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2021-2022学年湖北省武汉市部分学校九年级（上）期末数学试卷（元月调考）
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这是一份2021-2022学年湖北省武汉市部分学校九年级（上）期末数学试卷（元月调考），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市部分学校九年级（上）期末数学试卷（元月调考）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）有两个事件，事件（1）：购买1张福利彩票，中奖；事件（2）：掷一枚六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6的骰子，向上一面的点数不大于6．下列判断正确的是（ ）
A．（1）（2）都是随机事件
B．（1）（2）都是必然事件
C．（1）是必然事件，（2）是随机事件
D．（1）是随机事件，（2）是必然事件
3．（3分）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
4．（3分）解一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0，配方后正确的是（ ）
A．（x+3）2＝13 B．（x﹣3）2＝5 C．（x﹣3）2＝4 D．（x﹣3）2＝13
5．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向上平移一个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣1 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x+1）2+1
6．（3分）已知一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两根分别为m，n，则m+n﹣mn的值是（ ）
A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣4
7．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币三次，恰有两次正面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a为常数，且a＞0）的图象上有三点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
9．（3分）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）
（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）
A．0.76m B．1.24m C．1.36m D．1.42m
10．（3分）如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G，H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是： ．
12．（3分）如图是由9个小正方形组成的图案，从图中随机取一点，这点在阴影部分的概率是 ．
13．（3分）如图，PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，C为⊙O上异于A，B的一点，连接AC，BC．若∠P＝58°，则∠ACB的大小是 ．
14．（3分）“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3﹣x＝0，它的解是 ．
15．（3分）如图，已知圆锥的母线AB长为40cm，底面半径OB长为10cm，若将绳子一端固定在点B，绕圆锥侧面一周，另一端与点B重合，则这根绳子的最短长度是 ．
16．（3分）下列关于二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣3（m为常数）的结论：
①该函数的图象与x轴总有两个公共点；
②若x＞1时，y随x的增大而增大，则m＝1；
③无论m为何值，该函数的图象必经过一个定点；
④该函数图象的顶点一定不在直线y＝﹣2的上方．
其中正确的是 （填写序号）．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）若关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0有一个根是x＝2，求b的值及方程的另一个根．
18．（8分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D在BC上，已知∠B＝70°，求∠CDE的大小．
19．（8分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．甲从口袋中随机摸取一个小球，记下标号m，然后放回，再由乙从口袋中随机摸取一个小球，记下标号n，组成一个数对（m，n）．
（1）用列表法或画树状图法，写出（m，n）所有可能出现的结果；
（2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各摸取一个小球，小球上标号之和为奇数则甲赢，小球上标号之和为偶数则乙赢．你认为这个游戏规则公平吗？请说明理由．
20．（8分）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论．
（2）证明：PA+PB＝PC．
21．（8分）如图是由小正方形组成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三个格点都在圆上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）画出该圆的圆心O，并画出劣弧的中点D；
（2）画出格点E，使EA为⊙O的一条切线，并画出过点E的另一条切线EF，切点为F．
22．（10分）跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小涵与小军将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小涵拿绳子的手的坐标是（0，1）．身高1.50m的小丽站在绳子的正下方，且距小涵拿绳子的手1m时，绳子刚好经过她的头顶．
（1）求绳子所对应的抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）身高1.70m的小兵，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？
（3）身高1.64m的小伟，站在绳子的正下方，他距小涵拿绳子的手sm，为确保绳子通过他的头顶，请直接写出s的取值范围．
23．（10分）问题背景
如图1，在△ABC与△ADE中，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，则存在一对全等三角形，请直接写出这对全等三角形．
尝试运用
如图2，在等边△ABC中，BC＝12，点D在BC上，以AD为边在其右侧作等边△ADE，F是DE的中点，连接BF，若BD＝4，求BF的长．
拓展创新
如图3，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝12，点D在BC上，以AD为斜边在其右侧作等腰Rt△ADE，连接BE．设BD＝x，BE2＝y，直接写出y关于x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）．
24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点C在y轴右侧的抛物线上，且AC＝BC，求点C的坐标；
（3）如图2，将△ABO绕平面内点P顺时针旋转90°后，得到△DEF（点A，B，O的对应点分别是点D，E，F），D，E两点刚好在抛物线上．
①求点F的坐标；
②直接写出点P的坐标．
