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2021年甘肃省兰州市中考数学试卷（a卷） 含解析
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这是一份2021年甘肃省兰州市中考数学试卷（a卷） 含解析，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）
一、选择题：本大题12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项．
1．若∠A＝40°，则∠A的余角为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．140°
2．如图，该几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．计算：2a（a2+2b）＝（ ）
A．a3+4ab B．2a3+2ab C．2a+4ab D．2a3+4ab
4．关于x的一元一次不等式5x≥x+8的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．因式分解：x3﹣4x＝（ ）
A．x（x2﹣4x） B．x（x+4）（x﹣4）
C．x（x+2）（x﹣2） D．x（x2﹣4）
6．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，4）关于y轴对称的点B的坐标是（ ）
A．（3，﹣4） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣3，4） D．（3，4）
7．二次函数y＝x2+2x+2的图象的对称轴是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝2
8．如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被涂色的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为2，则k＝（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
10．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“E”字高度为（ ）
A．4.36mm B．29.08mm C．43.62mm D．121.17mm
11．如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a和b，则（a+b）2＝（ ）
A．12 B．13 C．24 D．25
12．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE，CE，∠ABC＝60°，∠BCE＝15°，ED＝2+2，则AD＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2
二、填空题：本大题4小题，每小题3分，共12分．
13．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”大意为：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若水位上升1m记作+1m，则下降2m记作 m．
14．将一副三角板如图摆放，则 ∥ ，理由是 ．
15．如图，传送带的一个转动轮的半径为10cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送6πcm，则n＝ ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝3．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于CQ长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为 ．
三、解答题：本大题共12小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（4分）计算：（+）×．
18．（4分）先化简，再求值：÷﹣，其中m＝4．
19．（4分）解方程：x2+4x﹣1＝0．
20．（5分）如图，点E，C在线段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF．求证：AC＝DF．
21．（6分）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）图象分别交于A（﹣2，m），B（4，n），与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数y＝（x＞0）和一次函数y＝﹣x+b的表达式；
（2）求△AOB的面积．
22．（6分）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼BC顶部避雷针CD的长度（B，C，D三点共线），在水平地面A点测得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A点与大楼底部B点的距离AB＝20m，求避雷针CD的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
23．（6分）小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：
（1）观光车出发 分钟追上小军；
（2）求l2所在直线对应的函数表达式；
（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．
24．（6分）2021年2月25日，习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告中国脱贫攻坚取得了全面胜利，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，根据2021年4月7日《人民日报》刊登的“人类减贫的中国实践”的相关数据进行收集和整理，信息如下：
信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量
信息二：脱贫攻坚以来财政专项扶贫资金投入
信息三：脱贫攻坚以来贫困地区农村居民和全国农村居民年人均可支配收入及增长率
年份、统计量
名称
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
平均数
贫困地区农村居民年人均可支配收入/元
6079
6852
7653
8452
9377
10371
11567
12588
9117
贫困地区农村居民年人均可支配收入增长率/%
16.5
12.7
11.7
10.4
10.9
10.6
11.5
8.8
11.6
全国农村居民年人均可支配收入增长率/%
12.4
11.2
8.9
8.2
8.6
8.8
9.6
6.9
9.3
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）2019年底中国农村贫困人口数量为 万人．
（2）2013年底至2020年底，贫困地区农村居民年人均可支配收入的极差为 元．
（3）下列结论正确的是 （只填序号）．
①脱贫攻坚以来中国农村贫因人口数量逐年减少，最终全部脱贫；
②脱贫攻坚以来我国贫困地区农村居民人均可支配收入年平均增长率为11.6%，增长持续快于全国农村；
③2016﹣2020年各级财政专项扶贫资金投入连续5年超过中央财政专项扶贫资金1000亿元．
25．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，将∠BAC绕点A顺时针旋转，角的两边分别交射线BC于D，E两点，F为AE上一点，连接CF，且∠ACF＝∠B（当点B，D重合时，点C，F也重合）．设B，D两点间的距离为xcm（0≤x≤8），A，F两点间的距离为ycm．
