2019年甘肃省兰州市中考数学试卷与答案

2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）

一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.

1．﹣2019的相反数是（　　）

A． B．2019 C．﹣2019 D．

2．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝80°，则∠2＝（　　）

A．130° B．120° C．110° D．100°

3．计算：（　　）

A． B．2 C．3 D．4

4．剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）

A．  B． C．   D．

5．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（　　）

A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣6

6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（　　）

A．110° B．120° C．135° D．140°

7．化简：（　　）

A．a﹣1 B．a+1 C． D．

8．已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则（　　）

A．2 B． C．3 D．

9．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为（　　）

A． B．  C．  D．

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A（﹣3，5），B（﹣4，3），A1（3，3），则B1的坐标为（　　）

A．（1，2） B．（2，1） C．（1，4） D．（4，1）

11．已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（　　）

A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1 C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2

12．如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM＝（　　）

A． B． C．1 D．1

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13．因式分解：a3+2a2+a＝　   　．

14．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B＝　   　°．

15．如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数y（k＞0）的图象上，S矩形OABC＝6，则k＝　   　．

16．如图，矩形ABCD，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长作半径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则矩形ABCD的面积等于　   　．

三、解答题：本大题共12小题，共86分.

17．（5分）计算：|﹣2|﹣（1）0+（﹣2）2﹣tan45°．

18．（5分）化简：a（1﹣2a）+2（a+1）（a﹣1）．

19．（5分）解不等式组：．

20．（6分）如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E，求证：AC∥DF．

21．（6分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强﹣﹣国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．

第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1，A2，A3，A4表示）；

第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1，B2，B3表示）．

（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；

（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．

22．（7分）如图，AC＝8，分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O．

（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；

（2）求BD的长．

23．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（k≠0）的图象经过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．

（1）求反比例函数y（k≠0）的表达式；

（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标．

24．（7分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析．

小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下：

收集、整理数据：

表一

分析数据：

表二

小丽用同样的方法对八年级2班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如下：

表三

根据以上信息，解决下列问题：

（1）已知八年级1班学生的成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：

85，87，88，80，82，85，83，85，87，85

根据上述数据，将表二补充完整；

（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．

25．（7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：

问题提出：

如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．

方案设计：

如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳蓬CD．

数据收集：

通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA与遮阳蓬CD的夹角∠ADC最大（∠ADC＝77.44°）；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳蓬CD的夹角∠BDC最小（∠BDC＝30.56°）．窗户的高度AB＝2m．

问题解决：

根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD的长．

（结果精确到0.1m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）

26．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点D为BC的中点，BE＝DE，将∠BDE绕点D顺时针旋转α度（0≤α≤83°），角的两边分别交直线AB于M、N两点，设B、M两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm．

小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小涛的探究过程，请补充完整．

（1）列表：下表的已知数据是B，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：

请你通过计算，补全表格；

（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象．

（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：　   　．

（4）解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是　   　cm．（保留两位小数）．

27．（10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．

【模型呈现】

如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE．

我们把这个数学模型成为“K型”．

推理过程如下：

【模型应用】

如图，在Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接DO交⊙O于点F．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）连接FC交AB于点G，连接FB．求证：FG2＝GO•GB．

