湖北省武汉市新洲区部分学校2021-2022学年上学期10月联考九年级数学【试卷+答案】

这是一份湖北省武汉市新洲区部分学校2021-2022学年上学期10月联考九年级数学【试卷+答案】，共23页。试卷主要包含了选择题．，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市新洲区部分学校九年级第一学期
联考数学试卷（10月份）
一、选择题．（每小题3分，共30分）
1．二次函数y＝2x2的图象的开口方向是（　　）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
2．将一元二次方程3x2+6x+1＝0化为一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．3，﹣6 B．3，6 C．3，1 D．3x2，6x
3．二次函数y＝（x﹣1）2+2的最小值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
4．已知方程x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则k的值为（　　）
A．6 B．3 C．2 D．1
5．设一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数为x1和x2，则下列结论正确的是（　　）
A．x1+x2＝2 B．x1+x2＝﹣4 C．x1x2＝﹣2 D．x1x2＝4
6．抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（　　）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2
7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是57，则每个支干长出（　　）根小分支．
A．5 B．6 C．7 D．8
8．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2，飞机着陆至停下来共滑行（　　）
A．25米 B．50米 C．625米 D．750米
9．已知抛物线y＝ax2+2ax+c（a＜0），点A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在该抛物线上，下列正确的是（　　）
A．yA＜yB＜yC B．yB＜yA＜yC C．yB＜yC＜yA D．yC＜yB＜yA
10．已知，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，图象与y轴负半轴交点为B，且OB＝OA，若点C（﹣4，b）在抛物线上，则△ABC的面积为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．方程x2﹣1＝0的解为　 　．
12．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的对称轴是直线 　 　．
13．若关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是　 　．
14．若抛物线y＝（m﹣1）x2+2mx+m﹣2的顶点在坐标轴上，则m的值为 　 　．
15．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③b2﹣4ac＞0；④4a+2b+c＞0．其中判断正确的序号是 　 　．

16．如图，等边△ABC边长为4，E是中线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，在点E运动过程中，DF的最小值为 　 　．

三、解答题（共8题，共72分）
17．解方程：x2﹣x﹣3＝0．
18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣4经过第一象限内的定点P．
（1）直接写出点P的坐标 　 　；
（2）当a＝时，求直线y＝﹣x﹣1与抛物线的交点的坐标．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有两个实数根，求k的取值范围．
20．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A、B、C是格点，D为线段AC与网格线的交点，使用无刻度的直尺在网格中完成下列画图．
（1）过B画线段BE，使BE＝BA，且BE⊥BA；
（2）画边AB的中点F；
（3）在BE上画点G，连接DG，使得DG∥AB．

21．已知关于x的一元二次方程（b+c）x2﹣2ax﹣（b﹣c）＝0有两个相等的实数根，且a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若a＝b，设点P为AB边上任意一点，PE⊥BC于E，M为AP的中点，过A作BC的平行线，MD⊥ME交此平行线于D．当点P在线段AB上运动的时候，求的值．

22．如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用25米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边CD上留一个1米宽的门，
（1）若a＝12，问矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为80米2．
（2）问a的值在什么范围时，（1）中的解有两个？一个？无解？
（3）若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到90平方米？

23．四边形ABCD是由等边△ABC和顶角为120°的等腰△ABD排成，将一个60°角顶点放在D处，将60°角绕D点旋转，该60°角两边分别交直线BC、AC于M、N，交直线AB于E、F两点．
（1）当E、F都在线段AB上时（如图1），请证明：BM+AN＝MN；
（2）当点E在边BA的延长线上时（如图2），请你写出线段MB，AN和MN之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（1）的条件下，若AC＝7，AE＝2.1，请直接写出MB的长为 　 　．


24．如图，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式的一般式．
（2）若抛物线上有一点P，满足∠ACO＝∠PCB，求P点坐标．
（3）直线l：y＝kx﹣k+2与抛物线交于E、F两点，当点B到直线l的距离最大时，求△BEF的面积．