2021-2022学年湖北省武汉市部分学校九年级（上）期末数学试卷（元月调考）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A、B、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）有两个事件，事件（1）：购买1张福利彩票，中奖；事件（2）：掷一枚六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6的骰子，向上一面的点数不大于6．下列判断正确的是（ ）
A．（1）（2）都是随机事件
B．（1）（2）都是必然事件
C．（1）是必然事件，（2）是随机事件
D．（1）是随机事件，（2）是必然事件
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
【解答】解：事件（1）：购买1张福利彩票，中奖，这是随机事件；
事件（2）：掷一枚六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6的骰子，向上一面的点数不大于6，这是必然事件；
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
3．（3分）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，
即圆心O到直线l的距离大于圆的半径，
∴直线l和⊙O相离，
∴直线l与⊙O没有公共点．
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．
4．（3分）解一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0，配方后正确的是（ ）
A．（x+3）2＝13 B．（x﹣3）2＝5 C．（x﹣3）2＝4 D．（x﹣3）2＝13
【分析】先把常数项移到等号的另一边，再配方得结论．
【解答】解：方程移项，得x2﹣6x＝4，
方程两边都加9，得x2﹣6x+9＝13，
∴（x﹣3）2＝13．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，掌握配方法的一般步骤是解决本题的关键．
5．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向上平移一个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣1 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x+1）2+1
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：将将抛物线y＝x2向上平移一个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是y＝（x﹣1）2+1．
故选：B．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
6．（3分）已知一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两根分别为m，n，则m+n﹣mn的值是（ ）
A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣4
【分析】先根据根与系数的关系得到m+n＝4，mn＝﹣1，然后利用整体代入的方法求m+n﹣mn的值．
【解答】解：根据题意得m+n＝4，mn＝﹣1，
所以m+n﹣mn＝4﹣（﹣1）＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
7．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币三次，恰有两次正面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画出树状图，再根据概率公式计算即可得．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知共有8种等可能结果，其中恰有两次正面向上的有3种，
所以恰有两次正面向上的概率为，
故选：C．
【点评】本题主要考查画树状图或列表法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
8．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a为常数，且a＞0）的图象上有三点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
【分析】分别计算出自变量为﹣2、1、3对应的函数值，根据a＞0即可得到y1、y2、y3的大小关系．
【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝4a+4a+1＝8a+1，
当x＝1时，y2＝a﹣2a+1＝﹣a+1，
当x＝3时，y3＝9a﹣6a+1＝3a+1，
∵a＞0，
∴8a＞3a＞﹣a，
∴8a+1＞3a+1＞﹣a+1，
∴y1＞y3＞y2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
9．（3分）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）
（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）
A．0.76m B．1.24m C．1.36m D．1.42m
【分析】设雕像的下部高为x m，由黄金分割的定义得＝，求解即可．
【解答】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2﹣x）m，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为2m，
∴＝，
∴x＝﹣1≈1.24，
即该雕像的下部设计高度约是1.24m，
故选：B．
【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
10．（3分）如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G，H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接AG，作线段AG的中垂线和线段HG的中垂线交于点O，连接OG，则点A、G、H三点刚好在以点O为圆心，OG为半径的圆上，然后由等腰直角三角形的性质求得OM的长，再结合勾股定理求得半径的长．
【解答】解：连接AG，作线段AG的中垂线和线段HG的中垂线交于点O，交HG于点K，交EF于点M，连接OG，则点A、G、H三点刚好在以点O为圆心，OG为半径的圆上，
∵∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，
∴AC＝2，EC＝3，EG＝5，
∴AG＝10，
∴点E为线段AG的中点，
∵∠GEF＝45°，OE⊥AG，
∴∠OEF＝45°，
∴△OEM是等腰直角三角形，
∵EF＝5，CD＝3，
∴OK＝5+＝，KG＝，
∴OG＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、圆的内接三角形，解题的关键是利用勾股定理求得三个正方形的对角线的长度．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是： （﹣3，2） ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【解答】解：点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12．（3分）如图是由9个小正方形组成的图案，从图中随机取一点，这点在阴影部分的概率是 ．
【分析】根据几何概率的求法：这点在阴影部分的概率是就是阴影部分的面积与总面积的比值．
【解答】解：由题意可知：由9个小正方形组成的图案，阴影部分有5个小正方形，
所以，从图中随机取一点，这点在阴影部分的概率是．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
13．（3分）如图，PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，C为⊙O上异于A，B的一点，连接AC，BC．若∠P＝58°，则∠ACB的大小是 61°或119° ．
