2021-2022学年湖北省武汉市武昌区部分学校九年级（上）期中数学试卷

2021-2022学年湖北省武汉市武昌区部分学校九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（3分×10＝30分）

1．（3分）将一元二次方程3x2﹣1＝2x化成一般形式后（二次项系数为正数），二次项系数和一次项系数分别是（　　）

A．3、﹣2 B．3、2 C．3、﹣1 D．3、1

2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标是（　　）

A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）

4．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0．下列变形正确的是（　　）

A．（x﹣4）2＝19 B．（x﹣2）2＝7 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+2）2＝7

5．（3分）下列方程没有实数解的是（　　）

A．x2＝0 B．x2﹣2x+1＝0 

C．x2﹣x﹣2021＝0 D．x2+x+1＝0

6．（3分）要将抛物线y＝2x2平移后得到抛物线y＝2x2+4x+5，下列平移方法正确的是（　　）

A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 

B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 

C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 

D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位

7．（3分）有一个人患了感冒，经过两轮传染后总共传染了64人，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒人数为（　　）

A．596 B．428 C．512 D．604

8．（3分）下列多边形的所有顶点不一定在同一个圆上的是（　　）

A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

9．（3分）如果m、n是一元二次方程x2+x＝3的两个实数根，那么多项式m3+2n2﹣mn﹣6m+2021的值是（　　）

A．2023 B．2027 C．2028 D．2029

10．（3分）如图，∠MAN＝60°，点B、C分别在AM、AN上，AB＝AC，点D在∠MAN内部、△ABC外部，连接BD、CD、AD．下列结论：①DB+DC≥DA；②S△BDCBD•DC；③若DB＝m，DC＝n，则S△ADBm2mn．其中错误的结论个数为（　　）个．

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题（3分×6＝18分）

11．（3分）点A（a，b）关于原点的对称点的坐标为 　   　．

12．（3分）解方程2（x﹣1）2＝8，则方程的解是　   　．

13．（3分）点P1（﹣1，y1），P2（2，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　   　．

14．（3分）已知AB是⊙O的弦，点C为⊙O上异于点A、B的一点，∠OAB＝40°，则∠ACB＝　   　．

15．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+c，下列结论中一定正确的是 　   　．（填序号即可）

①若抛物线与x轴有两个不同交点，则方程cx2+bx+a＝0必有两个不等实数根；②若对任意实数t都有at2+bt≤a﹣b（a＜0），则b＝2a；③若（am2+bm+c）（an2+bn+c）＜0（m＜n），则方程ax2+bx+c＝0有一个根α，且m＜α＜n；④若a2m2+bam+ac＜0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个实数根．

16．（3分）已知，⊙O的直径BC＝2，点A为⊙O上一动点，AD、BD分别平分△ABC的外角，AD与⊙O交于点E．若将AO绕O点逆时针旋转270°，则点D所经历的路径长为 　   　．（提示：在半径为R的圆中，n°圆心角所对弧长为）

三、解答题（共8小题，共72分）

17．（8分）解方程：x2﹣x﹣3＝0．

18．（8分）如图：OA＝OB＝OC，∠AOB∠BOC，∠BAC＝45°．

（1）求证：A，B，C在以O为圆心，OA为半径的圆上；

（2）求∠OAC的度数．

19．（8分）在平面直角坐标系中，已知二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3．

（1）完成表格，根据数据在平面直角坐标系中画出二次函数的图象；

（2）当x满足 　   　时，函数值大于0；

（3）当﹣2＜x＜2时，y的取值范围是 　   　．

20．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、C为格点，点B在网格线上，以AB为直径作半圆，点D在半圆上，连接AC、BC．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）

（1）分别在AB、AC取点E、F，使EF∥BC，EFBC；

（2）作△ABC的角平分线BM；

（3）在△ABC的角平分线BM取一点N，使CN+DN最小．

21．（8分）如图，P是圆上一动点，弦ABcm，PC平分∠APB，C在圆上，∠BAC＝30°．

（1）当∠PAC等于多少度时，四边形PACB有最大面积？最大面积是多少？

（2）当PA的长为 　   　，四边形PACB是梯形（一组对边平行，另一组对边不平行的四边形）（直接写答案）．

22．（10分）水果店以一定的价格购进某种苹果若干千克，通过销售统计发现：这批苹果从开始销售至销售的第x天的总销量y（千克）与x的关系为二次函数，销售情况记录如表：

