2021-2022学年湖北省武汉市黄陂区部分学校八年级(上)期末数学试卷
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一、选择题(每小题3分,共30分)本题共10小题,每小题均给出A,B,C,D四个选项,有且只有一个答案是正确的,请将正确答案的代号填在答题卡上,填在试题卷上无效,
1.(3分)下列垃圾分类标识的图案中,不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.(3分)下列各式中,是分式的是( )
A.13 B.x2 C.3π D.1x-2
3.(3分)下列计算错误的是( )
A.a3•a2=a5 B.a3+a3=2a3 C.(2a)3=6a3 D.a8÷a4=a4
4.(3分)如图中∠1的度数为( )
A.60° B.70° C.100° D.110°
5.(3分)点(m,3﹣m)关于y轴的对称点在第二象限,则m的取值范围是( )
A.m>0 B.m>3 C.0<m<3 D.m<3
6.(3分)下列各式从左至右变形一定正确的是( )
A.ba=b+ca+c B.ba=b-ma-m C.ba=bcac D.aba2=ba
7.(3分)如图的四个三角形中,与△ABC全等的是( )
A. B.
C. D.
8.(3分)下列化简计算正确的是( )
A.2bcac=2a
B.(x+y)yxy=x+y
C.x2+xy(x+y)2=1x+y
D.x2-y2(x-y)2=x+yx-y
9.(3分)在△ABC中,AB≠AC,线段AD,AE,AF分别是△ABC的高,中线,角平分线,则点D,E,F的位置关系为( )
A.点D总在点E,F之间 B.点E总在点D,F之间
C.点F总在点D,E之间 D.三者的位置关系不确定
10.(3分)一个容器装有1L水,按照如下要求把水倒出:第1次倒出12L水,第2次倒出的水量是12L的13,第3次倒出的水量是13L的14⋯⋯第n次倒出的水量是1nL的1n+1⋯⋯按照这种倒水的方法,经过n次共倒出2122L水,则n的值为( )
A.21 B.22 C.23 D.24
二、填空题(每小题3分,共18分)下列各题不需要写出解答过程,请将结果直接填写在答题卡指定的位置。
11.(3分)若分式x+1x-1的值为0,则x的值是 .
12.(3分)如图所示,已知P是∠BAC的角平分线AD上的一点,请添加一个条件: ,使得△ABP≌△ACP.
13.(3分)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,D为AB上一点.若CB=CD,AD=2,BD=4,则AC的长为 .
14.(3分)甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发,甲的速度是乙的速度的34倍,结果甲比乙提前20min到达目的地.设乙的速度为每小时xkm,依题意可列方程为 .
15.(3分)如图,长方形ABCD按如图所示分成9个部分,在m,n(m≥n)变化过程中,下列四个结论:①图中总共有8个正方形;②若长方形ABCD的长与宽的比为mn,则m=n;③长方形ABCD的长与宽的比可能为2;④若m=6n,长方形ABCD的面积为2n2+48,则m,n的值分别为3,2.其中正确的结论是 (填写序号).
16.(3分)如图,在平面直角坐标系中,点A在x轴上,点B(0,3)在y轴上,连接AB,∠ABO=60°,过y轴上一点P(0,m)作直线l⊥AB,OB关于直线l的对称线段为O1B1,若线段O1B1和过A点且垂直于x轴的直线a有公共点,则m的取值范围是 .
三、解答题(共8小题,共72分)下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17.(8分)计算:
(1)3x2(2x﹣1);
(2)(12a3﹣6a2+3a)÷3a.
18.(8分)因式分解.
(1)x2y﹣4y;
(2)2x2﹣12x+18.
19.(8分)解方程:
①1x=5x+3
②2x2x-5-22x+5=1.
20.(8分)先化简,再求值(1-2xx+1+x-1)÷x-2x2+2x+1,其中x=﹣2.
21.(8分)在平面直角坐标系中,点A(﹣1,3),B(3,3)都在格点上.连接AB,AO,BO,仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图,画图过程用虚线表示.