【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，进而求出∠AOB，分点C在优弧AB上、点C′在劣弧AB上两种情况，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：连接OA、OB，
∵PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣58°＝122°，
当点C在优弧AB上时，∠ACB＝∠AOB＝×122°＝61°，
当点C′在劣弧AB上时，∠AC′B＝180°﹣61°＝119°，
故答案为：61°或119°．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
14．（3分）“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3﹣x＝0，它的解是 0或﹣1或1 ．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：x3﹣x＝0，
∴x（x2﹣1）＝0．
∴x（x+1）（x﹣1）＝0．
∴x＝0或x+1＝0或x﹣1＝0．
∴x1＝0，x2＝﹣1，x3＝1．
故答案为：0或﹣1或1．
【点评】本题考查了解高次方程，掌握整式的因式分解是解决本题的关键．
15．（3分）如图，已知圆锥的母线AB长为40cm，底面半径OB长为10cm，若将绳子一端固定在点B，绕圆锥侧面一周，另一端与点B重合，则这根绳子的最短长度是 40cm ．
【分析】首先求出BD的长，再利用勾股定理求出AD以及AC的长即可．
【解答】解：将圆锥沿经过点B的母线展开，连接BC′，
设圆锥侧面展开图的圆心角为n°，
圆锥底面圆周长为2×10π＝20π，
∴＝20π，
解得：n＝90，
∵BA＝AC′＝40，∠BAC′＝90°，
∴BC′＝＝40，
即这根绳子的最短长度是40，
故答案为：40cm．
【点评】此题考查了圆锥的计算；得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的突破点．
16．（3分）下列关于二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣3（m为常数）的结论：
①该函数的图象与x轴总有两个公共点；
②若x＞1时，y随x的增大而增大，则m＝1；
③无论m为何值，该函数的图象必经过一个定点；
④该函数图象的顶点一定不在直线y＝﹣2的上方．
其中正确的是 ①③④ （填写序号）．
【分析】根据Δ＞0可以判断①；求出函数对称轴为x＝m，抛物线开口向上，当x＞m时y随x的增大而增大，可以判断②；把抛物线解析式化为y＝x2﹣2m（x﹣1）﹣3，可以判断③；求出抛物线的顶点纵坐标﹣m2+2m﹣3+2≤0，可以判断④．
【解答】解：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（2m﹣3）＝4m2﹣8m+12＝4（m﹣1）2+8＞0，
∴该函数的图象与x轴总有两个公共点，
故①正确；
∵二次函数图象的对称轴为x＝m，
∴当x＞m时，y随x的增大而增大，
∴m≤1，
故②错误；
∵y＝x2﹣2mx+2m﹣3＝x2﹣2m（x﹣1）﹣3，
当x＝1时，y＝1﹣3＝﹣2，
∴无论m为何值，该函数的图象必经过定点（1，﹣2），
故③正确；
当x＝m时，y＝m2﹣2m2+2m﹣3＝﹣m2+2m﹣3，
∴二次函数图象的顶点为（m，﹣m2+2m﹣3），
∵﹣m2+2m﹣3+2＝﹣m2+2m﹣1＝﹣（m﹣1）2≤0，
∴﹣m2+2m﹣3≤﹣2，
故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）若关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0有一个根是x＝2，求b的值及方程的另一个根．
【分析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得2+t＝﹣b，2t＝﹣2，然后解方程组即可．
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得2+t＝﹣b，2t＝﹣2，
解得t＝﹣1，b＝﹣1，
即b的值为﹣1，方程的另一个根为﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
18．（8分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D在BC上，已知∠B＝70°，求∠CDE的大小．
【分析】由旋转的性质可得AD＝AB，∠B＝∠ADE＝70°，由等腰三角形的性质可求∴∠ABD＝∠ADB＝70°，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴AD＝AB，∠B＝∠ADE＝70°，
∴∠ABD＝∠ADB＝70°，
∴∠CDE＝40°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
19．（8分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．甲从口袋中随机摸取一个小球，记下标号m，然后放回，再由乙从口袋中随机摸取一个小球，记下标号n，组成一个数对（m，n）．
（1）用列表法或画树状图法，写出（m，n）所有可能出现的结果；
（2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各摸取一个小球，小球上标号之和为奇数则甲赢，小球上标号之和为偶数则乙赢．你认为这个游戏规则公平吗？请说明理由．
【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果；
（2）从所有的等可能结果中找到标号之和为奇数和偶数的结果数，计算出甲、乙获胜的概率，比较大小即可得出答案．
【解答】解：（1）画树状图如下：
由树状图知共有9种等可能结果，分别为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）；
（2）不公平，
由树状图知，两个标号之和为奇数的有5种结果，标号之和为偶数的有4种结果，
∴甲赢的概率为，乙赢的概率为，
∵≠，
∴此游戏规则不公平．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论．
（2）证明：PA+PB＝PC．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，根据等边三角形的判定定理证明；
（2）在PC上截取PH＝PA，得到△APH为等边三角形，证明△APB≌△AHC，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可．
【解答】（1）解：△ABC是等边三角形，
理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）证明：在PC上截取PH＝PA，
∵∠APC＝60°，
∴△APH为等边三角形，
∴AP＝AH，∠AHP＝60°，
在△APB和△AHC中，
，
∴△APB≌△AHC（AAS）
∴PB＝HC，
∴PC＝PH+HC＝PA+PB．
【点评】本题考查的是圆周角定理，全等三角形的判定和性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
21．（8分）如图是由小正方形组成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三个格点都在圆上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）画出该圆的圆心O，并画出劣弧的中点D；
（2）画出格点E，使EA为⊙O的一条切线，并画出过点E的另一条切线EF，切点为F．
【分析】（1）连接AC，AC的中点O即为所，取格点M，N，连接MN交格线于等J，连接OJ，延长OJ交⊙O于点D，点D即为所求；
（2）取格点E，作直线AE即可，取格点P，Q交格线于点K，连接AK交⊙O于点F，作直线EF，直线EF即为所求．
【解答】解：（1）如图，点O，点D即为所求；
（2）如图，直线AE，EF即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图．圆周角定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小涵与小军将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小涵拿绳子的手的坐标是（0，1）．身高1.50m的小丽站在绳子的正下方，且距小涵拿绳子的手1m时，绳子刚好经过她的头顶．