（1）求y与x的函数关系式；

（2）这批苹果多少天才能销售完；

（3）水果店为了充实库存，在销售第6天后决定每天又购进20千克该品种苹果，试问再过多少天该品种苹果库存量为244千克？

23．（10分）【问题背景】如图1，P为△ABC内一点，连PB、PC．则PC+PB＜AB+AC．

小明考虑到“三角形两边之和大于第三边”，延长BP交AC于E，就可以证明上面结论．请按小明的思路完成证明过程；

【迁移应用】如图2，在△ABC中，∠BAC＞120°，P为△ABC内一点，求证：PA+PB+PC＞AB+AC．

【拓展创新】

已知△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，a+b＝4c，6a+3b＝19c，P为△ABC所在平面内一点，则PA+PB+PC的最小值为（用含c的式子表示） 　   　．（直接写出结果）

24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点．且抛物线的对称轴为x＝2，OC＝3，S△ABC＝3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，过D（m，﹣2）作抛物线切线（不与y轴平行，且与抛物线有且仅有一个交点）DE：y＝k1x+b1（切点为E）和DF：y＝k2x+b2（F为切点），求k1k2的值；

（3）如图3，将抛物线向左平移两个单位后再沿y轴向下运动得抛物线C1，直线l3、l4分别与（2）中直线DE、DF平行，l3与C1交于E，F两点，l4与C1交于G，H两点，M，N分别为EF、GH的中点，求点O到直线MN的距离d的最大值．

2021-2022学年湖北省武汉市武昌区部分学校九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（3分×10＝30分）

1．（3分）将一元二次方程3x2﹣1＝2x化成一般形式后（二次项系数为正数），二次项系数和一次项系数分别是（　　）

A．3、﹣2 B．3、2 C．3、﹣1 D．3、1

【解答】解：∵3x2﹣1＝2x，

∴3x2﹣2x﹣1＝0，

∴二次项系数和一次项系数分别是3和﹣2，

故选：A．

2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：B．

3．（3分）抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标是（　　）

A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）

【解答】解：

∵y＝2（x+3）2+5，

∴抛物线顶点坐标为（﹣3，5），

故选：B．

4．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0．下列变形正确的是（　　）

A．（x﹣4）2＝19 B．（x﹣2）2＝7 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+2）2＝7

【解答】解：∵x2﹣4x﹣3＝0，

∴x2﹣4x＝3，

则x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，

故选：B．

5．（3分）下列方程没有实数解的是（　　）

A．x2＝0 B．x2﹣2x+1＝0 

C．x2﹣x﹣2021＝0 D．x2+x+1＝0

【解答】解：A．方程x2＝0解为x1＝x2＝0，故本选项不合题意；

B．x2﹣2x+1＝0，

∵b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，

∴此方程有两个相等的实数根，故本选项不合题意；

C．x2﹣x﹣2021＝0，

∵b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2021）＝8085＞0，

∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项不合题意；

D．x2+x+1＝0，

∵b2﹣4ac＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，

∴此方程无解，本选项符合题意．

故选：D．

6．（3分）要将抛物线y＝2x2平移后得到抛物线y＝2x2+4x+5，下列平移方法正确的是（　　）

A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 

B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 

C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 

D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位

【解答】解：∵y＝2x2+4x+5＝2（x+1）2+3，

∴该抛物线的顶点坐标是（﹣1，3），

∵抛物线y＝2x2的顶点坐标是（0，0），

∴平移的方法可以是：将抛物线y＝2x2向左平移1个单位，再向上平移3个单位．

故选：A．

7．（3分）有一个人患了感冒，经过两轮传染后总共传染了64人，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒人数为（　　）

