2021-2022学年湖北省武汉市新洲区阳逻街九年级（上）期中数学试卷

2021-2022学年湖北省武汉市新洲区阳逻街九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）方程2x2＝3（x﹣6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）

A．2，3，﹣6 B．2，﹣3，18 C．2，﹣3，6 D．2，3，6

2．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

3．（3分）如果一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，那么x1+x2＝（　　）

A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1

4．（3分）已知x＝8是一元二次方程x2+mx﹣8＝0的一个解，则m的值是（　　）

A．﹣4 B．4 C．7或﹣7 D．﹣7

5．（3分）配方法解方程x2+8x+7＝0，则方程可化为（　　）

A．（x﹣4）2＝9 B．（x+4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝16

6．（3分）对于二次函数y＝（x﹣1）2，下列结论错误的是（　　）

A．开口向上 

B．当x＞2时，y随x的增大而增大 

C．函数图象与x轴没有公共点 

D．函数有最小值

7．（3分）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　）

A．289（1﹣x）2＝256 B．256（1﹣x）2＝289 

C．289（1﹣2x）2＝256 D．256（1﹣2x）2＝289

8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点（ac，bc）在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

9．（3分）已知两点A（﹣5，y1），B（﹣1，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（　　）

A．x0＞﹣5 B．x0＞﹣1 C．x0＞﹣3 D．﹣5＜x0＜﹣1

10．（3分）△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为（　　）

A．6 B．6 C．4+2 D．3

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 　   　．

12．（3分）若y＝（a+3）x|a|﹣1+3x是二次函数，则a＝　   　．

13．（3分）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 　   　．

14．（3分）点A（2，m），B（﹣1，n）是抛物线y＝x2﹣1上的两点，直线y＝kx+b经过A、B两点，不等式x2﹣1＞kx+b的解集为 　   　．

15．（3分）在直径为10m的的圆柱型油槽内注入一些油后，截面如图所示，液面宽AB＝6m，如果继续向油槽内注油，使液面宽为8m，那么液面上升了 　   　m．

16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：

①b＝﹣2a；

②4a+2b+c＞0；

③若n＞m＞0，则x＝1+m时的函数值小于x＝1﹣n时的函数值；

④点（，0）一定在此抛物线上．

其中正确的结论是 　   　．

三、解答题（共8小题，共72分）

17．（8分）（1）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．

（2）解不等式：2x﹣1＜3（1+x）．

18．（8分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点E落在BC的延长线上．

求证：∠3＝∠1+∠2．

19．（8分）已知抛物线经过点（﹣1，0），（3，0），且函数有最小值﹣4．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若0＜x＜4，求函数值y的取值范围．

20．（8分）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：

（1）将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；

（2）在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°（保留画图过程的痕迹）；

（3）连接AC，画点E关于直线AC的对称点F，并简要说明画法．

21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，P为AB上一点，弦CD与弦EF交于点P，PB平分∠DPF，连DF交AB于点G．

（1）求证：CD＝EF；

（2）若∠DPF＝60°，PE：PF＝1：3，AB＝2，求OG的长．

22．（10分）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：

（1）请直接写出p与x之间的函数关系式；

（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？

（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．

23．（10分）[问题背景]如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，E是AD上的一点，且DE＝DC，连接BE．求证：BE⊥AC；

[迁移运用]如图2，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是△ABC外的一点，且ADAC，把点D绕点C逆时针方向旋转90°得到点E，连接BE，求证：BECE；

[拓展创新]如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是△ABC外的一点，且∠ADC＝30°，E是AB的中点，连接DE，若AD＝4，DE，则△ACD的面积为 　   　．（直接写出结果）

24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+3ax+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且S△ABC＝10，点P为第二象限内抛物线上的一点，连接BP．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，若∠BPD＝2∠BCO，求的值；