小刚根据学习函数的经验，对因变量y随音自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小刚的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据B，D两点间的距离x进行取点，画图，测量分别得到了x与y的几组对应值；
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
6
7
8
y/cm
6.00
5.76
5.53
5.31
5.09
4.88
4.69
4.50
4.33
4.17
4.02
3.79
3.65
a
请你通过计算补全表格：a＝ ；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： ；
（4）解决问题：当AF＝CD时，BD的长度大约是 cm．（结果保留两位小数）
26．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，E为AB上一点，BE＝BC，延长CE交AD于点D，AD＝AC．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若tan∠ACE＝，OE＝3，求BC的长．
27．（8分）已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．
【探究建模】
（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；
【类比应用】
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；
【拓展迁移】
（3）如图3，当点E在正方形ABCD外部时，AE⊥EC，AE⊥AF，DE⊥BE，且D，F，E三点共线，DE与AB交于G点．若DF＝3，AE＝，求CE的长．
28．（9分）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．
（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；
（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．
①当点D在抛物线上时，求点D的坐标；
②点E（2，﹣）在抛物线上，连接PE，当PE平分∠BPD时，直接写出点P的坐标．
2021年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项．
1．若∠A＝40°，则∠A的余角为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．140°
【解答】解：设∠A的余角是∠B，则∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝90°﹣40°＝50°．
故选：C．
2．如图，该几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从正面看该几何体，可得：
故选：B．
3．计算：2a（a2+2b）＝（ ）
A．a3+4ab B．2a3+2ab C．2a+4ab D．2a3+4ab
【解答】解：2a（a2+2b）
＝2a•a2+2a•2b
＝2a3+4ab．
故选：D．
4．关于x的一元一次不等式5x≥x+8的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：5x≥x+8，
移项得：5x﹣x≥+8，
合并得：4x≥8，
解得：x≥2，
故选：B．
5．因式分解：x3﹣4x＝（ ）
A．x（x2﹣4x） B．x（x+4）（x﹣4）
C．x（x+2）（x﹣2） D．x（x2﹣4）
【解答】解：x3﹣4x
＝x（x2﹣4）
＝x（x+2）（x﹣2）．
故选：C．
6．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，4）关于y轴对称的点B的坐标是（ ）
A．（3，﹣4） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣3，4） D．（3，4）
【解答】解：点A（﹣3，4）关于y轴的对称点是B（3，4），
故选：D．
7．二次函数y＝x2+2x+2的图象的对称轴是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝2
【解答】解：∵y＝x2+2x+2中a＝1，b＝2，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1．
故选：A．
8．如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被涂色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：将一个棱长为3的正方体分割成棱长为1的小正方体，一共可得到3×3×3＝27（个），有6个一面涂色的小立方体，所以，从27个小正方体中任意取1个，则取得的小正方体恰有两个面涂色的概率为＝，
故选：B．
9．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为2，则k＝（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【解答】解：∵C是OB的中点，△AOC的面积为2，
∴△AOB的面积为4，
∵AB⊥x轴，
∴AB•OB＝4，
∴AB•OB＝8，
∴k＝8．
故选：B．
10．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“E”字高度为（ ）
A．4.36mm B．29.08mm C．43.62mm D．121.17mm
【解答】解：由题意得：CB∥DF，
∴＝，
∵AD＝3m，AB＝5m，BC＝72.7mm，
∴＝，
∴DF＝43.62（mm），
故选：C．
11．如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a和b，则（a+b）2＝（ ）
A．12 B．13 C．24 D．25
【解答】解：∵四边形ABCD的面积为13，
∴c2＝13＝a2+b2，
∵中间空白处的四边形EFGH的面积为1，
∴（b﹣a）2＝1，
∴（a+b）2＝25，
故选：D．
12．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE，CE，∠ABC＝60°，∠BCE＝15°，ED＝2+2，则AD＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝60°，∠BCD＝120°，AC⊥BD，AO＝CO，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴DO＝CO＝AO，AD＝2AO，
∵∠BCE＝15°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠ACE＝∠DEC＝45°，
∴EO＝CO＝AO，
∵ED＝2+2，
∴AO+AO＝2+2，
∴AO＝2，
∴AD＝4，
故选：A．
二、填空题：本大题4小题，每小题3分，共12分．
13．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”大意为：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若水位上升1m记作+1m，则下降2m记作 ﹣2 m．
【解答】解：∵水位上升1米记为+1米，
∴水位下降2米记为﹣2米，
故答案为：﹣2．
14．将一副三角板如图摆放，则 BC ∥ ED ，理由是 内错角相等，两直线平行 ．
【解答】解：根据题意得出，∠ACB＝90°，∠DEF＝90°，
∴∠ACB＝∠DEF，
∴BC∥ED．
故答案为：BC；ED；内错角相等，两直线平行．
15．如图，传送带的一个转动轮的半径为10cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送6πcm，则n＝ 108 ．
【解答】解：∵物品A被传送的距离等于转动了n°的弧长，
∴＝6π，
解得：n＝108，