A．596 B．428 C．512 D．604

【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，

由题意得：1+x+x（1+x）＝64，

解得x1＝7，x2＝﹣9，

∵x＞0，

∴x2＝﹣9，不合题意，舍去，

∴x＝7．

则第三轮的感冒人数为：（7+1）3＝512．

故选：C．

8．（3分）下列多边形的所有顶点不一定在同一个圆上的是（　　）

A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

【解答】解：A．根据三点共圆可得三角形的三个顶点在同一个圆上，故选项不符合题意；

B．∵矩形对角线相等且互相平分，

∴四个顶点到对角线交点距离相等，

∴矩形四个顶点定可在同一个圆上，故选项不符合题意；

C．∵菱形对角线互相平分但不相等，

∴四个顶点到对角线交点距离不一定相等，

∴菱形四个顶点定不一定在同一个圆上，故选项符合题意；

D．∵正方形对角线相等且互相平分，

∴四个顶点到对角线交点距离相等，

∴正方形四个顶点定可在同一个圆上，故选项不符合题意；

故选：C．

9．（3分）如果m、n是一元二次方程x2+x＝3的两个实数根，那么多项式m3+2n2﹣mn﹣6m+2021的值是（　　）

A．2023 B．2027 C．2028 D．2029

【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，

∴m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，

∴m2＝﹣m+3，n2＝﹣n+3，

∴m3＝m（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（﹣m+3）+3m＝4m﹣3，

∴m3+2n2﹣mn﹣6m+2021＝4m﹣3+2（﹣n+3）﹣mn﹣6m+2021

＝﹣2（m+n）﹣mn+2024，

∵m、n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，

∴m+n＝﹣1，mn＝﹣3，

∴原式＝﹣2×（﹣1）﹣（﹣3）+2024

＝2029．

故选：D．

10．（3分）如图，∠MAN＝60°，点B、C分别在AM、AN上，AB＝AC，点D在∠MAN内部、△ABC外部，连接BD、CD、AD．下列结论：①DB+DC≥DA；②S△BDCBD•DC；③若DB＝m，DC＝n，则S△ADBm2mn．其中错误的结论个数为（　　）个．

A．0 B．1 C．2 D．3

【解答】解：①如图1，将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△ABC′，

则△ABC′≌△ACD，

∴AC′＝AD，BC′＝CD，

∵∠DAC′＝60°，

∴△AC′D是等边三角形，

∴C′D＝AD，

在△BC′D中，BC′+BD＞C′D，

∴CD+BD＞AD，

当∠ADC＝60°，即∠AC′B＝60°时，C′、B、D三点共线，

∴CD+BD＝AD，

故①正确；

②如图2，过点C作CH⊥BD于H，

则∠BHC＝90°，

∴CH＝CD•sin∠CDH，

∴S△BDCBD•CHBD•CD•sin∠CDH，

∵∠CDH≤90°，

∴sin∠CDH≤1，

∴S△BDCBD•CD，

故②正确；

③如图3，把△BDC绕点B顺时针旋转60°得到△ABK，连接DK，

由旋转得：BD＝BK，∠DBK＝60°，

∴△BDK是等边三角形，

∴S△BDKm2，

∵△ABK≌△BDC（根据旋转的性质），

∴S△ABK＝S△BDCBD•CD•sin∠CDHBD•CD，

即S△ABKmn，

∴S△ABD≤S△ABK+S△BDKm2mn，

故③正确；

综上所述，正确的结论为3个，错误的结论为0个，

故选：A．

二、填空题（3分×6＝18分）

11．（3分）点A（a，b）关于原点的对称点的坐标为 　（﹣a，﹣b）　．

【解答】解：点A（a，b）关于原点的对称点的坐标为（﹣a，﹣b）．

故答案为：（﹣a，﹣b）．

12．（3分）解方程2（x﹣1）2＝8，则方程的解是　x1＝3，x2＝﹣1　．

【解答】解：（x﹣1）2＝4，

x﹣1＝±2，

所以x1＝3，x2＝﹣1．

故答案为x1＝3，x2＝﹣1．

13．（3分）点P1（﹣1，y1），P2（2，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　y2＞y1＞y3　．

【解答】解：二次函数y＝﹣x2+2x+c的对称轴为：x1，

由对称性得，P1（﹣1，y1）关于对称轴对称的点Q的坐标为（3，y1），

∵a＝﹣1＜0，

∴在对称轴的右侧，即x＞1时，y随x的增大而减小，

∵P2（2，y2），P3（5，y3），Q（3，y1），

∴y2＞y1＞y3，

故答案为：y2＞y1＞y3．

14．（3分）已知AB是⊙O的弦，点C为⊙O上异于点A、B的一点，∠OAB＝40°，则∠ACB＝　50°　．

【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝40°，

∴∠OAB＝∠OBA＝40°

∴∠AOB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，

∴∠ACB∠AOB＝50°，

故答案为：50°．

15．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+c，下列结论中一定正确的是 　①②③④．　．（填序号即可）