28．（12分）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．

（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；

（2）连接BD，当t时，求△DNB的面积；

（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；

（4）当t时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．

2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）答案

1． B．2． D．3． A．4． C．5．A．6． D．7． A．8． B．9． C．10． B．11． A．12． D．

13． a（a+1）2．14． 70．15． 6．16． 3，

17．解：原式＝2﹣1+4﹣1＝4．

18．解：原式＝a﹣2a2+2（a2﹣1）＝a﹣2a2+2a2﹣2＝a﹣2

19．解：

解不等式①得：x＜6，

解不等式②得：x＞2，

所以，不等式组的解集为2＜x＜6．

20．证明：∵BF＝EC，

∴BF+FC＝EC+FC，

∴BC＝EF，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS），

∴∠ACB＝∠DFE，

∴AC∥DF．

21．解：（1）画树状图为：

共有12种等可能的结果数；

（2）小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数为2，

所以小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．

22．解：（1）四边形ABCD为菱形；

由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，

所以四边形ABCD为菱形；

（2）∵四边形ABCD为菱形，

∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，

在Rt△AOB中，OB3，

∴BD＝2OB＝6．

23．解：（1）作BD⊥OC于D，

∵△BOC是等边三角形，

∴OB＝OC＝2，ODOC＝1，

∴BD，

∴S△OBDOD×BD，

S△OBD|k|，

∴|k|，

∵反比例函数y（k≠0）的图象在一三象限，

∴k，

∴反比例函数的表达式为y；

（2）∵S△OBCOC•BD，

∴S△AOC＝32，

∵S△AOCOC•yA＝2，

∴yA＝2，

把y＝2代入y，求得x，

∴点A的坐标为（，2）．

24．解：（1）共有25个数据，第13个数落在80≤x＜90这一组中，此组最小的数为第13个数，

所以八年级1班学生的成绩的中位数为80；

故答案为80；

（2）八年级1班学生的成绩更为优异．

理由如下：八年级1班学生的成绩的平均数比2班高，1班的中位数比2班的中位数大，并且1班的众数为85，比2班的众数大，1班的方差比2班小，比较稳定．

25．解：在Rt△DCB中，tan∠BDC，

则BC＝CD•tan∠BDC≈0.59CD，

在Rt△DCA中，tan∠ADC，

则AC＝CD•tan∠ADC≈4.49CD，

由题意得，AC﹣BC＝AB，即4.49CD﹣0.59CD＝2，

解得，CD≈0.5m，

答：遮阳蓬CD的长约为0.5m．

26．解：（1）①当x＝BM＝0时，

连接AD，则AD⊥BC，BD＝CDBC＝4，

cos∠ABDcosα，则sinα，

则y＝MN＝BN3；

②x＝BM，

在△MBD中，BD＝4，BM，

cos∠Bcosα，tanα，

过点M作MH⊥BD于点H，

则BH＝BMcosα，则EH，

MD2＝HD2+EH2，

则BD2＝BM2+MD2，

故∠BMD＝90°，

则y＝MN＝MDtanα＝（DBsinα）tanα；

故：答案为3，；

（2）描点出如下图象，

（3）从图象可以看出：0≤x≤1.65时，y随x最大而减小，

当1.65＜x≤4.10时，y随x最大而增大（数值是估值，不唯一）；

（4）方法一：

MN＝2BM，即y＝2x，

在上图中作直线y＝2x，

直线与曲线交点的横坐标1.33和4

故答案为：1.33或4．

方法二：

如图3，DN与CA的延长线交于点H．

设BM＝x，MN＝2x

EN＝3x﹣3，AN＝6﹣3x

∵∠NDB＝∠H+∠C（外角的性质）

∠NDB＝∠MDB+∠NDM

∴∠MDB+∠NDM＝∠H+∠C

∴∠MDB＝∠H，∠B＝∠C

∴△MDB∽△DHC

∴

∴，CH，HA＝HC﹣AC6

又∵△HAN∽△DEN

∴

∴

3x3﹣16x+16＝0

解得x1＝4，x2．

故答案为：1.33或4．

27．证明：（1）∵⊙O为Rt△ABC的外接圆

∴O为斜边AB中点，AB为直径

∵∠ACB＝90°

∴∠ABC+∠BAC＝90°

∵∠DAE＝∠ABC

∴∠DAE+∠BAC＝90°

∴∠BAD＝180°﹣（∠DAE+∠BAC）＝90°

∴AD⊥AB

∴AD是⊙O的切线

（2）延长DO交BC于点H，连接OC

∵DE⊥AC于点E

∴∠DEA＝90°

∵AB绕点A旋转得到AD

∴AB＝AD

在△DEA与△ACB中

∴△DEA≌△ACB（AAS）

∴AE＝BC＝2，AC＝DE＝1

∴AD＝AB

∵O为AB中点

∴AOAB

∴

∵∠DAO＝∠AED＝90°

∴△DAO∽△AED

∴∠ADO＝∠EAD

∴DO∥EA

∴∠OHB＝∠ACB＝90°，即DH⊥BC

∵OB＝OC

∴OH平分∠BOC，即∠BOH∠BOC

∵∠FOG＝∠BOH，∠BFG∠BOC

∴∠FOG＝∠BFG

∵∠FGO＝∠BGF

∴△FGO∽△BGF

∴

∴FG2＝GO•GB

28．解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，

∴a，b，

∴yx2x+2；

（2）C（0，2），

∴BC的直线解析式为yx+2，

当t时，AM＝3，

∵AB＝5，

∴MB＝2，

∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），

∴△DNB的面积＝△DMB的面积﹣△MNB的面积MB×DMMB×MN2×2＝2；

（3）∵BM＝5﹣2t，

∴M（2t﹣1，0），

设P（2t﹣1，m），

∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，

∵PB＝PC，

∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，

∴m＝4t﹣5，

∴P（2t﹣1，4t﹣5），

∵PC⊥PB，

∴•1

∴t＝1或t＝2，

∴M（1，0）或M（3，0），

∴D（1，3）或D（3，2）；

（4）当t时，M（，0），

∴点Q在抛物线对称轴x上，

如图：过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x的交点分别为Q1与Q2，

∵AB＝5，

∴AM，

∵∠AQ1C+∠OAC＝90°，∠OAC+∠MAG＝90°，

∴∠AQ1C＝∠MAG，

又∵∠AQ1C＝∠CGA＝∠MAG，

∴Q1（，），

∵Q1与Q2关于x轴对称，

∴Q2（，），

∴Q点坐标分别为（，），（，）；

声明：试题解析著作