（1）求绳子所对应的抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）身高1.70m的小兵，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？
（3）身高1.64m的小伟，站在绳子的正下方，他距小涵拿绳子的手sm，为确保绳子通过他的头顶，请直接写出s的取值范围．
【分析】（1）设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），把（0，1），（4，1），（1，1.5）代入，得到三元一次方程组，解方程组即可；
（2）由自变量的值求出函数值，再比较便可；
（3）由y＝1.64时求出其自变量的值，便可确定s的取值范围．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），
∴抛物线经过点（0，1），（4，1），（1，1.5），
∴，
解得，
∴绳子对应的抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+1；
（2）不能，
理由：∵y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣2）2+，
∵a＝﹣＜0，
∴y有最大值＝m，
∵1.70m＞m，
∴身高1.70m的小兵，站在绳子的正下方，绳子不能通过他的头顶；
（3）当y＝1.64时，﹣x2+x+1＝1.64，
解得x1＝2.4，x2＝1.6，
∴1.6＜s＜2.4．
故s的取值范围为1.6＜s＜2.4．
【点评】本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的解析式由自变量求函数值，由函数值确定自变量等知识判定实际问题，关键是确定抛物线上点的坐标，和应用二次函数解析式解决实际问题．
23．（10分）问题背景
如图1，在△ABC与△ADE中，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，则存在一对全等三角形，请直接写出这对全等三角形．
尝试运用
如图2，在等边△ABC中，BC＝12，点D在BC上，以AD为边在其右侧作等边△ADE，F是DE的中点，连接BF，若BD＝4，求BF的长．
拓展创新
如图3，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝12，点D在BC上，以AD为斜边在其右侧作等腰Rt△ADE，连接BE．设BD＝x，BE2＝y，直接写出y关于x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）．
【分析】问题背景：由“SAS”可证△BAD≌△CAE；
尝试运用：由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD＝CE＝4，∠ABD＝∠ACE＝60°，由三角形中位线定理可求FH＝2，FH∥EC，由勾股定理可求解；
拓展创新：通过证明△ABD∽△AHE，可得∠AHE＝∠ABD＝45°，，可得HE＝x，由等腰直角三角形的性质可求EN，HN的长，由勾股定理可求解．
【解答】解：问题背景：△BAD≌△CAE，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
尝试运用：如图2，连接CE，取DC中点H，连接FH，过点F作FN⊥CD于N，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°＝∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE＝4，∠ABD＝∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝120°，
∵BC＝12，BD＝4，
∴CD＝8，
∵点H是CD中点，
∴DH＝CH＝4，
又∵点F是DE的中点，
∴FH＝CE＝2，FH∥EC，
∴∠DHF＝∠BCE＝120°，
∴∠FHC＝60°，
∵FN⊥CD，
∴∠HFN＝30°，
∴HN＝FH＝1，FN＝HN＝，
∴BN＝9，
∴BF＝＝＝2；
拓展创新：如图3，过点A作AH⊥BC于点H，连接HE，过点E作EN⊥BC于点N，
在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝12，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝AH＝6，∠BAH＝∠ABH＝45°，
∴AB＝AH，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE，∠DAE＝45°，AD＝AE，
∴∠DAE＝∠BAH，
∴∠BAD＝∠HAE，
又∵＝，
∴△ABD∽△AHE，
∴∠AHE＝∠ABD＝45°，，
∴∠EHN＝45°，HE＝x，
∵EN⊥BC，
∴∠HEN＝∠EHN＝45°，
∴EN＝HN，
∴EH＝EN，
∴EN＝x＝HN，
∵BE2＝EN2+BN2，
∴y＝x2+（6+x）2＝x2+6x+36．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键．
24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点C在y轴右侧的抛物线上，且AC＝BC，求点C的坐标；
（3）如图2，将△ABO绕平面内点P顺时针旋转90°后，得到△DEF（点A，B，O的对应点分别是点D，E，F），D，E两点刚好在抛物线上．
①求点F的坐标；
②直接写出点P的坐标．
【分析】（1）令y＝0，可求A点坐标，令x＝0，可求B点坐标；
（2）由题意可知C点在AB的垂直平分线与抛物线的交点处，证明∠ABO＝∠HGA，再由三角函数sin∠ABO＝＝，可求G点坐标，进而求出直线HC的解析式y＝﹣x+，联立即可求C点坐标；
（3）①设E（t，﹣t2+t+2），则F（t﹣2，﹣t2+t+2），D（t﹣2，﹣t2+t+3），再由D点在抛物线上，可求t＝3，则F（1，2）；
②过点P作PN⊥x轴交于点N，交EF于点M，证明△FMP≌△PNO（AAS），则PM+PN＝2，设P（m，2﹣m），OP2＝2m2﹣4m+4，再由OF2＝2OP2，可得5＝2（2m2﹣4m+4），即可求P（，）．
【解答】解：（1）令y＝0，0＝﹣x2+x+2，
∴x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），
令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2）；
（2）∵AC＝BC，
∴C点在AB的垂直平分线上，
∵A（﹣1，0），B（0，2），
∴AB的中点H（﹣，1），
∵∠AHG＝90°，
∴∠HAG+∠HGA＝90°，∠BAG+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠HGA，
∵AB＝，
∴AH＝，
∵sin∠ABO＝＝，
∴sin∠AGH＝＝，
∴AG＝，
∴OG＝，
∴G（，0），
设直线HC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+，
联立，
解得x＝2±，
∵C点在y轴右侧，
∴x＝2+，
∴C（2+，﹣﹣）；
（3）①如图2，设E（t，﹣t2+t+2），
∵OA＝1，OB＝2，
∴F（t﹣2，﹣t2+t+2），D（t﹣2，﹣t2+t+3），
∵D点在抛物线上，
∴﹣t2+t+3＝﹣（t﹣2）2+（t﹣2）+2，
∴t＝3，
∴F（1，2）；
②过点P作PN⊥x轴交于点N，交EF于点M，
∵∠OPF＝90°，
∴∠FPM+∠OPN＝90°，
∵∠FPM+∠MFP＝90°，FP＝OP，
∴△FMP≌△PNO（AAS），
∴FM＝PN，PM＝ON，
∵F（1，2），
∴PM+PN＝2，
设P（m，2﹣m），
∴OP2＝m2+（2﹣m）2＝2m2﹣4m+4，
∵PO＝FP，
∴OF2＝2OP2，
∴5＝2（2m2﹣4m+4），
∴m＝或m＝，
∴P（，）或P（，），
∵①结论可知F（1，2），PO＝FP，
∴P（，）舍去，