①若抛物线与x轴有两个不同交点，则方程cx2+bx+a＝0必有两个不等实数根；②若对任意实数t都有at2+bt≤a﹣b（a＜0），则b＝2a；③若（am2+bm+c）（an2+bn+c）＜0（m＜n），则方程ax2+bx+c＝0有一个根α，且m＜α＜n；④若a2m2+bam+ac＜0，则方程ax2+bx+c＝0必有两个实数根．

【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个不同交点，

∴方程ax2+bx+c＝0有两个不同的实数根，

∴b2﹣4ac＞0，

∴cx2+bx+a＝0有两个不相等的实数根，故①正确；

②∵对任意实t都有at2+bt≤a﹣b（a＜0），

∴at2+bt+c≤a﹣b+c，

∴当x＝﹣1时，函数有最大值，

∴函数的对称轴为直线x＝﹣1，

∴1，

∴b＝2a，故②正确；

③∵（am2+bm+c）（an2+bn+c）＜0（m＜n），

∴抛物线与x轴的一个交点的横坐标在m、n之间，

∵方程ax2+bx+c＝0有一个根α，

∴函数图象与x轴的一个交点为（α，0），

∴m＜α＜n，故③正确；

④∵a2m2+bam+ac＜0，

∴a（am2+bm+c）＜0，

∴当a＞0时，am2+bm+c＜0；当a＜0时，am2+bm+c＞0，

∴方程ax2+bx+c＝0必有两个实数根，故④正确；

故答案为：①②③④．

16．（3分）已知，⊙O的直径BC＝2，点A为⊙O上一动点，AD、BD分别平分△ABC的外角，AD与⊙O交于点E．若将AO绕O点逆时针旋转270°，则点D所经历的路径长为 　　．（提示：在半径为R的圆中，n°圆心角所对弧长为）

【解答】解：如图，设∠ACB＝α，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC＝90°，

∴∠DEB＝α，∠ABC＝90°﹣α，

∵AD、BD分别平分△ABC的外角，

∴∠DAB＝45°，∠ABD＝45°α，

∴∠EDB＝180°﹣∠DAB﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣（45°α）＝90°α，

∴∠EBD＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝180°﹣α﹣（90°α）＝90°α，

∴∠EDB＝∠EBD，

∴EB＝ED，

∵，

∴∠ECB＝∠EAB＝45°，

∵∠AEB＝90°，

∴△BCE是等腰直角三角形，

∴EB＝EC，

∴EB＝EC＝ED，

∴点D在半径为2的⊙E上逆时针旋转135°，

∴点D所经历的路径长为：，

故答案为：．

三、解答题（共8小题，共72分）

17．（8分）解方程：x2﹣x﹣3＝0．

【解答】解：x2﹣x﹣3＝0，

∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，

Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，

∴方程有两个不等的实数根，

∴x，

则x1，x2．

18．（8分）如图：OA＝OB＝OC，∠AOB∠BOC，∠BAC＝45°．

（1）求证：A，B，C在以O为圆心，OA为半径的圆上；

（2）求∠OAC的度数．

【解答】（1）证明：如图，∵OA＝OB＝OC，

∴点O是△ABC的外接圆的圆心，

∴A，B，C在以O为圆心，OA为半径的圆上；

（2）解：∵∠BOC＝2∠BAC，∠BAC＝45°，

∴∠BOC＝90°，

∵∠AOB∠BOC＝30°，

∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA（180°﹣120°）＝30°．

19．（8分）在平面直角坐标系中，已知二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3．

（1）完成表格，根据数据在平面直角坐标系中画出二次函数的图象；

（2）当x满足 　x＜﹣1或x＞3　时，函数值大于0；

（3）当﹣2＜x＜2时，y的取值范围是 　﹣3＜y＜5　．

【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3，

∴当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）﹣3＝1+2﹣3＝0；

当x＝0时，y＝﹣3；

当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4；

当x＝2时，y＝4﹣4﹣3＝﹣3；

当x＝3时，y＝9﹣6﹣3＝0．

故答案为：0，﹣3，﹣4，﹣3，0；

图象如图所示：

（2）从图象看，当x满足x＜﹣1或x＞3时，函数值大于0，

故答案为：x＜﹣1或x＞3；

（3）∵y＝x2﹣2x﹣3，

当x＝﹣2时，y＝4+4﹣3＝5，

当x＝2时，y＝4﹣4﹣3＝﹣3，

结合函数图象当﹣2＜x＜2时，y的取值范围是﹣3＜y＜5，

故答案为：﹣3＜y＜5．

20．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、C为格点，点B在网格线上，以AB为直径作半圆，点D在半圆上，连接AC、BC．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）