（3）如图2，设BP与AC的交点为Q，连接PC，是否存在点P，使S△PCQ＝S△BCQ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2021-2022学年湖北省武汉市新洲区阳逻街九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）方程2x2＝3（x﹣6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）

A．2，3，﹣6 B．2，﹣3，18 C．2，﹣3，6 D．2，3，6

【解答】解：方程2x2＝3（x﹣6），

去括号，得2x2＝3x﹣18，

整理，得2x2﹣3x+18＝0，

所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣3，18，

故选：B．

2．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；

C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．

故选：C．

3．（3分）如果一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，那么x1+x2＝（　　）

A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1

【解答】解：根据题意可得

x1+x23，

故选：B．

4．（3分）已知x＝8是一元二次方程x2+mx﹣8＝0的一个解，则m的值是（　　）

A．﹣4 B．4 C．7或﹣7 D．﹣7

【解答】解：∵x＝8是一元二次方程x2+mx﹣8＝0的一个解，

∴82+8m﹣8＝0，

∴m＝﹣7．

故选：D．

5．（3分）配方法解方程x2+8x+7＝0，则方程可化为（　　）

A．（x﹣4）2＝9 B．（x+4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝16

【解答】解：方程移项得：x2+8x＝﹣7，

配方得：x2+8x+16＝9，即（x+4）2＝9．

故选：B．

6．（3分）对于二次函数y＝（x﹣1）2，下列结论错误的是（　　）

A．开口向上 

B．当x＞2时，y随x的增大而增大 

C．函数图象与x轴没有公共点 

D．函数有最小值

【解答】解：对于二次函数y＝（x﹣1）2，

∵a＝1＞0，

∴抛物线的开口方向向上，

∴A选项正确；

∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线的开口方向向上，

∴当x＞1时，y随x的增大而增大，

∴当x＞2时，y随x的增大而增大，

∴B选项正确；

∵抛物线的顶点为（1，0）在x轴上，

∴抛物线与x轴只有一个交点，

∴C选项错误；

∵a＝1＞0，

∴函数在x＝1时有最小值1，

∴D选项正确．

综上，错误的选项为：C．

故选：C．

7．（3分）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　）

A．289（1﹣x）2＝256 B．256（1﹣x）2＝289 

C．289（1﹣2x）2＝256 D．256（1﹣2x）2＝289

【解答】解：根据题意可得两次降价后售价为289（1﹣x）2，

∴方程为289（1﹣x）2＝256．

故选：A．

8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点（ac，bc）在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：函数开口向下，因而a＜0，

对称轴在y轴的右侧，则b与a异号，因而b＞0，

与y轴的正半轴相交，因而c＞0，

∴ac＜0，bc＞0，

横坐标小于0，纵坐标大于0，因而点在第二象限，

则点（ac，bc）在第二象限．

故选：B．

9．（3分）已知两点A（﹣5，y1），B（﹣1，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（　　）