参考答案
一、选择题．（每小题3分，共30分）
1．二次函数y＝2x2的图象的开口方向是（　　）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
【分析】根据二次函数二次项的系数的符号确定开口方向即可．
解：∵二次函数y＝2x2的a＝2＞0，
∴开口向上，
故选：A．
2．将一元二次方程3x2+6x+1＝0化为一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．3，﹣6 B．3，6 C．3，1 D．3x2，6x
【分析】根据一元二次方程的一般形式得出一次项系数和二次项系数即可．
解：3x2+6x+1＝0，
所以二次项系数和一次项系数分别为3，6，
故选：B．
3．二次函数y＝（x﹣1）2+2的最小值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】根据二次函数的性质求解．
解：∵y＝（x﹣1）2+2，
∴当x＝1时，函数有最小值2．
故选：D．
4．已知方程x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则k的值为（　　）
A．6 B．3 C．2 D．1
【分析】将x＝2代入方程即可求出k的值．
解：将x＝2代入x2+kx﹣6＝0，
∴4+2k﹣6＝0，
∴k＝1，
故选：D．
5．设一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数为x1和x2，则下列结论正确的是（　　）
A．x1+x2＝2 B．x1+x2＝﹣4 C．x1x2＝﹣2 D．x1x2＝4
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2＝，x1x2＝．
解：这里a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，
根据根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣＝2，x1•x2＝＝﹣4，
故选：A．
6．抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（　　）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2
【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．
解：抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x﹣1）2﹣2，
故选：A．
7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是57，则每个支干长出（　　）根小分支．
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程求得x的值．
解：设每个支干长出的小分支的数目是x根，
根据题意列方程得：x2+x+1＝57，
解得：x＝7或x＝﹣8（不合题意，应舍去）；
∴x＝7；
答：每个支干长出7根小分支．
故选：C．
8．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2，飞机着陆至停下来共滑行（　　）
A．25米 B．50米 C．625米 D．750米
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出s的最大值即可得．
解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣25）2+750，
∴当t＝25时，y取得最大值750，
即飞机着陆后滑行750米才能停下来，
故选：D．
9．已知抛物线y＝ax2+2ax+c（a＜0），点A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在该抛物线上，下列正确的是（　　）
A．yA＜yB＜yC B．yB＜yA＜yC C．yB＜yC＜yA D．yC＜yB＜yA
【分析】根据题意得出抛物线开口向下，对称轴x＝﹣1，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
解：∵抛物线y＝ax2+2ax+c（a＜0），
∴抛物线开口向下，对称轴x＝﹣＝﹣1，
∵点A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yc）在该抛物线上，﹣1＜0＜1，
∴yA＜yB＜yC，
故选：A．
10．已知，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，图象与y轴负半轴交点为B，且OB＝OA，若点C（﹣4，b）在抛物线上，则△ABC的面积为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】先求出点B坐标，然后求出抛物线解析式，将点C坐标代入求出b的值，再根据S△ABC＝S△AOC+S△BOC﹣S△ABO求解．
解：∵y＝a（x+1）2的顶点为（﹣1，0），
∴OA＝OB＝1，
∴点B坐标为（0，﹣1），
把（0，﹣1）代入y＝a（x+1）2得﹣1＝a，
∴y＝﹣（x+1）2，
把（﹣4，b）代入y＝﹣（x+1）2得b＝﹣9，
∴点C坐标为（﹣4，﹣9），
∴S△ABC＝S△AOC+S△BOC﹣S△ABO＝OA•|yC|+OB•|xC|﹣AO•BO＝+﹣＝6．

故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．方程x2﹣1＝0的解为　x1＝1，x2＝﹣1　．
【分析】分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：x2﹣1＝0，
（x+1）（x﹣1）＝0，
x﹣1＝0，x+1＝0，
x1＝1，x2＝﹣1，
故答案为：x1＝1，x2＝﹣1．
12．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的对称轴是直线 　x＝1　．
【分析】由于所给的是二次函数的顶点式，故能直接求出其对称轴．
解：∵y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，
∴此函数的对称轴就是直线x＝1．
故答案为：x＝1．
13．若关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是　k≥﹣1　．
【分析】由于k的取值不确定，故应分k＝0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．
解：（1）当k＝0时，2x﹣1＝0，解得：x＝；
（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x方程kx2+2x﹣1＝0有实根，
∴Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣1，
由（1）和（2）得，k的取值范围是k≥﹣1．
故答案为：k≥﹣1．
14．若抛物线y＝（m﹣1）x2+2mx+m﹣2的顶点在坐标轴上，则m的值为 　0或　．
【分析】当顶点在x轴上时，可知抛物线与x轴只有一个交点，由对应一元二次方程的判别式为0可求得m的值，当顶点在y轴上时，可知一次项系数为0，可求得m的值．
解：当顶点在x轴上时，
令y＝0可得方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣2＝0，则Δ＝0，即（2m）2﹣4×（m﹣1）（m﹣2）＝0，解得m＝；
当顶点在y轴上时，可知其对称轴为y轴，则2m＝0，解得m＝0；
综上可知m的值为0或．
故答案为：0或．
15．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③b2﹣4ac＞0；④4a+2b+c＞0．其中判断正确的序号是 　②③④　．