故答案为：108．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝3．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于CQ长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD∥BC，BC＝AD＝3，
根据作图过程可知：AQ平分∠BAC，MN是CQ的垂直平分线，
∴∠BAQ＝45°，
∴BQ＝AB＝1，
∴AQ＝，
∵AD∥BC，
∴△BQO∽△DAO，
∴＝＝，
∴QO＝AQ＝，
∴AO＝，
如图，设CQ的垂直平分线MN交AD于点H，
∴GH⊥AD，
∴△AGH是等腰直角三角形，
∵AH＝GH＝AD﹣DH＝3﹣1＝2，
∴AG＝2，
∴OG＝AG﹣AO＝2﹣＝．
故答案为：．
三、解答题：本大题共12小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（4分）计算：（+）×．
【解答】解：原式＝+
＝2+3
＝5．
18．（4分）先化简，再求值：÷﹣，其中m＝4．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝，
当m＝4时，
原式＝．
19．（4分）解方程：x2+4x﹣1＝0．
【解答】解：∵x2+4x﹣1＝0
∴x2+4x＝1
∴x2+4x+4＝1+4
∴（x+2）2＝5
∴x＝﹣2±
∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
20．（5分）如图，点E，C在线段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF．求证：AC＝DF．
【解答】证明：∵AB∥ED，
∴∠ABC＝∠DEF．
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
∴AC＝DF．
21．（6分）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）图象分别交于A（﹣2，m），B（4，n），与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数y＝（x＞0）和一次函数y＝﹣x+b的表达式；
（2）求△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，m）在y＝的图象上，
∴m＝＝5，
∴A（﹣2，5），
∵点A（﹣2，5）在y＝﹣x+b上，
∴5＝﹣×（﹣2）+b，
∴b＝4，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+4，
∵点B（4，n）在y＝﹣x+4的图象上，
∴n＝﹣×4＝2，
∴B（4，2），
∵点B在y＝的图象上，
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数的表达式为y＝（x＞0）；
（2）∵直线y＝﹣x+4与y轴交于C点，
∴当x＝0时，y＝4，即OC＝4，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝OC•（|xA|+|xB|）＝×4×（2+4）＝12．
∴△AOB的面积为12．
22．（6分）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼BC顶部避雷针CD的长度（B，C，D三点共线），在水平地面A点测得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A点与大楼底部B点的距离AB＝20m，求避雷针CD的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【解答】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，
∴1.60＝，
∴BD＝32（米），
在Rt△CAD中，∵tan∠CAD＝，
∴1.33＝，
∴CD＝26.6（米），
∴CD＝BC﹣BD＝5.4（米）．
答：避雷针DC的长度为5.4米．
23．（6分）小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：
（1）观光车出发 6 分钟追上小军；
（2）求l2所在直线对应的函数表达式；
（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．
【解答】解：（1）由图象可知，观光车出发：21﹣15＝6（分钟），追上小军；
故答案为：6；
（2）观光车到达景区的时间为：15+3000÷（1800÷6）＝25（min），
设l2所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴l2所在直线对应的函数表达式为y＝300k﹣4500（15≤x≤25）；
（3）33﹣25＝8（min），
故观光车比小军早8分钟到达观景点．
24．（6分）2021年2月25日，习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告中国脱贫攻坚取得了全面胜利，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，根据2021年4月7日《人民日报》刊登的“人类减贫的中国实践”的相关数据进行收集和整理，信息如下：
信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量
信息二：脱贫攻坚以来财政专项扶贫资金投入
信息三：脱贫攻坚以来贫困地区农村居民和全国农村居民年人均可支配收入及增长率
年份、统计量
名称
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
平均数
贫困地区农村居民年人均可支配收入/元
6079
6852
7653
8452
9377
10371
11567
12588
9117
贫困地区农村居民年人均可支配收入增长率/%
16.5
12.7
11.7
10.4
10.9
10.6
11.5
8.8
11.6
全国农村居民年人均可支配收入增长率/%
12.4
11.2
8.9
8.2
8.6
8.8
9.6
6.9
9.3
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）2019年底中国农村贫困人口数量为 551 万人．
（2）2013年底至2020年底，贫困地区农村居民年人均可支配收入的极差为 6509 元．
（3）下列结论正确的是 ①②③ （只填序号）．
①脱贫攻坚以来中国农村贫因人口数量逐年减少，最终全部脱贫；
②脱贫攻坚以来我国贫困地区农村居民人均可支配收入年平均增长率为11.6%，增长持续快于全国农村；
③2016﹣2020年各级财政专项扶贫资金投入连续5年超过中央财政专项扶贫资金1000亿元．
【解答】解：（1）根据信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量的条形统计图即可知：2019年底中国农村贫困人口数量为551万人；
故答案为：551；
（2）12588﹣6079＝6509，
故答案为：6509；
（3）根据信息一，可得，脱贫攻坚以来中国农村贫因人口数量逐年减少，最终全部脱贫，故①正确；
②∵（16.5+12.7+11.7+10.4+10.9+10.6+11.5+8.8+11.6）÷9≈11.6，且每一年的我国贫困地区农村居民人均可支配收入年增长率持续快于全国农村；故②正确；
③2016年：1700﹣665＝1035＞1000，
2017年：2220﹣865＝1355＞1000，
2018年：2780﹣1065＝1715＞1000，
2019年：3160﹣1265＝1895＞1000，
2020年：3520﹣1465＝2055＞1000，
2016﹣2020年各级财政专项扶贫资金投入连续5年超过中央财政专项扶贫资金1000亿元．故③正确，
故答案为：①②③．