A．x0＞﹣5 B．x0＞﹣1 C．x0＞﹣3 D．﹣5＜x0＜﹣1

【解答】解：∵两点A（﹣5，y1），B（﹣1，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，

∴若y1＞y2≥y0，则此函数开口向上，有最小值，

∴x0≤﹣1或x0≥﹣1，

解得，x0＞﹣3

故选：C．

10．（3分）△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为（　　）

A．6 B．6 C．4+2 D．3

【解答】解：如图：以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°，

∵四边形BCDE是正方形，

∴BO＝CO，∠BOC＝90°，

∵△AOF是等腰直角三角形，

∴AO＝FO，AFAO，

∵∠BOC＝∠AOF＝90°，

∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO，

∴△AOB≌△FOC（SAS），

∴AB＝CF＝4，

若点A，点C，点F三点不共线时，AF＜AC+CF；

若点A，点C，点F三点共线时，AF＝AC+CF，

∴AF≤AC+CF＝2+4＝6，

∴AF的最大值为6，

∵AFAO，

∴AO的最大值为3．

故选：D．

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 　（2，﹣3）　．

【解答】解：点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．

故答案是：（2，﹣3）．

12．（3分）若y＝（a+3）x|a|﹣1+3x是二次函数，则a＝　3　．

【解答】解：当|a|﹣1＝2且a+3≠0时，y＝（a+3）x|a|﹣1+3x是二次函数，

∴a＝﹣3（舍去），a＝3．

故答案为3．

13．（3分）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 　6　．

【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，

依题意得：1+x+x2＝43，

整理得：x2+x﹣42＝0，

解得：x1＝﹣7（不合题意，舍去），x2＝6．

故答案为：6．

14．（3分）点A（2，m），B（﹣1，n）是抛物线y＝x2﹣1上的两点，直线y＝kx+b经过A、B两点，不等式x2﹣1＞kx+b的解集为 　x＜﹣1或x＞2　．

【解答】解：∵点A（2，m），B（﹣1，n）是抛物线y＝x2﹣1上的两点，

∴当x＜﹣1或x＞2时，抛物线图象在直线图象上方，

故不等式x2﹣1＞kx+b的解集为x＜﹣1或x＞2．

故答案为：x＜﹣1或x＞2．

15．（3分）在直径为10m的的圆柱型油槽内注入一些油后，截面如图所示，液面宽AB＝6m，如果继续向油槽内注油，使液面宽为8m，那么液面上升了 　1或7　m．

【解答】解：连接OA，作OG⊥AB于G，

∵AB＝6m，

∴AGAB＝3m，

∵油槽直径为10m．

∴OA＝5m，

∴OG＝4m，即弦AB的弦心距是4m，

同理当油面宽AB为8m时，弦心距是3m，

∴当油面没超过圆心O时，油上升了1m；

当油面超过圆心O时，油上升了7m．

故答案为1或7．

16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：

①b＝﹣2a；

②4a+2b+c＞0；

③若n＞m＞0，则x＝1+m时的函数值小于x＝1﹣n时的函数值；

④点（，0）一定在此抛物线上．

其中正确的结论是 　①②④　．

【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴1，

∴b＝﹣2a，故①正确；

∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

而点（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（4，0），

∵抛物线开口向下，

∴当x＝2时，y＞0，

∴4a+2b+c＞0，故②正确；

∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，

∴横坐标是1﹣n的点的对称点的横坐标为1+n，

∵若n＞m＞0，

∴1+n＞1+m，

∴x＝1+m时的函数值大于x＝1﹣n时的函数值，故③错误；

∵b＝﹣2a，

∴抛物线为y＝ax2﹣2ax+c，

∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），

∴4a+4a+c＝0，即8a+c＝0，

∴c＝﹣8a，

∴4，

∵点（﹣2，0）的对称点是（4，0），

∴点（，0）一定在此抛物线上，故④正确，

故答案为：①②④．

三、解答题（共8小题，共72分）

17．（8分）（1）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．

（2）解不等式：2x﹣1＜3（1+x）．

【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，

x2﹣4x＝1，

x2﹣4x+4＝5，即（x﹣2）2＝5，

∴x﹣2，

∴x1＝2，x2＝2．

（2）去括号得：2x﹣1＜3+3x，

移项得：2x﹣3x＜3+1，

合并得：﹣x＜4，

解得：x＞﹣4．

18．（8分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点E落在BC的延长线上．

求证：∠3＝∠1+∠2．

【解答】证明：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，

∴∠ABE＝∠2，

∵∠3＝∠1+∠ABE，

∴∠3＝∠1+∠2．

19．（8分）已知抛物线经过点（﹣1，0），（3，0），且函数有最小值﹣4．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若0＜x＜4，求函数值y的取值范围．