(1)△ABO的面积为 (直接写出结果);
(2)在AB上找点C,使∠AOC=45°;
(3)在格点上找点D,使点A,D关于直线BO轴对称,直接写出点D的坐标( , );
(4)连接BD,在BD上找点E,使BE=BC.
22.(10分)如图,“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a>1)的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a﹣1)m的正方形,两块试验田的小麦都收获了500kg.
(1)①“丰收1号”单位面积产量为 kg,“丰收2号”单位面积产量为 kg(结果用含a的式子表示);
②哪种小麦的单位面积产量高?试说明理由;
(2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的1.5倍,求a的值;
(3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子,其中“丰收1号”小麦面积为nm2(n为整数),“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55m2.若两种小麦种植后产量相同(小麦试种的单产量与实验田一致),当a<8时,符合条件的n的值为 (直接写出结果).
23.(10分)如图,在等边△ABC中,D为BC上一点,DE∥AB,且DE=BD.
(1)如图1,若点E在AC边上,求证:AE=CE;
(2)如图2,若点E在△ABC内,连接CE,F为CE的中点,连接AF,DF,求证:AF⊥DF;
(3)如图3,点N为AB边上一点,连接BE,AN=BE.若CN+CE的值最小时,∠NCE的度数为 °(直接写出结果).
24.(12分)如图,在平面直角坐标系中,点A(a,0),B(0,b),且a<0,b>0,以AB为边作等腰Rt△ABC,AB=AC,点D为BC的中点,直线CE∥y轴,交x轴于点F,交OD的延长线于点E.
(1)若a-6a=5+aa+1,求点A的坐标;
(2)如图1,若点C为第四象限内一点,求∠OEC的度数;
(3)在(2)的条件下,若S△AOB=10,当10≤S△OEF≤20,求ba+ab的最大值.
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参考答案与试题解析
一、选择题(每小题3分,共30分)本题共10小题,每小题均给出A,B,C,D四个选项,有且只有一个答案是正确的,请将正确答案的代号填在答题卡上,填在试题卷上无效,
1.(3分)下列垃圾分类标识的图案中,不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【解答】解:A、不是轴对称图形,故此选项符合题意;
B、是轴对称图形,故此选项不合题意;
C、是轴对称图形,故此选项不合题意;
D、是轴对称图形,故此选项不合题意;
故选:A.
2.(3分)下列各式中,是分式的是( )
A.13 B.x2 C.3π D.1x-2
【解答】解:下列各式中,是分式的是:1x-2,
故选:D.
3.(3分)下列计算错误的是( )
A.a3•a2=a5 B.a3+a3=2a3 C.(2a)3=6a3 D.a8÷a4=a4
【解答】解:A、a3•a2=a5,故A不符合题意;
B、a3+a3=2a3,故B不符合题意;
C、(2a)3=8a3,故C符合题意;
D、a8÷a4=a6,故D不符合题意;
故选:C.
4.(3分)如图中∠1的度数为( )
A.60° B.70° C.100° D.110°
【解答】解:∠1=30°+40°=70°.
故选:B.
5.(3分)点(m,3﹣m)关于y轴的对称点在第二象限,则m的取值范围是( )
A.m>0 B.m>3 C.0<m<3 D.m<3
【解答】解:由题意得:
点(m,3﹣m)关于y轴的对称点为:(﹣m,3﹣m),
∵点(m,3﹣m)关于y轴的对称点在第二象限,
∴-m<03-m>0,
解得:0<m<3,
故选:C.
6.(3分)下列各式从左至右变形一定正确的是( )
A.ba=b+ca+c B.ba=b-ma-m C.ba=bcac D.aba2=ba
【解答】解:A.因为分式的分子与分母同时加上c,所以不正确,故A不符合题意;
B.因为分式的分子与分母同时减去m,所以不正确,故B不符合题意;
C.因为分式的分子与分母同时乘以c,c有可能是0,所以不正确,故C不符合题意;
D.∵a≠0,
∴aba2=ba,
故D符合题意;
故选:D.