25．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，将∠BAC绕点A顺时针旋转，角的两边分别交射线BC于D，E两点，F为AE上一点，连接CF，且∠ACF＝∠B（当点B，D重合时，点C，F也重合）．设B，D两点间的距离为xcm（0≤x≤8），A，F两点间的距离为ycm．
小刚根据学习函数的经验，对因变量y随音自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小刚的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据B，D两点间的距离x进行取点，画图，测量分别得到了x与y的几组对应值；
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
6
7
8
y/cm
6.00
5.76
5.53
5.31
5.09
4.88
4.69
4.50
4.33
4.17
4.02
3.79
3.65
a
请你通过计算补全表格：a＝ 3.6 ；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： y的值逐渐减小 ；
（4）解决问题：当AF＝CD时，BD的长度大约是 3.5 cm．（结果保留两位小数）
【解答】解：（1）如图1中，连接DF．
∵∠BAC＝∠DAF，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠CFE＝∠ACF+∠CAF，∠ACF＝∠B，
∴∠CFE＝∠ADC，
∴A，F，C，D四点共圆，
∴∠AFD＝∠ACD＝90°，
当BD＝8时，如图2中，
在Rt△ACB中，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝＝10（cm），
∵cos∠CAF＝cos∠CAB，
∴＝，
∴AF＝＝＝3.6（cm），
∴a＝3.6，
故答案为：3.6．
（2）函数图象如图所示：
（3）随着自变量x的不断增大，函数y的值逐渐减小．
故答案为：y的值逐渐减小．
（4）如图，因为直线CD的红线解析式为y＝﹣x+8，
观察图象可知，当CD＝AF时，x≈3.5，
∴BD≈3.5，
故答案为：3.5．
26．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，E为AB上一点，BE＝BC，延长CE交AD于点D，AD＝AC．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若tan∠ACE＝，OE＝3，求BC的长．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠ACE+∠BCE＝90°，
∵AD＝AC，BE＝BC，
∴∠ACE＝∠D，∠BCE＝∠BEC，
又∵∠BEC＝∠AED，
∴∠AED+∠D＝90°，
∴∠DAE＝90°，
即AD⊥AE，
∵OA是半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）由tan∠ACE＝＝tan∠D可设AE＝a，则AD＝3a＝AC，
∵OE＝3，
∴OA＝a+3，AB＝2a+6，
∴BE＝a+3+3＝a+6＝BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB2＝BC2+AC2，
即（2a+6）2＝（a+6）2+（3a）2，
解得a1＝0（舍去），a2＝2，
∴BC＝a+6＝8．
27．（8分）已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．
【探究建模】
（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；
【类比应用】
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；
【拓展迁移】
（3）如图3，当点E在正方形ABCD外部时，AE⊥EC，AE⊥AF，DE⊥BE，且D，F，E三点共线，DE与AB交于G点．若DF＝3，AE＝，求CE的长．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠A＝∠ADC＝∠DCB＝∠DCF＝90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴AE＝CF．
（2）解：结论：EA+EC＝DE．
理由：如图2中，连接AC交DE于点O，过点D作DK⊥EC于点K，DJ⊥EA交EA的延长线于点J．
∵四边形ABCD是正方形，△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DAO＝∠OEC＝45°，
∵∠AOD＝∠EOC，
∴△AOD∽△EOC，
∴＝，
∴＝，
∵∠AOE＝∠DOC，
∴△AOE∽△DOC，
∴∠AEO＝∠DCO＝45°，
∴∠DEJ＝∠DEK，
∵∠J＝∠DKE＝90°，ED＝ED，
∴△EDJ≌△EDK（AAS），
∴EJ＝EK，DJ＝DK，
∵∠J＝∠DKC＝90°，DJ＝DK，DA＝DC，
∴Rt△DJA≌Rt△DKC（HL），
∴AJ＝CK，
∴EA+EC＝EJ﹣AJ+EK+CK＝2EJ，
∵DE＝EJ，
∴EA+EC＝DE．
（3）解：如图3中，连接AC，取AC的中点O，连接OE，OD．
∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EC，
∴∠AEC＝∠ADC＝90°，
∵OA＝OC，
∴OD＝OA＝OC＝OE，
∴A，E，C，D四点共圆，
∴∠AED＝∠ACD＝45°，
∴∠AEC＝∠DEC＝45°，
由（2）可知，AE+EC＝DE，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
∴AE＝AF＝，
∴EF＝AE＝2，
∵DF＝3，
∴DE＝5，
∴+EC＝5，
∴EC＝4．
28．（9分）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．
（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；
（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．
①当点D在抛物线上时，求点D的坐标；
②点E（2，﹣）在抛物线上，连接PE，当PE平分∠BPD时，直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）将B（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），
∴a＝，
∴y＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；
（2）令y＝0，则（x+3）（x﹣4）＝0，
∴x＝﹣3或x＝4，
∴A（4，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣2，
∵OP＝1，
∴P（1，0），
∵PQ⊥x轴，
∴Q（1，﹣），C（1，﹣2），
∴AP＝3，
∴S△ACQ＝S△ACP﹣S△APQ＝×3×2﹣×3×＝；
（3）①设P（t，0），
如图2，过点D作x轴垂线交于点N，
∵∠BPD＝90°，
∴∠OPB+∠NPD＝90°，∠OPB+∠OBP＝90°，
∴∠NPD＝∠OBP，
∵BP＝PD，
∴△PND≌△BOP（AAS），
∴OP＝ND，BO＝PN，
∴D（t+2，﹣t），
∴﹣t＝（t+2+3）（t+2﹣4），
解得t＝1或t＝﹣10，
∴D（3，﹣1）或D（﹣8，10）；
②如图3，∵PE平分∠BPD，
∴∠BPE＝∠EPD，
∵∠BPD＝90°，
∴∠BPE＝45°，
当PE∥y轴时，∠OBP＝45°，
∴P（2，0）；
如图4，过B点作BG⊥PB交PE于点G，过G点作FG⊥y轴，交于点F，
∵∠PBF+∠FBG＝90°，∠FBG+∠FGB＝90°，
∴∠PBF＝∠FGB，
∵∠BPG＝45°，
∴BP＝BG，
∴△BPO≌△GBF（AAS），
∴BF＝OP，FG＝OB，
∵OB＝2，
∴FG＝2，
∵E（2，﹣）
∴E点与G点重合，
∴PO＝BF＝2﹣＝，
∴P（﹣，0）；
综上所述：P点的坐标为（2，0）或（﹣，0）．