∴P（，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，旋转的性质，线段垂直平分线的性质，数形结合解题是关键．
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2021-2022学年湖北省武汉市部分学校九年级（上）期末数学试卷（元月调考）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）有两个事件，事件（1）：购买1张福利彩票，中奖；事件（2）：掷一枚六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6的骰子，向上一面的点数不大于6．下列判断正确的是（ ）
A．（1）（2）都是随机事件
B．（1）（2）都是必然事件
C．（1）是必然事件，（2）是随机事件
D．（1）是随机事件，（2）是必然事件
3．（3分）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
4．（3分）解一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0，配方后正确的是（ ）
A．（x+3）2＝13 B．（x﹣3）2＝5 C．（x﹣3）2＝4 D．（x﹣3）2＝13
5．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向上平移一个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣1 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x+1）2+1
6．（3分）已知一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两根分别为m，n，则m+n﹣mn的值是（ ）
A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣4
7．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币三次，恰有两次正面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a为常数，且a＞0）的图象上有三点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
9．（3分）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）
（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）
A．0.76m B．1.24m C．1.36m D．1.42m
10．（3分）如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G，H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是： ．
12．（3分）如图是由9个小正方形组成的图案，从图中随机取一点，这点在阴影部分的概率是 ．
13．（3分）如图，PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，C为⊙O上异于A，B的一点，连接AC，BC．若∠P＝58°，则∠ACB的大小是 ．
14．（3分）“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3﹣x＝0，它的解是 ．
15．（3分）如图，已知圆锥的母线AB长为40cm，底面半径OB长为10cm，若将绳子一端固定在点B，绕圆锥侧面一周，另一端与点B重合，则这根绳子的最短长度是 ．
16．（3分）下列关于二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣3（m为常数）的结论：
①该函数的图象与x轴总有两个公共点；
②若x＞1时，y随x的增大而增大，则m＝1；
③无论m为何值，该函数的图象必经过一个定点；
④该函数图象的顶点一定不在直线y＝﹣2的上方．
其中正确的是 （填写序号）．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）若关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0有一个根是x＝2，求b的值及方程的另一个根．
18．（8分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D在BC上，已知∠B＝70°，求∠CDE的大小．
19．（8分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．甲从口袋中随机摸取一个小球，记下标号m，然后放回，再由乙从口袋中随机摸取一个小球，记下标号n，组成一个数对（m，n）．
（1）用列表法或画树状图法，写出（m，n）所有可能出现的结果；
（2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各摸取一个小球，小球上标号之和为奇数则甲赢，小球上标号之和为偶数则乙赢．你认为这个游戏规则公平吗？请说明理由．
20．（8分）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论．
（2）证明：PA+PB＝PC．
21．（8分）如图是由小正方形组成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三个格点都在圆上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）画出该圆的圆心O，并画出劣弧的中点D；
（2）画出格点E，使EA为⊙O的一条切线，并画出过点E的另一条切线EF，切点为F．
22．（10分）跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小涵与小军将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小涵拿绳子的手的坐标是（0，1）．身高1.50m的小丽站在绳子的正下方，且距小涵拿绳子的手1m时，绳子刚好经过她的头顶．
（1）求绳子所对应的抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）身高1.70m的小兵，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？
（3）身高1.64m的小伟，站在绳子的正下方，他距小涵拿绳子的手sm，为确保绳子通过他的头顶，请直接写出s的取值范围．
23．（10分）问题背景
如图1，在△ABC与△ADE中，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，则存在一对全等三角形，请直接写出这对全等三角形．
尝试运用
如图2，在等边△ABC中，BC＝12，点D在BC上，以AD为边在其右侧作等边△ADE，F是DE的中点，连接BF，若BD＝4，求BF的长．
拓展创新
如图3，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝12，点D在BC上，以AD为斜边在其右侧作等腰Rt△ADE，连接BE．设BD＝x，BE2＝y，直接写出y关于x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）．
24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点C在y轴右侧的抛物线上，且AC＝BC，求点C的坐标；
（3）如图2，将△ABO绕平面内点P顺时针旋转90°后，得到△DEF（点A，B，O的对应点分别是点D，E，F），D，E两点刚好在抛物线上．
①求点F的坐标；
②直接写出点P的坐标．
2021-2022学年湖北省武汉市部分学校九年级（上）期末数学试卷（元月调考）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A、B、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）有两个事件，事件（1）：购买1张福利彩票，中奖；事件（2）：掷一枚六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6的骰子，向上一面的点数不大于6．下列判断正确的是（ ）
