2021年甘肃省兰州市中考数学解答题练习（二）（含答案）

这是一份2021年甘肃省兰州市中考数学解答题练习（二）（含答案），共21页。试卷主要包含了用配方法解方程，，其中x＝2，y＝﹣1，解不等式组，已知等内容，欢迎下载使用。

一．解答题（共12小题，满分72分）
1．（4分）用配方法解方程：2x2﹣4x﹣16＝0．
2．（4分）先化简，再求值：[（2x+y）2﹣y（y+4x）﹣8xy]÷（2x），其中x＝2，y＝﹣1．
3．（4分）解不等式组．
4．（5分）已知：如图，∠DAE＝60°，B是AE上一点，以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点C，连接BC．求证：∠ACB＝90°．
5．（5分）某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量x（kg）之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？
（2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式．
6．（6分）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC＝840m，BC＝500m．请求出点O到公路AC的距离．
（参考数据：sin73.7°≈，cs73.7°≈，tan73.7°≈）
7．（6分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D、E，BD＝．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）如图2，平移直线AC，当AC与反比例函数只有一个交点时，求此交点坐标；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
8．（7分）某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试．根据测试成绩绘制出的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）．
已知甲组的平均成绩为8.7分．
甲组成绩统计表：
请根据上面的信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，甲组成绩的中位数是 ，乙组成绩的众数是 ；
（2）参考下面甲组成绩方差的计算过程，求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？
S甲2＝＝0.81．
（3）在甲组的5名满分同学中，有3名男生和2名女生，现从这5人中任选两人进行复测，请用列表或画树状图的方法求选中的这两人都是男生的概率．
9.（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点D是AB的中点，以D为顶点作∠MDN＝∠A，∠MDN的两边分别与线段AC交于点M．N（点M在点N左边）．设A，M两点间的距离为xcm，C、N两点间的距离为ycm．
小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：
请你补全表格：a＝ ；b＝ ．
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象：
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： ．
（4）解决问题：当AM＝CN时，A、M两点间的距离大约是 cm．（保留一位小数）
10．（7分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点B作⊙O的切线BF，过圆心O作AC的平行线交直线BF于点F，交⊙O于点E，交BC于点D，连接CF．
（1）判断CF与⊙O的位置关系，并证明结论；
（2）若四边形ACFO是平行四边形，求的值；
（3）若△ACB运动后能与△OFB重合，则＝ ，请说明图形的运动过程．
11．（8分）综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．
12．（9分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年兰州市中考数学解答题练习（二）
参考答案与试题解析
一．解答题（共11小题，满分65分）
1．（4分）用配方法解方程：2x2﹣4x﹣16＝0．
【解答】解：x2﹣2x﹣8＝0，
x2﹣2x＝8，
x2﹣2x+1＝8+1，即（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
∴x1＝4，x2＝﹣2．
2．（4分）先化简，再求值：[（2x+y）2﹣y（y+4x）﹣8xy]÷（2x），其中x＝2，y＝﹣1．
【解答】解：[（2x+y）2﹣y（y+4x）﹣8xy]÷（2x）
＝[4x2+4xy+y2﹣y2﹣4xy﹣8xy]÷（2x）
＝（4x2﹣8xy）÷（2x）
＝2x﹣4y，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2×2﹣4×（﹣1）＝4+4＝8．
3．（4分）解不等式组．
【解答】解：
由①得，x
由②得，x＜2，
∴不等式组的解集为﹣≤x＜2．
4．（5分）已知：如图，∠DAE＝60°，B是AE上一点，以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点C，连接BC．求证：∠ACB＝90°．
【解答】证明：连接CF，
∵AF＝AB＝AC，∠DAE＝60°，
∴△CFA是等边三角形，
∴∠CFA＝∠ACF＝60°，AF＝CF，
又∵BF＝AF，
∴BF＝CF，
∴∠FBC＝∠FCB＝∠CFA＝30°，
∴∠ACB＝∠ACF+∠FCB＝90°，
即∠ACB＝90°．
5．（5分）某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量x（kg）之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？
（2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式．
【解答】解：（1）200×（10﹣8）＝400（元）
答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元；
（2）设点B坐标为（a，400），根据题意得：
（10﹣8）×[600﹣（a﹣200）]+（10﹣8.5）×200＝1200，
解这个方程，得a＝350，
∴点B坐标为（350，400），
设线段BC所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b，则：
，解得，
∴线段BC所在直线对应的函数表达式为．
6．（6分）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC＝840m，BC＝500m．请求出点O到公路AC的距离．
