额与年份序号线性相关显著，故C错误，
用三次多项式曲线拟合的相关指数，而回归直线拟合的相关指数，相关指数越大拟合效果越好，故D正确；
故选C．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了散点图与相关系数的应用问题，属于基础题．
根据散点图与相关系数的定义，结合题意判断正误即可．
【解答】
解：对于，变量，的散点图从左向右是下降的，所以相关系数，错误；

对于，变量，的散点图从左向右是上升的，所以相关系数，可能正确；
对于，变量，的散点图从左到右是向下的带状分布，所以相关系数，错误；
对于，变量，的散点图从左向右是上升的带状分布，所以相关系数，错误；
综上，散点图与相关系数一定不符合的是．
故选：．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查了散点图与相关系数的应用问题，是基础题．
根据、两组样本数据的散点图分布特征，即可得出、的大小关系．
【解答】解：根据，两组样本数据的散点图可知，
中的点几乎在一条直线上，且两个变量正相关，
中的点分散在一条直线附近，且两个变量正相关，
所以，
故选C．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查命题真假性的判定，涉及相关关系及回归直线方程、相关系数及散点图的应用，属于基础题．
根据散点图和回归分析逐项分析即可．
【解答】
解：选项，因为，所以与负相关，所以A错误；
选项，利用散点图能直观地判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示，所以B错误；
选项，当相关系数满足越大，两个变量相关性越强，所以当相关系数满足大于时，认为两个变量有很强的线性相关性，所以C正确；
选项，散点图中的点越分散，两个变量的相关性越弱，所以D错误．
故选C．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题以命题的真假判断为载体，考查了相关关系，回归分析，相关指数等知识点，难度不大，属于基础题．
根据线性回归方程的几何特征及相关指数的概论，逐一分析四个答案的正误，可得答案．
【解答】
解：线性回归直线必过样本数据的中心点，故正确；
回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，故错误；
当相关性系数时，则两个变量正相关，故正确；
如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于或，故错误．
故真命题的个数为个，
故选：．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了散点图与相关系数，属于基础题．
逐个分析四个散点图，判断相关系数即可．
【解答】
解：对于，变量，的散点图从左向右是下降的，所以相关系数，不符合
对于，变量，的散点图从左向右是上升的，所以相关系数，符合
对于，变量，的散点图从左向右是下降的，所以相关系数，但，不符合
对于，变量，的散点图从左向右是上升的，且分布在一条直线的周围，所以，不符合．
综上，散点图与相关系数一定不符合的是．
故选C．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了相关系数，是基础题目．

根据相关系数以及散点图即可作答．

【解答】

解：因为的绝对值越接近于，表明两个变量的线性相关性越大；的绝对值越接近于，表明两个变量的线性相关性越小，由图知之间没有相关关系，所以的绝对值最接近于．

故选C．

13.【答案】乙

二月份

【解析】

【分析】
本题考查散点图的应用，比较基础．
由题意，乙的横坐标大于纵坐标，故在甲、乙两城中，月份名次比月份名次靠前的城市是乙；
由第个图可找到丙在第个图中的位置，可得在第季度的三个月中，丙城市的名次最靠前的月份是二月份．
【解答】
解：由题意，乙的横坐标大于纵坐标，故在甲、乙两城中，月份名次比月份名次靠前的城市是乙；
由第个图可找到丙在第个图中的位置，丙一月份名次接近名，二月份名次在多名且比一月份名次高，又季度名次是多名，故三月份名次在名左右，
可得在第季度的三个月中，丙城市的名次最靠前的月份是二月份．
故答案为乙；二月份．  

14.【答案】

【解析】解：根据散点图填写下表，

所以这人所用工时中位数是；
个零件平均分给人，每人个，最多用时为分钟；
所以都完成时至少用时分钟．
故答案为：，．
根据散点图得出加工个零件所用工时对应的人数，求出中位数和完成零件时的最多用时即可．
本题考查了利用散点图求数据的中位数以及有关运算问题，是基础题．
 

15.【答案】

【解析】解：与之间具有如下的双曲线相关关系：，
模型转化为线性回归模型：，
所作变换为：，．
故答案为：，．
由模型，转化为线性回归模型：，能求出所作的变换．
本题考查变换的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意位似变换、相似变换的性质的合理运用．
 