（1）分别在AB、AC取点E、F，使EF∥BC，EFBC；

（2）作△ABC的角平分线BM；

（3）在△ABC的角平分线BM取一点N，使CN+DN最小．

【解答】解：（1）如图1，

①连接矩形AHCG的对角线GH，交AC于F，

②格线ET与AB交于点E，

③连接EF，

则EF，

证明：∵四边形AHCG是矩形，

∴AF＝CF，

∵ET∥BK，AT＝TK，

∴，

∴AE＝EB，

∴EF；

（2）如图2，

①延长EF，交半圆于I，

②过B、I作射线BM，

则BM平分∠ABC，

证明：延长AI交BC于J，

∵EF是△ABC的中位线，

∴EF∥BC，

∴，

∴AI＝IJ，

∵AB是⊙E的直径，

∴∠AIB＝90°，

∴BJ＝BA，

∴BM平分∠ABC；

（3）如图3，

设AC与BM的交点是点Q，

①连接JQ并延长交AB于P，

②连接DP交BM于N，

则点N就是求作的点，

证明：∵BM垂直平分AJ，

∴QJ＝QA，BJ＝BA，

∴∠AJP＝∠JAC，∠AJB＝∠JAB，

∵AJ＝AJ，

∴△AJC≌△JAP（ASA），

∴JC＝AP，AC＝JP，

∴BC＝BP，QC＝QP，

∴BM垂直平分CP，

即C和P关于BM对称，

∴CN+DN最小是DP．

21．（8分）如图，P是圆上一动点，弦ABcm，PC平分∠APB，C在圆上，∠BAC＝30°．

（1）当∠PAC等于多少度时，四边形PACB有最大面积？最大面积是多少？

（2）当PA的长为 　1或2　，四边形PACB是梯形（一组对边平行，另一组对边不平行的四边形）（直接写答案）．

【解答】解：（1）如图1中，连接OA，作直径CD，设CD交AB于点N．

∵PC平分∠APB，

∴∠APC＝∠BPC，

∴，

∴CD⊥AB，

∴AN＝BN（cm），

∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝30°，

∴∠AOC＝60°，

∴ON，OA＝2ON＝1（cm），

∴CD＝2OA＝2（cm），

观察图象可知，当点P与D重合时，四边形APBC的面积最大，此时∠PAC＝90°，

最大面积AB•CD（cm2）；

（2）如图2﹣1中，当PB是直径时，四边形PACB是梯形，此时AC∥PB，PA＝1．

如图2﹣2中，当AP是直径时，四边形APBC是梯形，此时AP∥BC，AP＝2．

综上所述，满足条件的AP的值为1或2．

故答案为：1或2．

22．（10分）水果店以一定的价格购进某种苹果若干千克，通过销售统计发现：这批苹果从开始销售至销售的第x天的总销量y（千克）与x的关系为二次函数，销售情况记录如表：

（1）求y与x的函数关系式；

（2）这批苹果多少天才能销售完；

（3）水果店为了充实库存，在销售第6天后决定每天又购进20千克该品种苹果，试问再过多少天该品种苹果库存量为244千克？

【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝ax2+bx+c，

则，

解得：，

∴y与x的函数关系式为y＝﹣x2+40x；

（2）由（1）得：y＝﹣x2+40x＝﹣（x﹣20）2+400，

∵﹣1＜0，

∴当x＝20时，y最大，最大值为400，

答：这批苹果20天才能销售完；

（3）设再过m天库存量为216千克，

由（2）知：库存原量为400千克，

（m+6）天后原本库存剩余量为：400﹣[﹣（m+6）2+40（m+6）]，

m天内再次购买的总量为20m，

∵两部分的总量为244千克，

∴400+（m+6）2﹣40（m+6）+20m＝244，

整理得：m2﹣8m﹣48＝0，

解得：m＝12或m＝﹣4（舍去）．

答：再过12天该品种苹果库存量为244千克．

23．（10分）【问题背景】如图1，P为△ABC内一点，连PB、PC．则PC+PB＜AB+AC．

小明考虑到“三角形两边之和大于第三边”，延长BP交AC于E，就可以证明上面结论．请按小明的思路完成证明过程；

【迁移应用】如图2，在△ABC中，∠BAC＞120°，P为△ABC内一点，求证：PA+PB+PC＞AB+AC．

【拓展创新】

已知△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，a+b＝4c，6a+3b＝19c，P为△ABC所在平面内一点，则PA+PB+PC的最小值为（用含c的式子表示） 　　．（直接写出结果）