（参考数据：sin73.7°≈，cs73.7°≈，tan73.7°≈）
【解答】解：作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，
则四边形ONCM为矩形，
∴ON＝MC，OM＝NC，
设OM＝x，则NC＝x，AN＝840﹣x，
在Rt△ANO中，∠OAN＝45°，
∴ON＝AN＝840﹣x，则MC＝ON＝840﹣x，
在Rt△BOM中，BM＝，
由题意得，840﹣x+x＝500，
解得，x＝480，
∴ON＝840﹣480＝360（m），
即点O到公路AC的距离360米．
7．（6分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D、E，BD＝．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）如图2，平移直线AC，当AC与反比例函数只有一个交点时，求此交点坐标；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
【解答】解：（1）∵，则BC＝2，而，
∴，故点，
将点D的坐标代入反比例函数表达式得，
解得，
故反比例函数表达式为，
当x＝2时，，
故点．
（2）∵矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点，
∴A（2，0），，
设直线AC关系式为y＝ax+b，则，
解得，
∴，
设直线AC平移后关系式为，
联立得，
整理得，
∵直线AC平移后与反比例函数只有一个交点，
∴，
解得m1＝6，m2＝﹣6（不合题意，舍去），
∴，
解得，
∴，
∴此交点坐标为．
（3）①当点F在点C的下方时，当点G在点F的右方时，如下图，
过点F作FH⊥y轴于点H，
∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2，
在Rt△OAC中，OA＝BC＝2，，
则，故∠OCA＝30°，
则，，，
故点，则点，
当x＝3时，，故点G在反比例函数图象上．
②当点F在点C的上方时，同理可得，点，
同理可得，点G在反比例函数图象上．
综上，点G的坐标为或都在反比例函数图象上．
8．（7分）某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试．根据测试成绩绘制出的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）．
已知甲组的平均成绩为8.7分．
甲组成绩统计表：
请根据上面的信息，解答下列问题：
（1）m＝ 3 ，甲组成绩的中位数是 8.5 ，乙组成绩的众数是 8 ；
（2）参考下面甲组成绩方差的计算过程，求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？
S甲2＝＝0.81．
（3）在甲组的5名满分同学中，有3名男生和2名女生，现从这5人中任选两人进行复测，请用列表或画树状图的方法求选中的这两人都是男生的概率．
【解答】解：（1）m＝20﹣2﹣9﹣6＝3（人），
把甲组成绩从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，
则中位数是＝8.5（分），
乙组成绩8分出现的次数最多，出现了9次，
则乙组成绩的众数是8分．
故答案为：3，8.5，8；
（2）乙组平均成绩是：（2×7+9×8+6×9+3×10）＝8.5（分），
乙组的方差是：×[2×（7﹣8.5）2+9×（8﹣8.5）2+6×（9﹣8.5）2+3×（10﹣8.5）2]＝0.75；
∵S乙2＝＜S甲2，
∴乙组的成绩更加稳定．
（3）列表如下：
∵一共有20种等可能的结果，其中选中的两人均是男的情况共有6种等可能的结果，
∴P（选中的两人都是男生）＝＝．
9.（7）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点D是AB的中点，以D为顶点作∠MDN＝∠A，∠MDN的两边分别与线段AC交于点M．N（点M在点N左边）．设A，M两点间的距离为xcm，C、N两点间的距离为ycm．
小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：
请你补全表格：a＝ 4.9 ；b＝ 1.8 ．
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象：
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： y随x的增大而减小 ．
（4）解决问题：当AM＝CN时，A、M两点间的距离大约是 3.0 cm．（保留一位小数）
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC＝6，AC＝8，则AB＝10，AD＝5，cs∠BAC＝，
如图1，当x＝0时，点A、M重合，
过点N作NH⊥AB于点H，
∵∠MDN＝∠A，故AH＝AD，
在Rt△ANH中，AN＝MN＝＝＝，
则y＝CN＝AC﹣AN＝8﹣＝≈4.9＝a，
同理可得b＝1.75≈1.8，
故答案为4.9，1.8；
（2）根据表格数据描点连线绘图如图2，
（3）随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势为：y随x的增大而减小，
故答案为y随x的增大而减小；
（4）在图2的基础上，画出直线y＝x，即AM＝CN，
从图象看．两个函数的交点横坐标约为3.0，
故答案为3.0．
10．（7分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点B作⊙O的切线BF，过圆心O作AC的平行线交直线BF于点F，交⊙O于点E，交BC于点D，连接CF．
（1）判断CF与⊙O的位置关系，并证明结论；
（2）若四边形ACFO是平行四边形，求的值；
（3）若△ACB运动后能与△OFB重合，则＝ 1 ，请说明图形的运动过程．
【解答】解：（1）CF与⊙O相切．
理由如下：连接OC，如图1，
∵AC∥OF，
∴∠BAC＝∠BOF，∠ACO＝∠COF，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠BOF＝∠COF，
在△BOF和△COF中，
，
∴△BOF≌△COF（SAS），
∴∠OBF＝∠OCF，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠OBF＝90°，
∴∠OCF＝90°，
∴CF是⊙O的切线；
（2）根据题意作出图形，如图2，连接OC，
∵四边形ACFO是平行四边形，
∴CF∥AO，CF＝AO，
∵OA＝OB，
∴CF∥OB，CF＝OB，
∴四边形OBFC为平行四边形，
∵OB＝OC，
∴四边形OBFC为菱形，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠OBF＝90°，
∴四边形OBFC为正方形，