16.【答案】 ；

．

【解析】解：根据散点图可知 适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型；
令，先建立关于的线性回归方程式，
由于，，
关于的线性回归方程为，
因此关于的回归方程为．
本题主要考查了散点图以及线性回归方程的求法，考查了学生的分析能力和计算能力，属于中档题．
根据散点图的变化趋势，可得 适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型；
先令，先建立关于的线性回归方程式，再带入数据计算相关参数即可得到结果．
 

17.【答案】

正

【解析】

【分析】
本题考查中位数及相关关系的判断，属于基础题．
根据统计资料中居民年家庭年平均收入可得中位数；由统计资料可知，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，可判断两者之间具有正相关关系．
【解答】
解：根据统计资料，
居民年家庭年平均收入分别为、、、、万元，
居民家庭年平均收入的中位数是；
由相关性知识，根据统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，
因此家庭年平均收入与年平均支出之间具有正相关关系．
故答案为；正．  

18.【答案】解：，与的相关关系为负相关，

且，故线性相关性不强，所以不建议继续做线性回归分析，

得到回归方程，拟合效果也会不理想．

建立列联表如下

代入公式计算得，
查表知，
所以犯错误率在与之间，
即该初步认定的犯错率小于．

【解析】本题主要考查的是线性回归分析及独立性检验，属于中档题．
结合的正负及绝对值与的关系进行分析即可；
由题意得出列联表，进而计算的值，再判断即可．
 

19.【答案】解：因为相关系数，
且．
所以气温与当天热饮销售杯数的负相关很强．
因为回归系数，
，
所以气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程为；
(ⅱ)由题意可知气温与当天热饮销售杯数的关系为，
设气温为时，则当天销售的热饮利润总额为，其中，
即；
易知，，；
故当气温时，当天的热饮销售利润总额最大，且最大为元．
 

【解析】【试题解析】
本题考查了线性回归方程与分段函数应用问题，也考查了相关系数的应用问题，散点图的应用，是中档题．
计算相关系数的值，即可判断气温与当天热饮销售杯数的相关性；
计算回归系数、，写出线性回归方程；
(ⅱ)由题意知气温与的关系式，写出函数的解析式，即它的最大值即可．
 

20.【答案】解：画出散点图：

由已知条件得，
，
这说明与正相关，且相关性很强．
由已知求得，
，
所求回归方程为；
当时，万元，
此时产品的总成本为万元．
 

【解析】本题考查了回归直线方程，相关系数，属于中档题．
先画出散点图，，这说明与正相关，且相关性很强；
由已知求得，，得出回归方程；
把代入回归方程即可得出结果．
 

21.【答案】解：．
理由如下：由图可知，与成正相关关系，
异常点，会降低变量之间的线性相关程度．
个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小．
个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大．
个数据点更贴近其回归直线．
由题中数据可得：，，
所以．
又因为，
所以，
．
所以．
将代入，得，
所以估计同学的物理成绩为分
，，
所以，
又因为，
所以，
因为，
所以，
即该地区本次考试物理成绩位于区间的人数的数学期望为．
 

【解析】本题主要考查回归直线方程，考查正态分布等相关知识，属于中档题．
结合散点图以及相关系数的概念，可得出结论．
根据题中所给数据写出回归直线方程，再令，即可算出答案．
算出，，得到，，所以，因为，即可算出期望．
 

22.【答案】解：，

．

．

线性回归方程为．

设这台设备有年状态正常，由已知得，即．

解得．

估计该设备有年状态正常．

【解析】本题考查散点图以及线性回归方程，属中档题，
根据表格信息求得，，即可得到，，即可求解，
设这台设备有年状态正常，由线性回归方程为，所以，求解即可，
 

23.【答案】解：由题意知，

因为与的相关系数近似为，接近，所以关于的线性相关程度非常高，因此可以用线性回归模型拟合与的关系．

，

，

所以．

半年人均盈余为，

令，得，

故估计达到阶段小康标准的省区、市的半年人均可支配收入至少为元．

【解析】本题考查了回归方程求解与应用，考查了学生的计算能力，属于中档题．
将已知数据代入相关系数的求解公式即可得解；

根据题中数据及参考公式求得，，即可建立关于的线性回归方程；

由题意知半年人均盈余为，得到不等式，解不等式即可．