A．（1）（2）都是随机事件
B．（1）（2）都是必然事件
C．（1）是必然事件，（2）是随机事件
D．（1）是随机事件，（2）是必然事件
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
【解答】解：事件（1）：购买1张福利彩票，中奖，这是随机事件；
事件（2）：掷一枚六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6的骰子，向上一面的点数不大于6，这是必然事件；
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
3．（3分）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，
即圆心O到直线l的距离大于圆的半径，
∴直线l和⊙O相离，
∴直线l与⊙O没有公共点．
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．
4．（3分）解一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0，配方后正确的是（ ）
A．（x+3）2＝13 B．（x﹣3）2＝5 C．（x﹣3）2＝4 D．（x﹣3）2＝13
【分析】先把常数项移到等号的另一边，再配方得结论．
【解答】解：方程移项，得x2﹣6x＝4，
方程两边都加9，得x2﹣6x+9＝13，
∴（x﹣3）2＝13．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，掌握配方法的一般步骤是解决本题的关键．
5．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向上平移一个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣1 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x+1）2+1
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：将将抛物线y＝x2向上平移一个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是y＝（x﹣1）2+1．
故选：B．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
6．（3分）已知一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两根分别为m，n，则m+n﹣mn的值是（ ）
A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣4
【分析】先根据根与系数的关系得到m+n＝4，mn＝﹣1，然后利用整体代入的方法求m+n﹣mn的值．
【解答】解：根据题意得m+n＝4，mn＝﹣1，
所以m+n﹣mn＝4﹣（﹣1）＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
7．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币三次，恰有两次正面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画出树状图，再根据概率公式计算即可得．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知共有8种等可能结果，其中恰有两次正面向上的有3种，
所以恰有两次正面向上的概率为，
故选：C．
【点评】本题主要考查画树状图或列表法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
8．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a为常数，且a＞0）的图象上有三点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
【分析】分别计算出自变量为﹣2、1、3对应的函数值，根据a＞0即可得到y1、y2、y3的大小关系．
【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝4a+4a+1＝8a+1，
当x＝1时，y2＝a﹣2a+1＝﹣a+1，
当x＝3时，y3＝9a﹣6a+1＝3a+1，
∵a＞0，
∴8a＞3a＞﹣a，
∴8a+1＞3a+1＞﹣a+1，
∴y1＞y3＞y2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
9．（3分）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）
（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）
A．0.76m B．1.24m C．1.36m D．1.42m
【分析】设雕像的下部高为x m，由黄金分割的定义得＝，求解即可．
【解答】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2﹣x）m，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为2m，
∴＝，
∴x＝﹣1≈1.24，
即该雕像的下部设计高度约是1.24m，
故选：B．
【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
10．（3分）如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G，H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接AG，作线段AG的中垂线和线段HG的中垂线交于点O，连接OG，则点A、G、H三点刚好在以点O为圆心，OG为半径的圆上，然后由等腰直角三角形的性质求得OM的长，再结合勾股定理求得半径的长．
【解答】解：连接AG，作线段AG的中垂线和线段HG的中垂线交于点O，交HG于点K，交EF于点M，连接OG，则点A、G、H三点刚好在以点O为圆心，OG为半径的圆上，
∵∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，
∴AC＝2，EC＝3，EG＝5，
∴AG＝10，
∴点E为线段AG的中点，
∵∠GEF＝45°，OE⊥AG，
∴∠OEF＝45°，
∴△OEM是等腰直角三角形，
∵EF＝5，CD＝3，
∴OK＝5+＝，KG＝，
∴OG＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、圆的内接三角形，解题的关键是利用勾股定理求得三个正方形的对角线的长度．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是： （﹣3，2） ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【解答】解：点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12．（3分）如图是由9个小正方形组成的图案，从图中随机取一点，这点在阴影部分的概率是 ．
【分析】根据几何概率的求法：这点在阴影部分的概率是就是阴影部分的面积与总面积的比值．
【解答】解：由题意可知：由9个小正方形组成的图案，阴影部分有5个小正方形，
所以，从图中随机取一点，这点在阴影部分的概率是．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
13．（3分）如图，PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，C为⊙O上异于A，B的一点，连接AC，BC．若∠P＝58°，则∠ACB的大小是 61°或119° ．
【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，进而求出∠AOB，分点C在优弧AB上、点C′在劣弧AB上两种情况，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：连接OA、OB，