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日期：2021/10/13 16:57:33；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557
2021年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）
一、选择题：本大题12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项．
1．若∠A＝40°，则∠A的余角为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．140°
2．如图，该几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．计算：2a（a2+2b）＝（ ）
A．a3+4ab B．2a3+2ab C．2a+4ab D．2a3+4ab
4．关于x的一元一次不等式5x≥x+8的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．因式分解：x3﹣4x＝（ ）
A．x（x2﹣4x） B．x（x+4）（x﹣4）
C．x（x+2）（x﹣2） D．x（x2﹣4）
6．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，4）关于y轴对称的点B的坐标是（ ）
A．（3，﹣4） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣3，4） D．（3，4）
7．二次函数y＝x2+2x+2的图象的对称轴是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝2
8．如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被涂色的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为2，则k＝（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
10．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“E”字高度为（ ）
A．4.36mm B．29.08mm C．43.62mm D．121.17mm
11．如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a和b，则（a+b）2＝（ ）
A．12 B．13 C．24 D．25
12．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE，CE，∠ABC＝60°，∠BCE＝15°，ED＝2+2，则AD＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2
二、填空题：本大题4小题，每小题3分，共12分．
13．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”大意为：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若水位上升1m记作+1m，则下降2m记作 m．
14．将一副三角板如图摆放，则 ∥ ，理由是 ．
15．如图，传送带的一个转动轮的半径为10cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送6πcm，则n＝ ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝3．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于CQ长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为 ．
三、解答题：本大题共12小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（4分）计算：（+）×．
18．（4分）先化简，再求值：÷﹣，其中m＝4．
19．（4分）解方程：x2+4x﹣1＝0．
20．（5分）如图，点E，C在线段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF．求证：AC＝DF．
21．（6分）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）图象分别交于A（﹣2，m），B（4，n），与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数y＝（x＞0）和一次函数y＝﹣x+b的表达式；
（2）求△AOB的面积．
22．（6分）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼BC顶部避雷针CD的长度（B，C，D三点共线），在水平地面A点测得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A点与大楼底部B点的距离AB＝20m，求避雷针CD的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
23．（6分）小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：
（1）观光车出发 分钟追上小军；
（2）求l2所在直线对应的函数表达式；
（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．
24．（6分）2021年2月25日，习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告中国脱贫攻坚取得了全面胜利，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，根据2021年4月7日《人民日报》刊登的“人类减贫的中国实践”的相关数据进行收集和整理，信息如下：
信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量
信息二：脱贫攻坚以来财政专项扶贫资金投入
信息三：脱贫攻坚以来贫困地区农村居民和全国农村居民年人均可支配收入及增长率
年份、统计量
名称
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
平均数
贫困地区农村居民年人均可支配收入/元
6079
6852
7653
8452
9377
10371
11567
12588
9117
贫困地区农村居民年人均可支配收入增长率/%
16.5
12.7
11.7
10.4
10.9
10.6
11.5
8.8
11.6
全国农村居民年人均可支配收入增长率/%
12.4
11.2
8.9
8.2
8.6
8.8
9.6
6.9
9.3
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）2019年底中国农村贫困人口数量为 万人．
（2）2013年底至2020年底，贫困地区农村居民年人均可支配收入的极差为 元．
（3）下列结论正确的是 （只填序号）．
①脱贫攻坚以来中国农村贫因人口数量逐年减少，最终全部脱贫；
②脱贫攻坚以来我国贫困地区农村居民人均可支配收入年平均增长率为11.6%，增长持续快于全国农村；
③2016﹣2020年各级财政专项扶贫资金投入连续5年超过中央财政专项扶贫资金1000亿元．
25．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，将∠BAC绕点A顺时针旋转，角的两边分别交射线BC于D，E两点，F为AE上一点，连接CF，且∠ACF＝∠B（当点B，D重合时，点C，F也重合）．设B，D两点间的距离为xcm（0≤x≤8），A，F两点间的距离为ycm．
小刚根据学习函数的经验，对因变量y随音自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小刚的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据B，D两点间的距离x进行取点，画图，测量分别得到了x与y的几组对应值；