【分析】利用图象开口方向，对称轴位置和与y轴交点判断①，由对称轴为直线x＝﹣1判断②，由抛物线与x轴交点与Δ的关系判断③，由图象x＝2，y＞0判断④．
解：∵图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵图象与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，①错误．
∵b＝2a，
∴2a﹣b＝0，②正确．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，③正确，
观察图象，当x＝2时，y＞0，
∴④正确．
故答案为：②③④．
16．如图，等边△ABC边长为4，E是中线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，在点E运动过程中，DF的最小值为 　1　．

【分析】取AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质可得CD＝CG，再求出∠DCF＝∠GCE，根据旋转的性质可得CE＝CF，然后利用“边角边”证明△DCF和△GCE全等，再根据全等三角形对应边相等可得DF＝EG，然后根据垂线段最短可得EG⊥AD时最短，再根据∠CAD＝30°求解即可．
解：如图，取AC的中点G，连接EG，

∵旋转角为60°，
∴∠ECD+∠DCF＝60°，
又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，
∴∠DCF＝∠GCE，
∵AD是等边△ABC的对称轴，
∴CD＝BC，
∴CD＝CG，
又∵CE旋转到CF，
∴CE＝CF，
在△DCF和△GCE中，
，
∴△DCF≌△GCE（SAS），
∴DF＝EG，
根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，
此时∵∠CAD＝×60°＝30°，AG＝AC＝×4＝2，
∴EG＝AG＝×2＝1，
∴DF＝1．
故答案为：1．
三、解答题（共8题，共72分）
17．解方程：x2﹣x﹣3＝0．
【分析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得到方程有解，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．
解：x2﹣x﹣3＝0，
∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，
∴方程有两个不等的实数根，
∴x＝，
则x1＝，x2＝．
18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣4经过第一象限内的定点P．
（1）直接写出点P的坐标 　（4，﹣4）　；
（2）当a＝时，求直线y＝﹣x﹣1与抛物线的交点的坐标．
【分析】（1）点P为定点，则定点P的坐标与a无关；
（2）联立方程，解方程组即可求得．
解：（1）∵y＝ax2﹣4ax﹣4＝a（x2﹣4x）﹣4，该函数图象过第一象限内的定点P，
∴x2﹣4x＝0，
解得：x＝4或x＝0（舍去），
则y＝﹣4，
∴点P的坐标是（4，﹣4）；
故答案为：（4，﹣4）．
（2）当a＝时，抛物线为y＝x2﹣2x﹣4，
则，
解得或，
故交点坐标为（﹣2，2）和（3，﹣）．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有两个实数根，求k的取值范围．
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣3）≥0，然后解不等式即可．
解：根据题意得Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣3）≥0，
解得k≤．
20．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A、B、C是格点，D为线段AC与网格线的交点，使用无刻度的直尺在网格中完成下列画图．
（1）过B画线段BE，使BE＝BA，且BE⊥BA；
（2）画边AB的中点F；
（3）在BE上画点G，连接DG，使得DG∥AB．

【分析】（1）利用数形结合的思想作出线段BE即可．
（2）取格点P，Q，连接PQ交AB于点F，点F即为所求．
（3）取格点T，连接BT得到点W，连接DW交BE于点G，线段DG即为所求．
解：（1）如图，线段BE即为所求．
（2）如图，点F即为所求．
（3）如图，线段DG即为所求．