【解答】解：（1）∵抛物线经过点（﹣1，0），（3，0），

∴抛物线的对称轴为直线x＝1，

∵函数有最小值﹣4，

∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），

设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，

把（﹣1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，

∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4．

（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，

∴抛物线开口向上，函数有最小值为﹣4，

当x＝4时，y＝（4﹣1）2﹣4＝5，

∴当0＜x＜4时，函数值y的取值范围是﹣4≤y＜5．

20．（8分）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：

（1）将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；

（2）在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°（保留画图过程的痕迹）；

（3）连接AC，画点E关于直线AC的对称点F，并简要说明画法．

【解答】解：（1）如图所示：线段CD即为所求；

（2）如图所示：∠BCE即为所求；

（3）连接（5，0），（0，5），可得与OA的交点F，点F即为所求，如图所示：

21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，P为AB上一点，弦CD与弦EF交于点P，PB平分∠DPF，连DF交AB于点G．

（1）求证：CD＝EF；

（2）若∠DPF＝60°，PE：PF＝1：3，AB＝2，求OG的长．

【解答】（1）证明：如图，过点O作OM⊥EF于点M，ON⊥CD于点N，连接OF、OD，

则∠OMF＝∠OND＝90°，

∵PB平分∠DPF，OM⊥EF，ON⊥CD，

∴OM＝ON，

在Rt△OFM和Rt△ODN中，

，

∴Rt△OFM≌Rt△ODN（HL），

∴FM＝DN，

∵OM⊥EF，ON⊥CD，

∴EF＝2FM，CD＝2DN，

∴CD＝EF；

（2）∵PE：PF＝1：3，

∴设PE＝x，PF＝3x，

则EF＝PE+PF＝4x，

∵OM⊥EF，

∴EM＝FMEF＝2x，

∴PM＝EM﹣PE＝2x﹣x＝x，

∵PB平分∠DPF，∠DPF＝60°，

∴∠FPB＝DPBDPF＝30°，

∴OMx，OPx，

在Rt△OPM和Rt△OPN中，

，

∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），

∴PM＝PN，

由（1）知：FM＝DN，

∴PM+FM＝PN+DN，

∴PF＝PD，

∵∠DPF＝60°，

∴△PDF是等边三角形，

∵PB平分∠DPF，

∴PB⊥DF，垂足为G，

∴DF＝PF＝3x，FGDF，

∴PG，

∴OG＝PG﹣OPx，

∵AB＝2，

∴OFAB，

在Rt△OFG中，根据勾股定理，得

OG2+FG2＝OF2，

∴（）2+（）2＝（）2，

整理，得x2＝3，

解得x＝±（负值舍去），

∴x，

∴OG．

22．（10分）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：

（1）请直接写出p与x之间的函数关系式；

（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？

（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．

【解答】解：（1）假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p＝kx+b，

则，

解得：k＝﹣30，b＝1500，

∴p＝﹣30x+1500，

检验：当x＝35，p＝450；当x＝45，p＝150；当x＝50，p＝0，符合一次函数解析式，

∴所求的函数关系为p＝﹣30x+1500；

（2）设日销售利润w＝p（x﹣30）＝（﹣30x+1500）（x﹣30），

即w＝﹣30x2+2400x﹣45000，

∴当x40时，w有最大值3000元，

故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；

（3）日获利w＝p（x﹣30﹣a）＝（﹣30x+1500）（x﹣30﹣a），

即w＝﹣30x2+（2400+30a）x﹣（1500a+45000），

对称轴为x40a，

①若a＞10，则当x＝45时，w有最大值，

即w＝2250﹣150a＜2430（不合题意）；

②若a＜10，则当x＝40a时，w有最大值，

将x＝40a代入，可得w＝30（a2﹣10a+100），

当w＝2430时，2430＝30（a2﹣10a+100），

解得a1＝2，a2＝38（舍去），

综上所述，a的值为2．

23．（10分）[问题背景]如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，E是AD上的一点，且DE＝DC，连接BE．求证：BE⊥AC；

[迁移运用]如图2，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是△ABC外的一点，且ADAC，把点D绕点C逆时针方向旋转90°得到点E，连接BE，求证：BECE；