∵PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣58°＝122°，
当点C在优弧AB上时，∠ACB＝∠AOB＝×122°＝61°，
当点C′在劣弧AB上时，∠AC′B＝180°﹣61°＝119°，
故答案为：61°或119°．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
14．（3分）“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3﹣x＝0，它的解是 0或﹣1或1 ．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：x3﹣x＝0，
∴x（x2﹣1）＝0．
∴x（x+1）（x﹣1）＝0．
∴x＝0或x+1＝0或x﹣1＝0．
∴x1＝0，x2＝﹣1，x3＝1．
故答案为：0或﹣1或1．
【点评】本题考查了解高次方程，掌握整式的因式分解是解决本题的关键．
15．（3分）如图，已知圆锥的母线AB长为40cm，底面半径OB长为10cm，若将绳子一端固定在点B，绕圆锥侧面一周，另一端与点B重合，则这根绳子的最短长度是 40cm ．
【分析】首先求出BD的长，再利用勾股定理求出AD以及AC的长即可．
【解答】解：将圆锥沿经过点B的母线展开，连接BC′，
设圆锥侧面展开图的圆心角为n°，
圆锥底面圆周长为2×10π＝20π，
∴＝20π，
解得：n＝90，
∵BA＝AC′＝40，∠BAC′＝90°，
∴BC′＝＝40，
即这根绳子的最短长度是40，
故答案为：40cm．
【点评】此题考查了圆锥的计算；得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的突破点．
16．（3分）下列关于二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣3（m为常数）的结论：
①该函数的图象与x轴总有两个公共点；
②若x＞1时，y随x的增大而增大，则m＝1；
③无论m为何值，该函数的图象必经过一个定点；
④该函数图象的顶点一定不在直线y＝﹣2的上方．
其中正确的是 ①③④ （填写序号）．
【分析】根据Δ＞0可以判断①；求出函数对称轴为x＝m，抛物线开口向上，当x＞m时y随x的增大而增大，可以判断②；把抛物线解析式化为y＝x2﹣2m（x﹣1）﹣3，可以判断③；求出抛物线的顶点纵坐标﹣m2+2m﹣3+2≤0，可以判断④．
【解答】解：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（2m﹣3）＝4m2﹣8m+12＝4（m﹣1）2+8＞0，
∴该函数的图象与x轴总有两个公共点，
故①正确；
∵二次函数图象的对称轴为x＝m，
∴当x＞m时，y随x的增大而增大，
∴m≤1，
故②错误；
∵y＝x2﹣2mx+2m﹣3＝x2﹣2m（x﹣1）﹣3，
当x＝1时，y＝1﹣3＝﹣2，
∴无论m为何值，该函数的图象必经过定点（1，﹣2），
故③正确；
当x＝m时，y＝m2﹣2m2+2m﹣3＝﹣m2+2m﹣3，
∴二次函数图象的顶点为（m，﹣m2+2m﹣3），
∵﹣m2+2m﹣3+2＝﹣m2+2m﹣1＝﹣（m﹣1）2≤0，
∴﹣m2+2m﹣3≤﹣2，
故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）若关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0有一个根是x＝2，求b的值及方程的另一个根．
【分析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得2+t＝﹣b，2t＝﹣2，然后解方程组即可．
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得2+t＝﹣b，2t＝﹣2，
解得t＝﹣1，b＝﹣1，
即b的值为﹣1，方程的另一个根为﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
18．（8分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D在BC上，已知∠B＝70°，求∠CDE的大小．
【分析】由旋转的性质可得AD＝AB，∠B＝∠ADE＝70°，由等腰三角形的性质可求∴∠ABD＝∠ADB＝70°，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴AD＝AB，∠B＝∠ADE＝70°，
∴∠ABD＝∠ADB＝70°，
∴∠CDE＝40°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
19．（8分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．甲从口袋中随机摸取一个小球，记下标号m，然后放回，再由乙从口袋中随机摸取一个小球，记下标号n，组成一个数对（m，n）．
（1）用列表法或画树状图法，写出（m，n）所有可能出现的结果；
（2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各摸取一个小球，小球上标号之和为奇数则甲赢，小球上标号之和为偶数则乙赢．你认为这个游戏规则公平吗？请说明理由．
【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果；
（2）从所有的等可能结果中找到标号之和为奇数和偶数的结果数，计算出甲、乙获胜的概率，比较大小即可得出答案．
【解答】解：（1）画树状图如下：
由树状图知共有9种等可能结果，分别为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）；
（2）不公平，
由树状图知，两个标号之和为奇数的有5种结果，标号之和为偶数的有4种结果，
∴甲赢的概率为，乙赢的概率为，
∵≠，
∴此游戏规则不公平．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论．
（2）证明：PA+PB＝PC．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，根据等边三角形的判定定理证明；
（2）在PC上截取PH＝PA，得到△APH为等边三角形，证明△APB≌△AHC，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可．
【解答】（1）解：△ABC是等边三角形，
理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）证明：在PC上截取PH＝PA，
∵∠APC＝60°，
∴△APH为等边三角形，
∴AP＝AH，∠AHP＝60°，
在△APB和△AHC中，
，
∴△APB≌△AHC（AAS）
∴PB＝HC，
∴PC＝PH+HC＝PA+PB．
【点评】本题考查的是圆周角定理，全等三角形的判定和性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
21．（8分）如图是由小正方形组成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三个格点都在圆上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）画出该圆的圆心O，并画出劣弧的中点D；
（2）画出格点E，使EA为⊙O的一条切线，并画出过点E的另一条切线EF，切点为F．
【分析】（1）连接AC，AC的中点O即为所，取格点M，N，连接MN交格线于等J，连接OJ，延长OJ交⊙O于点D，点D即为所求；
（2）取格点E，作直线AE即可，取格点P，Q交格线于点K，连接AK交⊙O于点F，作直线EF，直线EF即为所求．
【解答】解：（1）如图，点O，点D即为所求；
（2）如图，直线AE，EF即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图．圆周角定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小涵与小军将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小涵拿绳子的手的坐标是（0，1）．身高1.50m的小丽站在绳子的正下方，且距小涵拿绳子的手1m时，绳子刚好经过她的头顶．