7.(3分)如图的四个三角形中,与△ABC全等的是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:A.两边和其中一边的对角对应相等,不符合全等三角形的判定定理,不能推出两三角形全等,故本选项不符合题意;
B.两边和两边的夹角(夹角的度数是50°)分别对应相等,符合全等三角形的判定定理SAS,能推出两三角形全等,故本选项符合题意;
C.两三角形的三角对应相等,不符合全等三角形的判定定理,不能推出两三角形全等,故本选项不符合题意;
D.两三角形的三角对应相等,不符合全等三角形的判定定理,不能推出两三角形全等,故本选项不符合题意;
故选:B.
8.(3分)下列化简计算正确的是( )
A.2bcac=2a
B.(x+y)yxy=x+y
C.x2+xy(x+y)2=1x+y
D.x2-y2(x-y)2=x+yx-y
【解答】解:A、分子分母都除以c,原式=2ba,原计算错误,故此选项不符合题意;
B、分子分母都除以y,原式=x+yx,原计算错误,故此选项不符合题意;
C、分子分母都除以x+y,原式=xx+y,原计算错误,故此选项不符合题意;
D、分子分母都除以x﹣y,原计算正确,故此选项符合题意;
故选:D.
9.(3分)在△ABC中,AB≠AC,线段AD,AE,AF分别是△ABC的高,中线,角平分线,则点D,E,F的位置关系为( )
A.点D总在点E,F之间 B.点E总在点D,F之间
C.点F总在点D,E之间 D.三者的位置关系不确定
【解答】解:假设AB<AC,如图所示,延长AE至点H,使EH=AE,连接CH,
在△AEB和△HEC中,
AE=HE∠AEB=∠HECBE=CE,
∴△AEB≌△HEC(SAS),
∴AB=CH,∠BAE=∠H,
∵AB<AC,
∴CH<AC,
∴∠CAH<∠H,
∴∠CAH<∠BAE,
∴点F总在点D,E之间,
故选:C.
10.(3分)一个容器装有1L水,按照如下要求把水倒出:第1次倒出12L水,第2次倒出的水量是12L的13,第3次倒出的水量是13L的14⋯⋯第n次倒出的水量是1nL的1n+1⋯⋯按照这种倒水的方法,经过n次共倒出2122L水,则n的值为( )
A.21 B.22 C.23 D.24
【解答】解:第一次倒出12L水,
第2次倒出12×13=12×3L,
第3次倒出13×14=13×4L,
…
第n次倒出1n×1n+1=1n(n+1)L,
∴n次共倒出:
12+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)
=1-12+12-13+13-14+⋯+1n-1n+1
=1-1n+1
=nn+1,
∵经过n次共倒出2122L水,
∴nn+1=2122,
∴n=21,
故选:A.
二、填空题(每小题3分,共18分)下列各题不需要写出解答过程,请将结果直接填写在答题卡指定的位置。
11.(3分)若分式x+1x-1的值为0,则x的值是 ﹣1 .
【解答】解:由分式x+1x-1的值为0,得
x+1=0且x﹣1≠0.
解得x=﹣1,
故答案为:﹣1.
12.(3分)如图所示,已知P是∠BAC的角平分线AD上的一点,请添加一个条件: ∠B=∠C(答案不唯一) ,使得△ABP≌△ACP.
【解答】解:添加的条件是∠B=∠C,
理由是:∵P是∠BAC的角平分线AD上的一点,
∴∠BAP=∠CAP,
在△ABP和△ACP中,
∠B=∠C∠BAP=∠CAPAP=AP,
∴△ABP≌△ACP(AAS),
故答案为:∠B=∠C(答案不唯一).
13.(3分)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,D为AB上一点.若CB=CD,AD=2,BD=4,则AC的长为 8 .