21．已知关于x的一元二次方程（b+c）x2﹣2ax﹣（b﹣c）＝0有两个相等的实数根，且a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若a＝b，设点P为AB边上任意一点，PE⊥BC于E，M为AP的中点，过A作BC的平行线，MD⊥ME交此平行线于D．当点P在线段AB上运动的时候，求的值．

【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（﹣2a）2﹣4（b+c）（c﹣b）＝0，然后根据勾股定理的逆定理得到结论；
（2）作MN⊥AB交AD于N，如图，证明△DMN≌△EMP得到DM＝ME，从而得到的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程（b+c）x2﹣2ax+c﹣b＝0有两个相等实数根，
∴△＝（﹣2a）2﹣4（b+c）（c﹣b）＝0，
整理得a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）作MN⊥AB交AD于N，如图，
∵a＝b，∠ACB＝90°，
∴∠B＝∠BAC＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAM＝∠B＝45°，
∵MN⊥AB，
∴∠ANM＝∠MAN＝45°，
∴MA＝MN，
∵PE⊥BC，
∴∠BPE＝45°，
又∵M为AP的中点，
∴MP＝MA＝MN，
∵∠DNM＝180°﹣45°＝135°，∠MPE＝180°﹣∠BPE＝135°，
∴∠DNM＝∠MPE，
∵DM⊥ME，NM⊥AB，
∴∠DMN＝∠PME，
在△DMN和△EMP中，
，
∴△DMN≌△EMP（ASA），
∴DM＝ME，
∴＝．

22．如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用25米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边CD上留一个1米宽的门，
（1）若a＝12，问矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为80米2．
（2）问a的值在什么范围时，（1）中的解有两个？一个？无解？
（3）若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到90平方米？

【分析】（1）设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为xm，则矩形鸡舍的另一边长为（26﹣2x）m，根据鸡舍面积为80m2，列出方程并解答；
（2）由（1）中求出靠墙的边长为10或16米，则可得出答案；
（3）利用鸡舍面积得出S＝90，得出一元二次方程，根据判别式可得出答案．
解：（1）设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为xm，则矩形鸡舍的另一边长为（26﹣2x）m．
依题意，得x（26﹣2x）＝80，
解得x1＝5，x2＝8．
当x＝5时，26﹣2x＝16＞12（舍去），
当x＝8时，26﹣2x＝10＜12．
答：矩形鸡舍的长为10m，宽为8m．
（2）由（1）知，靠墙的边长为10或16米，
∴当a≥16时，（1）中的解有两个，
当10≤a＜16时，（1）中的解有一个，
当a＜10时，无解．
（3）当S＝90m2，
则x（26﹣2x）＝90，
整理得：x2﹣13x+45＝0，
则Δ＝b2﹣4ac＝169﹣180＝﹣11＜0，
故所围成鸡舍面积不能为90平方米．
答：所围成鸡舍面积不能为90平方米．
23．四边形ABCD是由等边△ABC和顶角为120°的等腰△ABD排成，将一个60°角顶点放在D处，将60°角绕D点旋转，该60°角两边分别交直线BC、AC于M、N，交直线AB于E、F两点．
（1）当E、F都在线段AB上时（如图1），请证明：BM+AN＝MN；
（2）当点E在边BA的延长线上时（如图2），请你写出线段MB，AN和MN之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（1）的条件下，若AC＝7，AE＝2.1，请直接写出MB的长为 　2.8　．


【分析】（1）延长CA，使AH＝BM，利用SAS证明△ADH≌△BDN，得DM＝DH，∠ADH＝∠BDM，再通过SAS证明△HDN≌△MDN，得MN＝NH即可；
（2）在BM上截取BH＝AN，连接DH，由（1）同理可证△ADN≌△BDH（SAS），得DN＝DH，∠ADN＝∠BDH，再证△MDH≌△MDN（SAS），得MN＝MH，从而解决问题；
（3）过点M作MK∥AC交AB于G，交DN于K，可知△BMG是等边三角形，再利用平行线的性质可得MN＝MK，由（1）可证GK＝MK﹣MG＝MN﹣BM＝AN，通过AAS证明△ANE≌△GKE，得AE＝EG＝2.1，从而解决问题．
【解答】（1）证明：延长CA，使AH＝BM，