（1）求绳子所对应的抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）身高1.70m的小兵，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？
（3）身高1.64m的小伟，站在绳子的正下方，他距小涵拿绳子的手sm，为确保绳子通过他的头顶，请直接写出s的取值范围．
【分析】（1）设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），把（0，1），（4，1），（1，1.5）代入，得到三元一次方程组，解方程组即可；
（2）由自变量的值求出函数值，再比较便可；
（3）由y＝1.64时求出其自变量的值，便可确定s的取值范围．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），
∴抛物线经过点（0，1），（4，1），（1，1.5），
∴，
解得，
∴绳子对应的抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+1；
（2）不能，
理由：∵y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣2）2+，
∵a＝﹣＜0，
∴y有最大值＝m，
∵1.70m＞m，
∴身高1.70m的小兵，站在绳子的正下方，绳子不能通过他的头顶；
（3）当y＝1.64时，﹣x2+x+1＝1.64，
解得x1＝2.4，x2＝1.6，
∴1.6＜s＜2.4．
故s的取值范围为1.6＜s＜2.4．
【点评】本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的解析式由自变量求函数值，由函数值确定自变量等知识判定实际问题，关键是确定抛物线上点的坐标，和应用二次函数解析式解决实际问题．
23．（10分）问题背景
如图1，在△ABC与△ADE中，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，则存在一对全等三角形，请直接写出这对全等三角形．
尝试运用
如图2，在等边△ABC中，BC＝12，点D在BC上，以AD为边在其右侧作等边△ADE，F是DE的中点，连接BF，若BD＝4，求BF的长．
拓展创新
如图3，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝12，点D在BC上，以AD为斜边在其右侧作等腰Rt△ADE，连接BE．设BD＝x，BE2＝y，直接写出y关于x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）．
【分析】问题背景：由“SAS”可证△BAD≌△CAE；
尝试运用：由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD＝CE＝4，∠ABD＝∠ACE＝60°，由三角形中位线定理可求FH＝2，FH∥EC，由勾股定理可求解；
拓展创新：通过证明△ABD∽△AHE，可得∠AHE＝∠ABD＝45°，，可得HE＝x，由等腰直角三角形的性质可求EN，HN的长，由勾股定理可求解．
【解答】解：问题背景：△BAD≌△CAE，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
尝试运用：如图2，连接CE，取DC中点H，连接FH，过点F作FN⊥CD于N，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°＝∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE＝4，∠ABD＝∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝120°，
∵BC＝12，BD＝4，
∴CD＝8，
∵点H是CD中点，
∴DH＝CH＝4，
又∵点F是DE的中点，
∴FH＝CE＝2，FH∥EC，
∴∠DHF＝∠BCE＝120°，
∴∠FHC＝60°，
∵FN⊥CD，
∴∠HFN＝30°，
∴HN＝FH＝1，FN＝HN＝，
∴BN＝9，
∴BF＝＝＝2；
拓展创新：如图3，过点A作AH⊥BC于点H，连接HE，过点E作EN⊥BC于点N，
在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝12，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝AH＝6，∠BAH＝∠ABH＝45°，
∴AB＝AH，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE，∠DAE＝45°，AD＝AE，
∴∠DAE＝∠BAH，
∴∠BAD＝∠HAE，
又∵＝，
∴△ABD∽△AHE，
∴∠AHE＝∠ABD＝45°，，
∴∠EHN＝45°，HE＝x，
∵EN⊥BC，
∴∠HEN＝∠EHN＝45°，
∴EN＝HN，
∴EH＝EN，
∴EN＝x＝HN，
∵BE2＝EN2+BN2，
∴y＝x2+（6+x）2＝x2+6x+36．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键．
24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点C在y轴右侧的抛物线上，且AC＝BC，求点C的坐标；
（3）如图2，将△ABO绕平面内点P顺时针旋转90°后，得到△DEF（点A，B，O的对应点分别是点D，E，F），D，E两点刚好在抛物线上．
①求点F的坐标；
②直接写出点P的坐标．
【分析】（1）令y＝0，可求A点坐标，令x＝0，可求B点坐标；
（2）由题意可知C点在AB的垂直平分线与抛物线的交点处，证明∠ABO＝∠HGA，再由三角函数sin∠ABO＝＝，可求G点坐标，进而求出直线HC的解析式y＝﹣x+，联立即可求C点坐标；
（3）①设E（t，﹣t2+t+2），则F（t﹣2，﹣t2+t+2），D（t﹣2，﹣t2+t+3），再由D点在抛物线上，可求t＝3，则F（1，2）；
②过点P作PN⊥x轴交于点N，交EF于点M，证明△FMP≌△PNO（AAS），则PM+PN＝2，设P（m，2﹣m），OP2＝2m2﹣4m+4，再由OF2＝2OP2，可得5＝2（2m2﹣4m+4），即可求P（，）．
【解答】解：（1）令y＝0，0＝﹣x2+x+2，
∴x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），
令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2）；
（2）∵AC＝BC，
∴C点在AB的垂直平分线上，
∵A（﹣1，0），B（0，2），
∴AB的中点H（﹣，1），
∵∠AHG＝90°，
∴∠HAG+∠HGA＝90°，∠BAG+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠HGA，
∵AB＝，
∴AH＝，
∵sin∠ABO＝＝，
∴sin∠AGH＝＝，
∴AG＝，
∴OG＝，
∴G（，0），
设直线HC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+，
联立，
解得x＝2±，
∵C点在y轴右侧，
∴x＝2+，
∴C（2+，﹣﹣）；
（3）①如图2，设E（t，﹣t2+t+2），
∵OA＝1，OB＝2，
∴F（t﹣2，﹣t2+t+2），D（t﹣2，﹣t2+t+3），
∵D点在抛物线上，
∴﹣t2+t+3＝﹣（t﹣2）2+（t﹣2）+2，
∴t＝3，
∴F（1，2）；
②过点P作PN⊥x轴交于点N，交EF于点M，
∵∠OPF＝90°，
∴∠FPM+∠OPN＝90°，
∵∠FPM+∠MFP＝90°，FP＝OP，
∴△FMP≌△PNO（AAS），
∴FM＝PN，PM＝ON，
∵F（1，2），
∴PM+PN＝2，
设P（m，2﹣m），
∴OP2＝m2+（2﹣m）2＝2m2﹣4m+4，
∵PO＝FP，
∴OF2＝2OP2，
∴5＝2（2m2﹣4m+4），
∴m＝或m＝，
∴P（，）或P（，），
∵①结论可知F（1，2），PO＝FP，
∴P（，）舍去，
∴P（，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，旋转的性质，线段垂直平分线的性质，数形结合解题是关键．
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