【解答】解:过点C作CE⊥AB,垂足为E,
∵CD=CB,
∴E为BD的中点,
∵BD=4,
∴DE=BE=2,
∵AD=2,
∴AE=AD+DE=4,
∵∠A=60°,∠AEC=90°,
∴∠ACE=30°,
∴AC=2AE=8,
故答案为8.
14.(3分)甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发,甲的速度是乙的速度的34倍,结果甲比乙提前20min到达目的地.设乙的速度为每小时xkm,依题意可列方程为 10x-634x=2060 .
【解答】解:∵甲的速度是乙的速度的34倍,且乙的速度为每小时xkm,
∴甲的速度为每小时34xkm.
依题意得:10x-634x=2060.
故答案为:10x-634x=2060.
15.(3分)如图,长方形ABCD按如图所示分成9个部分,在m,n(m≥n)变化过程中,下列四个结论:①图中总共有8个正方形;②若长方形ABCD的长与宽的比为mn,则m=n;③长方形ABCD的长与宽的比可能为2;④若m=6n,长方形ABCD的面积为2n2+48,则m,n的值分别为3,2.其中正确的结论是 ①②④ (填写序号).
【解答】解:如图,
图中共有8个正方形,分别为正方形LKMG,正方形HNTO,正方形EGHF,正方形MPQN,正方形DKNF,正方形EMTC,正方形LAQH,正方形GPBO,
故①正确,符合题意;
由题意,AB=m+n+m=2m+n,AD=n+m+n=m+2n,
当长方形ABCD的长与宽的比为mn时,
2m+nm+2n=mn,
∴n(2m+n)=m(m+2n),
2mn+n2=m2+2mn,
∴n2=m2,
又∵m,n均为正数,
∴m=n,故②正确,符合题意;
当长方形ABCD的长与宽的比2m+nm+2n=2时,
2m+n=2(m+2n),
2m+n=2m+4n,
∴n=4n(不符合题意),故③错误,不符合题意;
长方形ABCD的面积为(2m+n)(m+2n)=2m2+5mn+2n2,
当m=6n,长方形ABCD的面积为2n2+48时,
2×(6n)2+5×6n×n+2n2=2n2+48,
解得n=±2(负值舍去),
∴m=62=3,
即m,n的值分别为3,2,故④正确,符合题意;
故答案为:①②④.
16.(3分)如图,在平面直角坐标系中,点A在x轴上,点B(0,3)在y轴上,连接AB,∠ABO=60°,过y轴上一点P(0,m)作直线l⊥AB,OB关于直线l的对称线段为O1B1,若线段O1B1和过A点且垂直于x轴的直线a有公共点,则m的取值范围是 ﹣6≤m≤﹣3 .
【解答】解:如图1中,当点B1与A重合时,
∵直线l垂直平分线段AB,
∴PB=PA,
∵∠ABP=60°,
∴△APB是等边三角形,
∴PB=AB,
∵∠AOB=90°,∠ABO=60°,OB=3,
∴∠BAO=30°,
∴AB=2OB=6,
∴PB=AB=6,
∴OP=3,
∴m=﹣3,
如图2中,当点O1落在直线a上时,同法可证△OPO1是等边三角形,
∵AB∥OO1,OB∥AO1,
∴四边形ABOO1是平行四边形,
∴OO1=AB=6,
∴OP=OO1=6,
∴m=﹣6,
观察图象可知,满足条件的m的值为:﹣6≤m≤﹣3,
故答案为:﹣6≤m≤﹣3,
三、解答题(共8小题,共72分)下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17.(8分)计算:
(1)3x2(2x﹣1);
(2)(12a3﹣6a2+3a)÷3a.
【解答】解:(1)原式=6x3﹣3x2.
(2)原式=4a2﹣2a+1.
18.(8分)因式分解.
(1)x2y﹣4y;
(2)2x2﹣12x+18.
【解答】解:(1)x2y﹣4y
=y(x2﹣4)
=y(x+2)(x﹣2);
(2)2x2﹣12x+18
=2(x2﹣6x+9)
=2(x﹣3)2.