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
6
7
8
y/cm
6.00
5.76
5.53
5.31
5.09
4.88
4.69
4.50
4.33
4.17
4.02
3.79
3.65
a
请你通过计算补全表格：a＝ ；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： ；
（4）解决问题：当AF＝CD时，BD的长度大约是 cm．（结果保留两位小数）
26．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，E为AB上一点，BE＝BC，延长CE交AD于点D，AD＝AC．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若tan∠ACE＝，OE＝3，求BC的长．
27．（8分）已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．
【探究建模】
（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；
【类比应用】
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；
【拓展迁移】
（3）如图3，当点E在正方形ABCD外部时，AE⊥EC，AE⊥AF，DE⊥BE，且D，F，E三点共线，DE与AB交于G点．若DF＝3，AE＝，求CE的长．
28．（9分）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．
（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；
（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．
①当点D在抛物线上时，求点D的坐标；
②点E（2，﹣）在抛物线上，连接PE，当PE平分∠BPD时，直接写出点P的坐标．
2021年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项．
1．若∠A＝40°，则∠A的余角为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．140°
【解答】解：设∠A的余角是∠B，则∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝90°﹣40°＝50°．
故选：C．
2．如图，该几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从正面看该几何体，可得：
故选：B．
3．计算：2a（a2+2b）＝（ ）
A．a3+4ab B．2a3+2ab C．2a+4ab D．2a3+4ab
【解答】解：2a（a2+2b）
＝2a•a2+2a•2b
＝2a3+4ab．
故选：D．
4．关于x的一元一次不等式5x≥x+8的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：5x≥x+8，
移项得：5x﹣x≥+8，
合并得：4x≥8，
解得：x≥2，
故选：B．
5．因式分解：x3﹣4x＝（ ）
A．x（x2﹣4x） B．x（x+4）（x﹣4）
C．x（x+2）（x﹣2） D．x（x2﹣4）
【解答】解：x3﹣4x
＝x（x2﹣4）
＝x（x+2）（x﹣2）．
故选：C．
6．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，4）关于y轴对称的点B的坐标是（ ）
A．（3，﹣4） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣3，4） D．（3，4）
【解答】解：点A（﹣3，4）关于y轴的对称点是B（3，4），
故选：D．
7．二次函数y＝x2+2x+2的图象的对称轴是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝2
【解答】解：∵y＝x2+2x+2中a＝1，b＝2，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1．
故选：A．
8．如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被涂色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：将一个棱长为3的正方体分割成棱长为1的小正方体，一共可得到3×3×3＝27（个），有6个一面涂色的小立方体，所以，从27个小正方体中任意取1个，则取得的小正方体恰有两个面涂色的概率为＝，
故选：B．
9．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为2，则k＝（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【解答】解：∵C是OB的中点，△AOC的面积为2，
∴△AOB的面积为4，
∵AB⊥x轴，
∴AB•OB＝4，
∴AB•OB＝8，
∴k＝8．
故选：B．
10．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“E”字高度为（ ）
A．4.36mm B．29.08mm C．43.62mm D．121.17mm
【解答】解：由题意得：CB∥DF，
∴＝，
∵AD＝3m，AB＝5m，BC＝72.7mm，
∴＝，
∴DF＝43.62（mm），
故选：C．
11．如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a和b，则（a+b）2＝（ ）
A．12 B．13 C．24 D．25
【解答】解：∵四边形ABCD的面积为13，
∴c2＝13＝a2+b2，
∵中间空白处的四边形EFGH的面积为1，
∴（b﹣a）2＝1，
∴（a+b）2＝25，
故选：D．
12．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE，CE，∠ABC＝60°，∠BCE＝15°，ED＝2+2，则AD＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝60°，∠BCD＝120°，AC⊥BD，AO＝CO，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴DO＝CO＝AO，AD＝2AO，
∵∠BCE＝15°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠ACE＝∠DEC＝45°，
∴EO＝CO＝AO，
∵ED＝2+2，
∴AO+AO＝2+2，
∴AO＝2，
∴AD＝4，
故选：A．
二、填空题：本大题4小题，每小题3分，共12分．
13．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”大意为：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若水位上升1m记作+1m，则下降2m记作 ﹣2 m．
【解答】解：∵水位上升1米记为+1米，
∴水位下降2米记为﹣2米，
故答案为：﹣2．
14．将一副三角板如图摆放，则 BC ∥ ED ，理由是 内错角相等，两直线平行 ．
【解答】解：根据题意得出，∠ACB＝90°，∠DEF＝90°，
∴∠ACB＝∠DEF，
∴BC∥ED．
故答案为：BC；ED；内错角相等，两直线平行．
15．如图，传送带的一个转动轮的半径为10cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送6πcm，则n＝ 108 ．
【解答】解：∵物品A被传送的距离等于转动了n°的弧长，
∴＝6π，
解得：n＝108，