【解答】【问题背景】

证明：如图1，延长BP交AC于点E，

在△ABE中，AE+AB＞BE＝BP+PE，

在△CPE中，PE+CE＞PC，

∴AB+AE+CE+PE＞PB+PE+PC，

∴AB+AC＞PB+PC，

即PC+PB＜AB+AC；

【迁移应用】证明：如图2，将△CAP绕点A逆时针旋转60°得到△DAQ，连接PQ，BD，PD，

由旋转可得：△DAQ≌△CAP，∠CAD＝∠PAQ＝60°，

∴AD＝AC，AQ＝AP，DQ＝PC，

∴△APQ是等边三角形，

∴PQ＝AP＝AQ，

∵∠BAC＞120°，

∴∠BAC+∠CAD＞180°，

∴由【问题背景】可知：在△BPD中，PB+PD＞AB+AD，

在△QPD中，PQ+QD＞PD，

∴PB+PQ+QD＞AB+AD，

∴PA+PB+PC＞AB+AC；

【拓展创新】

解：由【问题背景】知，当P为△ABC所在平面内一点时，

PA+PB≥AB，PB+PC≥BC，PA+PC≥AC，

∴PA+PB+PC，

∵BC＝a，AB＝c，AC＝b，a+b＝4c，6a+3b＝19c，

∴PA+PB+PC最小值为（a+b+c），

故答案为：．

24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点．且抛物线的对称轴为x＝2，OC＝3，S△ABC＝3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，过D（m，﹣2）作抛物线切线（不与y轴平行，且与抛物线有且仅有一个交点）DE：y＝k1x+b1（切点为E）和DF：y＝k2x+b2（F为切点），求k1k2的值；

（3）如图3，将抛物线向左平移两个单位后再沿y轴向下运动得抛物线C1，直线l3、l4分别与（2）中直线DE、DF平行，l3与C1交于E，F两点，l4与C1交于G，H两点，M，N分别为EF、GH的中点，求点O到直线MN的距离d的最大值．

【解答】解：（1）∵S△aABC＝3，OC＝3，

∴•AB•DC＝3，

∴AB＝2，

∵对称轴为直线x＝2，

设A（a，0），B（b，0），

∴b﹣2＝2﹣a＝1，解得a＝1，b＝3，

∴A（1，0），B（3，0），

设y＝a（x﹣1）（x﹣3）过点（0，3），

∴3＝3a，解得a＝1，

∴y＝x2﹣4x+3．

（2）将抛物线C：y＝（x﹣2）2﹣1向左平移2个单位，向上平移1个单位得y＝x2，

设点D（m，﹣2）向上平移后对应点为D1（n，﹣1），

∴平移后的切线l1为：y+1＝k1（x﹣n），平移后的切线l2为：y+1＝k2（x﹣n），

∴，

∴x2﹣k1x+k1n+1＝0，

∴Δ＝k12﹣4k1n﹣4＝0，

同理可得，k22﹣4k2n﹣4＝0，

∵k1≠k2，

∴k1，k2是k2﹣4kn﹣4＝0的两根，

∴k1k2＝﹣4．

（3）∵DE∥l3，DF∥l4，

∴l3的解析式为：y＝k1x（k1k2＝﹣4），l4的解析式为：yx，

∴，即x2﹣k1x+m＝0，

∴xE+xF＝k1，

∵M为EF的中点，

∴xM，

∴yM，

∴M（，），

∵，即x2x+m＝0，

∵点N是GF的中点，

∴xN，yN，

∴N（，），

设MN的解析式为：y＝px+q，

∴，解得，，

∴直线MN：yx+2，且该直线过定点（0，2），

∴d≤2．

∴点O到直线MN的距离d的最大值2．