19.(8分)解方程:
①1x=5x+3
②2x2x-5-22x+5=1.
【解答】解:①方程的两边都乘以x(x+3),
得:x+3=5x,
解这个方程得:x﹣5x=﹣3,
﹣4x=﹣3,
x=34,
检验:把x=34代入x(x+3)≠0,
所以x=34是原方程的解;
②方程的两边都乘以(2x+5)(2x﹣5),
得:2x(2x+5)﹣2(2x﹣5)=(2x+5)(2x﹣5),
解这个方程得:4x2+10x﹣4x+10=4x2﹣25,
10x﹣4x=﹣25﹣10,
6x=﹣35,
x=-356,
检验:把x=-356代入(2x+5)(2x﹣5))≠0,
所以x=-356是原方程的解.
20.(8分)先化简,再求值(1-2xx+1+x-1)÷x-2x2+2x+1,其中x=﹣2.
【解答】解:原式=(1-2xx+1+x2-1x+1)÷x-2(x+1)2
=x(x-2)x+1•(x+1)2x-2
=x(x+1)
=x2+x,
当x=﹣2时,原式=(﹣2)2+(﹣2)
=4﹣2
=2.
21.(8分)在平面直角坐标系中,点A(﹣1,3),B(3,3)都在格点上.连接AB,AO,BO,仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图,画图过程用虚线表示.
(1)△ABO的面积为 6 (直接写出结果);
(2)在AB上找点C,使∠AOC=45°;
(3)在格点上找点D,使点A,D关于直线BO轴对称,直接写出点D的坐标( 3 , ﹣1 );
(4)连接BD,在BD上找点E,使BE=BC.
【解答】解:(1)△ABO的面积=12×4×3=6,
故答案为:6;
(2)如图所示:
(3)如图所示,D(3,﹣1);
故答案为:3;﹣1;
(4)如图所示.
22.(10分)如图,“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a>1)的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a﹣1)m的正方形,两块试验田的小麦都收获了500kg.
(1)①“丰收1号”单位面积产量为 500a2-1 kg,“丰收2号”单位面积产量为 500(a-1)2 kg(结果用含a的式子表示);
②哪种小麦的单位面积产量高?试说明理由;
(2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的1.5倍,求a的值;
(3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子,其中“丰收1号”小麦面积为nm2(n为整数),“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55m2.若两种小麦种植后产量相同(小麦试种的单产量与实验田一致),当a<8时,符合条件的n的值为 110,165,220 (直接写出结果).
【解答】解:(1)①由题意,“丰收1号”小麦的试验田的面积为(a2﹣1)m2,
∴“丰收1号”单位面积产量为500a2-1kg,
“丰收2号”小麦的试验田的面积为(a﹣1)2m2,
∴“丰收2号”单位面积产量为500(a-1)2kg,
故答案为:500a2-1;500(a-1)2;
②∵a>1,
∴a2﹣1=(a+1)(a﹣1)>0,(a﹣1)2>0,
∴a+1>a﹣1,
∴a2﹣1>(a﹣1)2,
∴500a2-1<500(a-1)2,
即“丰收2号”小麦单位面积产量高;
(2)由题意,可得500a2-1×1.5=500(a-1)2,
解得:a=5,
经检验,a=5是原分式方程的解,
∴a的值为5;
(3)由题意,500na2-1=500(n-55)(a-1)2,
整理,可得:a=2n-5555,n=55(a+1)2,
当a<8时,2n-5555<8,
解得:n<4952,
又∵n为正整数,且满足n=55(a+1)2,
∴符合条件的n的值为110,165,220,
故答案为:110,165,220.
23.(10分)如图,在等边△ABC中,D为BC上一点,DE∥AB,且DE=BD.
(1)如图1,若点E在AC边上,求证:AE=CE;
(2)如图2,若点E在△ABC内,连接CE,F为CE的中点,连接AF,DF,求证:AF⊥DF;
(3)如图3,点N为AB边上一点,连接BE,AN=BE.若CN+CE的值最小时,∠NCE的度数为 30 °(直接写出结果).