故答案为：108．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝3．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于CQ长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD∥BC，BC＝AD＝3，
根据作图过程可知：AQ平分∠BAC，MN是CQ的垂直平分线，
∴∠BAQ＝45°，
∴BQ＝AB＝1，
∴AQ＝，
∵AD∥BC，
∴△BQO∽△DAO，
∴＝＝，
∴QO＝AQ＝，
∴AO＝，
如图，设CQ的垂直平分线MN交AD于点H，
∴GH⊥AD，
∴△AGH是等腰直角三角形，
∵AH＝GH＝AD﹣DH＝3﹣1＝2，
∴AG＝2，
∴OG＝AG﹣AO＝2﹣＝．
故答案为：．
三、解答题：本大题共12小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（4分）计算：（+）×．
【解答】解：原式＝+
＝2+3
＝5．
18．（4分）先化简，再求值：÷﹣，其中m＝4．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝，
当m＝4时，
原式＝．
19．（4分）解方程：x2+4x﹣1＝0．
【解答】解：∵x2+4x﹣1＝0
∴x2+4x＝1
∴x2+4x+4＝1+4
∴（x+2）2＝5
∴x＝﹣2±
∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
20．（5分）如图，点E，C在线段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF．求证：AC＝DF．
【解答】证明：∵AB∥ED，
∴∠ABC＝∠DEF．
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
∴AC＝DF．
21．（6分）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）图象分别交于A（﹣2，m），B（4，n），与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数y＝（x＞0）和一次函数y＝﹣x+b的表达式；
（2）求△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，m）在y＝的图象上，
∴m＝＝5，
∴A（﹣2，5），
∵点A（﹣2，5）在y＝﹣x+b上，
∴5＝﹣×（﹣2）+b，
∴b＝4，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+4，
∵点B（4，n）在y＝﹣x+4的图象上，
∴n＝﹣×4＝2，
∴B（4，2），
∵点B在y＝的图象上，
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数的表达式为y＝（x＞0）；
（2）∵直线y＝﹣x+4与y轴交于C点，
∴当x＝0时，y＝4，即OC＝4，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝OC•（|xA|+|xB|）＝×4×（2+4）＝12．
∴△AOB的面积为12．
22．（6分）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼BC顶部避雷针CD的长度（B，C，D三点共线），在水平地面A点测得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A点与大楼底部B点的距离AB＝20m，求避雷针CD的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【解答】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，
∴1.60＝，
∴BD＝32（米），
在Rt△CAD中，∵tan∠CAD＝，
∴1.33＝，
∴CD＝26.6（米），
∴CD＝BC﹣BD＝5.4（米）．
答：避雷针DC的长度为5.4米．
23．（6分）小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：
（1）观光车出发 6 分钟追上小军；
（2）求l2所在直线对应的函数表达式；
（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．
【解答】解：（1）由图象可知，观光车出发：21﹣15＝6（分钟），追上小军；
故答案为：6；
（2）观光车到达景区的时间为：15+3000÷（1800÷6）＝25（min），
设l2所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴l2所在直线对应的函数表达式为y＝300k﹣4500（15≤x≤25）；
（3）33﹣25＝8（min），
故观光车比小军早8分钟到达观景点．
24．（6分）2021年2月25日，习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告中国脱贫攻坚取得了全面胜利，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，根据2021年4月7日《人民日报》刊登的“人类减贫的中国实践”的相关数据进行收集和整理，信息如下：
信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量
信息二：脱贫攻坚以来财政专项扶贫资金投入
信息三：脱贫攻坚以来贫困地区农村居民和全国农村居民年人均可支配收入及增长率
年份、统计量
名称
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
平均数
贫困地区农村居民年人均可支配收入/元
6079
6852
7653
8452
9377
10371
11567
12588
9117
贫困地区农村居民年人均可支配收入增长率/%
16.5
12.7
11.7
10.4
10.9
10.6
11.5
8.8
11.6
全国农村居民年人均可支配收入增长率/%
12.4
11.2
8.9
8.2
8.6
8.8
9.6
6.9
9.3
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）2019年底中国农村贫困人口数量为 551 万人．
（2）2013年底至2020年底，贫困地区农村居民年人均可支配收入的极差为 6509 元．
（3）下列结论正确的是 ①②③ （只填序号）．
①脱贫攻坚以来中国农村贫因人口数量逐年减少，最终全部脱贫；
②脱贫攻坚以来我国贫困地区农村居民人均可支配收入年平均增长率为11.6%，增长持续快于全国农村；
③2016﹣2020年各级财政专项扶贫资金投入连续5年超过中央财政专项扶贫资金1000亿元．
【解答】解：（1）根据信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量的条形统计图即可知：2019年底中国农村贫困人口数量为551万人；
故答案为：551；
（2）12588﹣6079＝6509，
故答案为：6509；
（3）根据信息一，可得，脱贫攻坚以来中国农村贫因人口数量逐年减少，最终全部脱贫，故①正确；
②∵（16.5+12.7+11.7+10.4+10.9+10.6+11.5+8.8+11.6）÷9≈11.6，且每一年的我国贫困地区农村居民人均可支配收入年增长率持续快于全国农村；故②正确；
③2016年：1700﹣665＝1035＞1000，
2017年：2220﹣865＝1355＞1000，
2018年：2780﹣1065＝1715＞1000，
2019年：3160﹣1265＝1895＞1000，
2020年：3520﹣1465＝2055＞1000，
2016﹣2020年各级财政专项扶贫资金投入连续5年超过中央财政专项扶贫资金1000亿元．故③正确，
故答案为：①②③．
25．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，将∠BAC绕点A顺时针旋转，角的两边分别交射线BC于D，E两点，F为AE上一点，连接CF，且∠ACF＝∠B（当点B，D重合时，点C，F也重合）．设B，D两点间的距离为xcm（0≤x≤8），A，F两点间的距离为ycm．