∵∠DBM＝∠DAN＝90°，AD＝BD，
∴△ADH≌△BDN（SAS），
∴DM＝DH，∠ADH＝∠BDM，
∵∠ADB＝120°，
∴∠HDM＝120°，
∵∠MDN＝60°，
∴∠MDN＝∠NDH＝60°，ND＝ND，
∴△HDN≌△MDN（SAS），
∴MN＝NH，
即MN＝BM+AN；
（2）解：MB＝MN+AN．理由如下：在BM上截取BH＝AN，连接DH，

∵∠DBH＝∠DAN＝90°，AD＝BD，
∴△ADN≌△BDH（SAS），
∴DN＝DH，∠ADN＝∠BDH，
∵∠ADB＝120°，
∴∠HDN＝120°，
∵∠MDN＝60°，
∴∠MDN＝∠MDH＝60°，MD＝MD，
∴△MDH≌△MDN（SAS），
∴MN＝MH，
即MB＝MN+AN；
（3）解：如图，过点M作MK∥AC交AB于G，交DN于K，

∵△ABC是等边三角形，
∴△BMG是等边三角形，
∴BM＝MG＝BG，
由（1）△HDN≌△MDN得：∠HND＝∠MND，
由MK∥AC得：∠HND＝∠MKN，
∴∠MND＝∠MKN，
∴MN＝MK，
∴GK＝MK﹣MG＝MN﹣BM＝AN，
∴AN＝GK，
在△ANE与△GKE中，
，
∴△ANE≌△GKE（AAS），
∴AE＝EG＝2.1，
∵AC＝7，
∴AB＝AC＝7，
∴BG＝AB﹣AE﹣EG＝7﹣2.1﹣2.1＝2.8，
∴BM＝BG＝2.8，
故答案为：2.8．
24．如图，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式的一般式．
（2）若抛物线上有一点P，满足∠ACO＝∠PCB，求P点坐标．
（3）直线l：y＝kx﹣k+2与抛物线交于E、F两点，当点B到直线l的距离最大时，求△BEF的面积．

【分析】（1）把C点坐标代入y＝a（x+1）（x﹣3）中求出a的值即可得到抛物线解析式；
（2）分两种情况，当点P在直线BC的下方时，过点B作BE⊥BC交CP的延长线于点E，过点E作EM⊥x轴于点M，由直角三角形的性质可求得ME，BM长，求出点E的坐标，可求出直线CE的解析式，联立直线和抛物线方程可求出点P的坐标；当点P在直线BC的上方时，过点B作BF⊥BC交CP于点F，同理求出点F的坐标和直线CF的解析式，联立直线和抛物线方程可求得点P的坐标．
（3）求出直线y＝kx﹣k+2恒过定点H（1，2），连接BH，当BH⊥直线l时，点B到直线l的距离最大时，求出此时k的值，可求出点E，F的坐标，则△BEF的面积可求出．
解：（1）把C（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），
得﹣3a＝﹣3，解得a＝1，
所以抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当点P在直线BC的下方时，如图1，过点B作BE⊥BC交CP的延长线于点E，过点E作EM⊥x轴于点M，

∵y＝（x+1）（x﹣3），
∴y＝0时，x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
∵OB＝OC＝3，
∴∠ABC＝45°，BC＝3，
∵∠ACO＝∠PCB，
∴tan，
∴BE＝，
∵∠CBE＝90°，
∴∠MBE＝45°，
∴BM＝ME＝1，
∴E（4，﹣1），
设直线CE的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线CE的解析式为，
∴，
解得，
∴，
当点P在直线BC的上方时，过点B作BF⊥BC交CP于点F，如图2，

同理求出BF＝，FN＝BN＝1，
∴F（2，1），
求出直线CF的解析式为y＝2x﹣3，
∴，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴P（4，5）．
综合以上可得点P的坐标为（4，5）或（）；
（3）∵直线l：y＝kx﹣k+2，
∴y﹣2＝k（x﹣1），
∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，
∴直线y＝kx﹣k+2恒过定点H（1，2），如图3，连接BH，当BH⊥直线l时，点B到直线l的距离最大时，

求出直线BH的解析式为y＝﹣x+3，
∴k＝1，
∴直线l的解析式为y＝x+1，
∴，
解得：，，
∴E（﹣1，0），F（4，5），
∴＝10．