【解答】(1)证明:∵△BAC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,BC=AC,
∵DE∥AB,
∴∠EDC=∠ABC=60°,
∴△EDC是等边三角形,
∴DE=CE=CD,
∵BD=DE,
∴BD=CD,
∴点D是BC的中点,
∴点E是AC的中点,
∴AE=EC.
(2)证明:如图2,延长DF至点G,使得DF=FG,连接CG、AD、AG,则∠EFD=∠CFG,
∵点F是EC的中点,
∴EF=CF,
∴△EFD≌△CFG(SAS),
∴CG=DE=BD,∠EDF=∠CGF,
∴DE∥CG,
∵AB∥DE,
∴DE∥CG,
∴∠DCG=180°﹣∠ABC=180°﹣60°=120°,
∵∠ACB=60°,
∴∠ACG=∠ABD=60°,
∵AB=AC,
∴△ABD≌△ACG(SAS),
∴AD=AG,
∵DF=GF,
∴AF⊥DF.
(3)解:如图3,连接AE、NE,
∵DE∥AB,
∴∠EDC=∠ABC=60°,
∵BD=DE,
∴∠DBE=∠DEB=30°,
∴BE=3DE,
∴∠ABE=∠ABC﹣∠DBE=30°=∠CBE,
∴BE所在直线垂直平分线段AC,
∴AE=CE,
∵AN=BE,
∴AN=3DE,
∴ANDE=3,
∵∠CDE=∠CAN=60°,
∴当△CAN∽△CDE时,CNAE=CACD=ANDE=3,
即△CEN为等腰三角形时,△CEN的周长最小,
此时,CE+CN的值最小,即EC﹣EN,
∴EA=EC=EN,
∴∠EAN=∠ENA,∠EAC=∠ECA,∠ENC=∠ECN,
∵∠NAC=60°,即∠EAN+∠EAC=60°,
∴∠ENA+∠ECA=60°,
∴∠ENC+∠ECN=180°﹣∠EAN﹣∠EAC﹣∠ENA﹣∠ECA=60°,
∴∠ECN=30°,
故答案为:30.
24.(12分)如图,在平面直角坐标系中,点A(a,0),B(0,b),且a<0,b>0,以AB为边作等腰Rt△ABC,AB=AC,点D为BC的中点,直线CE∥y轴,交x轴于点F,交OD的延长线于点E.
(1)若a-6a=5+aa+1,求点A的坐标;
(2)如图1,若点C为第四象限内一点,求∠OEC的度数;
(3)在(2)的条件下,若S△AOB=10,当10≤S△OEF≤20,求ba+ab的最大值.
【解答】解:(1)去分母,得:(a﹣6)(a+1)=a(5+a),
解得:a=-35,
经检验,a=-35是方程的解,
∴A(-35,0).
(2)∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠OAB+∠FAC=90°,AB=AC,
∵∠OAB+∠ABO=90°,
∴∠FAC=∠ABO,
∵∠AOB=∠CFA=90°,
∴△AOB≌△CFA(AAS),
∴AF=OB=b,CF=OA=﹣a,
∴OF=AF﹣OA=b+a,
∵CE∥y轴,
∴∠E=∠DOB,∠DBO=∠DCE,
∵点D是BC的中点,
∴BD=CD,
∴△DOB≌△DEC(AAS),
∴CE=BO=b,
∴EF=CE﹣CF=b+a,
∴EF=OF,
∴∠OEC=45°.
(3)∵S△AOB=12OA⋅OB=12⋅(-a)⋅b=10,S△OEF=12OF⋅EF=12⋅(a+b)2,10≤S△OEF≤20,
∴ab=﹣20,20≤a2+b2+2ab≤40,
∴60≤a2+b2≤80,
∵ba+ab=a2+b2ab=-120(a2+b2),
∴﹣4≤-120(a2+b2)≤-3,
∴ba+ab的最大值为﹣3.
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