小刚根据学习函数的经验，对因变量y随音自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小刚的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据B，D两点间的距离x进行取点，画图，测量分别得到了x与y的几组对应值；
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
6
7
8
y/cm
6.00
5.76
5.53
5.31
5.09
4.88
4.69
4.50
4.33
4.17
4.02
3.79
3.65
a
请你通过计算补全表格：a＝ 3.6 ；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： y的值逐渐减小 ；
（4）解决问题：当AF＝CD时，BD的长度大约是 3.5 cm．（结果保留两位小数）
【解答】解：（1）如图1中，连接DF．
∵∠BAC＝∠DAF，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠CFE＝∠ACF+∠CAF，∠ACF＝∠B，
∴∠CFE＝∠ADC，
∴A，F，C，D四点共圆，
∴∠AFD＝∠ACD＝90°，
当BD＝8时，如图2中，
在Rt△ACB中，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝＝10（cm），
∵cos∠CAF＝cos∠CAB，
∴＝，
∴AF＝＝＝3.6（cm），
∴a＝3.6，
故答案为：3.6．
（2）函数图象如图所示：
（3）随着自变量x的不断增大，函数y的值逐渐减小．
故答案为：y的值逐渐减小．
（4）如图，因为直线CD的红线解析式为y＝﹣x+8，
观察图象可知，当CD＝AF时，x≈3.5，
∴BD≈3.5，
故答案为：3.5．
26．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，E为AB上一点，BE＝BC，延长CE交AD于点D，AD＝AC．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若tan∠ACE＝，OE＝3，求BC的长．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠ACE+∠BCE＝90°，
∵AD＝AC，BE＝BC，
∴∠ACE＝∠D，∠BCE＝∠BEC，
又∵∠BEC＝∠AED，
∴∠AED+∠D＝90°，
∴∠DAE＝90°，
即AD⊥AE，
∵OA是半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）由tan∠ACE＝＝tan∠D可设AE＝a，则AD＝3a＝AC，
∵OE＝3，
∴OA＝a+3，AB＝2a+6，
∴BE＝a+3+3＝a+6＝BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB2＝BC2+AC2，
即（2a+6）2＝（a+6）2+（3a）2，
解得a1＝0（舍去），a2＝2，
∴BC＝a+6＝8．
27．（8分）已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．
【探究建模】
（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；
【类比应用】
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；
【拓展迁移】
（3）如图3，当点E在正方形ABCD外部时，AE⊥EC，AE⊥AF，DE⊥BE，且D，F，E三点共线，DE与AB交于G点．若DF＝3，AE＝，求CE的长．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠A＝∠ADC＝∠DCB＝∠DCF＝90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴AE＝CF．
（2）解：结论：EA+EC＝DE．
理由：如图2中，连接AC交DE于点O，过点D作DK⊥EC于点K，DJ⊥EA交EA的延长线于点J．
∵四边形ABCD是正方形，△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DAO＝∠OEC＝45°，
∵∠AOD＝∠EOC，
∴△AOD∽△EOC，
∴＝，
∴＝，
∵∠AOE＝∠DOC，
∴△AOE∽△DOC，
∴∠AEO＝∠DCO＝45°，
∴∠DEJ＝∠DEK，
∵∠J＝∠DKE＝90°，ED＝ED，
∴△EDJ≌△EDK（AAS），
∴EJ＝EK，DJ＝DK，
∵∠J＝∠DKC＝90°，DJ＝DK，DA＝DC，
∴Rt△DJA≌Rt△DKC（HL），
∴AJ＝CK，
∴EA+EC＝EJ﹣AJ+EK+CK＝2EJ，
∵DE＝EJ，
∴EA+EC＝DE．
（3）解：如图3中，连接AC，取AC的中点O，连接OE，OD．
∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EC，
∴∠AEC＝∠ADC＝90°，
∵OA＝OC，
∴OD＝OA＝OC＝OE，
∴A，E，C，D四点共圆，
∴∠AED＝∠ACD＝45°，
∴∠AEC＝∠DEC＝45°，
由（2）可知，AE+EC＝DE，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
∴AE＝AF＝，
∴EF＝AE＝2，
∵DF＝3，
∴DE＝5，
∴+EC＝5，
∴EC＝4．
28．（9分）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．
（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；
（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．
①当点D在抛物线上时，求点D的坐标；
②点E（2，﹣）在抛物线上，连接PE，当PE平分∠BPD时，直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）将B（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），
∴a＝，
∴y＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；
（2）令y＝0，则（x+3）（x﹣4）＝0，
∴x＝﹣3或x＝4，
∴A（4，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣2，
∵OP＝1，
∴P（1，0），
∵PQ⊥x轴，
∴Q（1，﹣），C（1，﹣2），
∴AP＝3，
∴S△ACQ＝S△ACP﹣S△APQ＝×3×2﹣×3×＝；
（3）①设P（t，0），
如图2，过点D作x轴垂线交于点N，
∵∠BPD＝90°，
∴∠OPB+∠NPD＝90°，∠OPB+∠OBP＝90°，
∴∠NPD＝∠OBP，
∵BP＝PD，
∴△PND≌△BOP（AAS），
∴OP＝ND，BO＝PN，
∴D（t+2，﹣t），
∴﹣t＝（t+2+3）（t+2﹣4），
解得t＝1或t＝﹣10，
∴D（3，﹣1）或D（﹣8，10）；
②如图3，∵PE平分∠BPD，
∴∠BPE＝∠EPD，
∵∠BPD＝90°，
∴∠BPE＝45°，
当PE∥y轴时，∠OBP＝45°，
∴P（2，0）；
如图4，过B点作BG⊥PB交PE于点G，过G点作FG⊥y轴，交于点F，
∵∠PBF+∠FBG＝90°，∠FBG+∠FGB＝90°，
∴∠PBF＝∠FGB，
∵∠BPG＝45°，
∴BP＝BG，
∴△BPO≌△GBF（AAS），
∴BF＝OP，FG＝OB，
∵OB＝2，
∴FG＝2，
∵E（2，﹣）
∴E点与G点重合，
∴PO＝BF＝2﹣＝，
∴P（﹣，0）；
综上所述：P点的坐标为（2，0）或（﹣，0）．
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