[拓展创新]如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是△ABC外的一点，且∠ADC＝30°，E是AB的中点，连接DE，若AD＝4，DE，则△ACD的面积为 　2　．（直接写出结果）

【解答】（1）证明：如图1，

延长BE交AC于F，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝∠ADB＝90°，

∴∠DAB＝90°﹣∠ABC＝45°，

∴∠ABC＝∠DAB，

∴AD＝BD，

∵DE＝DC，

∴△BDE≌△ADC（SAS），

∴∠DBE＝∠DAC，

∵∠DAC+∠C＝90°，

∴∠BDE+∠C＝90°，

∴∠BFC＝90°，

∴BE⊥AC；

（2）证明：如图2，

延长BC至F，使CF＝BC，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，

∠ACF＝∠ACB＝90°，

∴AC＝CF，∠ACD+∠DCF＝90°，

∵∠DCE＝90°，

∴∠ECF+∠DCF＝90°，

∴∠ACD＝∠ECF，

∵CE＝CD，

∴△ECF≌△DCA（SAS），

∴CF＝AD，

∴，

∵，

∴，

∵∠F＝∠F，

∴△ECF∽△BEF，

∴，

∴BEEC；

（3）解：如图3，

连接CE，将△CED绕点E顺时针旋转90°至△AEF，并延长FA交CD于G，

∴∠DEF＝90°，DE＝EF，CD＝AF，

∴DF，

由（1）知，

FG⊥CD，

∴AG＝AD•sin∠ADC＝42，

DG＝AD•cos∠ADC＝42，

在Rt△DGF中，

FG，

∴AF＝FG﹣AG2，

∴CD＝AF2，

∴S△ACD

2，

故答案是：2．

24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+3ax+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且S△ABC＝10，点P为第二象限内抛物线上的一点，连接BP．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，若∠BPD＝2∠BCO，求的值；

（3）如图2，设BP与AC的交点为Q，连接PC，是否存在点P，使S△PCQ＝S△BCQ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把x＝0代入y＝ax2+3ax+4得y＝4，

∴点C坐标为（0，4），OC＝4，

∵S△ABCAB•OC＝2AB＝10，

∴AB＝5，

∵抛物线对称轴为直线x，

∴点A横坐标为4，

点B横坐标为1，

即点A坐标为（﹣4，0），点B坐标为（1，0），

把（1，0）代入y＝ax2+3ax+4得0＝4a+4，

解得a＝﹣1，

∴y＝﹣x2﹣3x+4．

（2）设BP交y轴于点E，

∵PD⊥x轴，

∴PD∥OC，

∴∠BPD＝∠BEO，

∴∠BEO＝2∠BCO，

∴∠EBC＝∠ECB，

∴EB＝EC，

设OE＝m，则CE＝BE＝4﹣m，

在Rt△BOE中，由勾股定理得BE2＝OB2+OE2，

∴1+m2＝（4﹣m）2，

解得m，

∴点E坐标为（0，）

设直线BE解析式为y＝kx+b，

将（0，），（1，0）代入y＝kx+b得，

解得，

∴yx．

令﹣x2﹣3x+4x，

解得x或x＝1，

∴点D的横坐标为，

∴AD（﹣4），BD＝1﹣（），

∴．

（3）不存在，理由如下：

作PM∥x轴交AC延长线于点M，

∵S△PCQ＝S△BCQ，

∴Q为BP中点，

∴△PMQ≌△BAQ，

∴PM＝BA＝5，

设P（t，﹣t2﹣3t+4），则M（t+5，﹣t2﹣3t+4），

设直线AC解析式为y＝ax+b，

把（﹣4，0），（0，4）代入解析式得，

解得，

∴y＝x+4，

∵点M在直线AC上，

∴﹣t2﹣3t+4＝t+5+4，

该方程无解，

∴符合题意的点P不存在．