∴∠BOD＝45°，OE⊥BC，
∴OD＝OB，
∵OE＝OB，
∴DE＝OE﹣OD＝OB﹣OB＝OB，
∴；
（3）∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠OBF＝∠ACB＝90°，
∵AC∥OF，
∴∠BOF＝∠BAC，
∵若△ACB运动后能与△OFB重合，
∴必有△ACB≌△OBF，
∴AC＝OB＝AB，
∴∠ABC＝30°，
连接OC，如图3，
∵AC∥OF，
∴∠BAC＝∠BOF，∠ACO＝∠COF，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠BOF＝∠COF，
∵OB＝OC，
∴OD⊥BC，
∴OD＝OB，
∵OB＝OE，
∴DE＝OE﹣OD＝OB﹣OB＝OB，
∴，
如图4，将△ABC沿CB直线，平移BC长度得△A'B'C'，再将△A'B'C'沿∠FBB'的平分线对折，则与△OBF重合．
故答案为：1．
11．（8分）综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．
【解答】解：（1）四边形BE'FE是正方形，
理由如下：
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，
又∵∠BEF＝90°，
∴四边形BE'FE是矩形，
又∵BE＝BE'，
∴四边形BE'FE是正方形；
（2）CF＝E'F；
理由如下：如图②，过点D作DH⊥AE于H，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AH＝AE，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE＝AE，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE＝CE'，
∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE＝E'F，
∴E'F＝CE'，
∴CF＝E'F；
（3）如图①，过点D作DH⊥AE于H，
∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE'＝E'F＝BE，
∵AB＝BC＝15，CF＝3，BC2＝E'B2+E'C2，
∴225＝E'B2+（E'B+3）2，
∴E'B＝9＝BE，
∴CE'＝CF+E'F＝12，
由（2）可知：BE＝AH＝9，DH＝AE＝CE'＝12，
∴HE＝3，
∴DE＝＝＝3．
12．（9分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），
∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∵抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）的图象经过点C（0，6），
∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），
∴a＝2，
∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6；
（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，
∴顶点M的坐标为（2，﹣2），
∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，
∴点N（2，2），
设直线AN解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，
联立方程组得：，
解得：，，
∴点D（4，6），
∴S△ABD＝×2×6＝6，
设点E（m，2m﹣2），
∵直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，
∴S△ABE＝S△ABD＝2或S△ABE＝S△ABD＝4，
∴×2×（2m﹣2）＝2或×2×（2m﹣2）＝4，
∴m＝2或3，
∴点E（2，2）或（3，4）；
（3）若AD为平行四边形的边，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD＝PQ，
∴xD﹣xA＝xP﹣xQ或xD﹣xA＝xQ﹣xP，
∴xP＝4﹣1+2＝5或xP＝2﹣4+1＝﹣1，
∴点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）；
若AD为平行四边形的对角线，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD与PQ互相平分，
∴，
∴xP＝3，
∴点P坐标为（3，0），
综上所述：当点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
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日期：2021/5/27 10:31:52；用户：沈泽军；邮箱：18298363750；学号：21978915
题号
一
总分
得分
日期
销售记录
6月1日
库存600kg，成本价8元/kg，售价10元/kg（除了促销降价，其他时间售价保持不变）．
6月9日
从6月1日至今，一共售出200kg．
6月10、11日
这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg．
6月12日
补充进货200kg，成本价8.5元/kg．
6月30日
800kg水果全部售完，一共获利1200元．
成绩
7
8
9
10
人数
1
9
5
5
x/cm
0
0.6
1.2
1.8
2.3
2.9
3.4
3.5
4.0
4.3
4.5
4.7
4.8
y/cm
a
4.6
4.3
3.9
3.6
3.1
2.6
2.4
b
1.2
0.9
0.4
0.2
日期
销售记录
6月1日
库存600kg，成本价8元/kg，售价10元/kg（除了促销降价，其他时间售价保持不变）．
6月9日
从6月1日至今，一共售出200kg．
6月10、11日
这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg．
6月12日
补充进货200kg，成本价8.5元/kg．
6月30日
800kg水果全部售完，一共获利1200元．
成绩
7
8
9
10
人数
1
9
5
5
男1
男2
男3
女1
女2
男1
男1男2
男1男3
男1女1
男1女2
男2
男2男1
男2男3
男2女1
男2女2
男3
男3男1
男3男2
男3女1
男3女2
女1
女1男1
女1男2
女1男3
女1女2
女2
女2男1
女2男2
女2男3
女2女1
x/cm
0
0.6
1.2
1.8
2.3
2.9
3.4
3.5
4.0
4.3
4.5
4.7
4.8
y/cm
a
4.6
4.3
3.9
3.6
3.1
2.6
2.4
b
1.2
0.9
0.4
0.2