专题01 解析几何的常用结论（高考必背）-【高考总复习】2022高考数学满分突破之解析几何篇

 专题1  解析几何的常用结论 

一．有关椭圆的经典结论

1.（1）与椭圆共焦点的椭圆的方程可设为.

（2）与椭圆有相同的离心率的椭圆可设为,.

2.椭圆的两焦点分别为,是椭圆上任意一点,则有以下结论成立:

  (1)第一定义：；

  (2)焦半径的最大值与最小值：；

 (3)；

（4）焦半径公式,( , ).

3.椭圆的方程为（a＞b＞0）, 左、右焦点分别为,是椭圆上任意一点,则有: (1)；

(2)参数方程;

4.设点是椭圆上异于长轴端点的任一点,为其焦点，记，则(1)；

(2)焦点三角形的面积： ；

(3)当点位于短轴顶点处时, 最大,此时也最大；

(4)

(5)点是内心，交于点，则.

5.有关的经典结论

(1).AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则.

(2).椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有

(3). 椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有

(4). 椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有

6. 若在椭圆上，则

（1）以为切点的切线斜率为；

（2）过的椭圆的切线方程是.

7.若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.

8.椭圆的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.

9.过椭圆上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.

10. 若P为椭圆上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则 .

11. P为椭圆上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.

12.为坐标原点，、为椭圆上两动点，且.

（1）；

（2）的最大值为；

（3）的最小值是.

13. 已知A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.

14. 离心率，.

15. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为

16. 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.

17. 过椭圆左焦点的焦点弦为,则；过右焦

点的弦.

18. 椭圆内接矩形最大面积：.

19. 若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设

(1).过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有

① ；②

(2).若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设

过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：

① ；②

结论：椭圆过焦点弦长公式：

20.若是过焦点的弦,设,则

二．有关双曲线的经典结论

1.（1）与共轭的双曲线方程为，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C为半径的圆上；③。

（2）与有相同焦点的双曲线方程为

（3）与有相同焦点的椭圆方程为：

（4）与有相同焦点的双曲线方程为：

（5）与有相同离心率的双曲线方程为：①焦点在轴上时：

②焦点在轴上时：

（6）与有相同的渐近线方程为：；

2.双曲线的两焦点分别为,是双曲线上任意一点,则有以下结论成立:

(1); (2);

3. 双曲线的方程为（a＞0，b＞0）, ,是双曲线上任意一点,则有: ;

4.设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则

(1).

(2)焦点三角形的面积 .

5.有关的经典结论

(1)AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，

即。

(2)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的实轴顶点，P点是双曲线上异于实轴顶点的任一点，则有

(3)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的虚轴端点，P点是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有

(4) 双曲线的方程为（a＞0，b＞0），过原点的直线交双曲线于两点，P点是双曲线上异于两点的任一点，则有

6. 若在双曲线上，则

（1）以为切点的切线斜率为；（2）过的双曲线的切线方程是.

7.若在双曲线外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.

8. 双曲线的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.

9.过双曲线上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.

10. 离心率e==、e2=

11. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为,

12.双曲线焦点到渐近线的距离总是.顶点到渐近线的距离为

13.双曲线实轴顶点到两渐近线的距离之积为定值

14. 与双曲线（a＞0，b＞0）有相同渐近线的双曲线方程可设为

15.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为

16. 双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.

17. 设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，

焦点在x轴的焦点弦长为

其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角。

18. 若AB是过焦点F的弦,设, ,AB交在同支时, ,AB交在两支时, (设)

三、有关抛物线的经典结论

1.设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则

(1)  

(2)     

(3)

(4)；(5)；

(6)；

(7)以为直径的圆与准线相切，以为直径的圆与轴相切；

2.焦点对在准线上射影的张角为

3.如图所示，以两点为切点引抛物线的两条切线，两条切线交于一点M，则有：

（1）M点必在准线上；

（2）设线段AB的中点为N，则，即；

（3）

4. AB的中垂线与X轴交于点R，则

5.以A为切点的切线斜率为 ，切线方程为

6.已知抛物线方程为，定点M，直线过点M交抛物线于A，B两点，，则有 ；

7.已知A，B是抛物线两点，且直线AB不垂直于轴，则有：

8.（或）的参数方程为（或）（为参数）.

9.抛物线y2=2px(p>0)内接直角三角形OAB的性质：

①；       ②恒过定点；

③中点轨迹方程：；

④，则轨迹方程为：；

⑤.

10.抛物线y2=2px(p>0)，对称轴上一定点，则：

①当时，顶点到点A距离最小，最小值为；

②当时，抛物线上有关于轴对称的两点到点A距离最小，最小值为.

11. 抛物线y2=2px(p>0)与直线相交于且该直线与轴交于点，则有

12. 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交该抛物线于、两点，自、两点向准线作垂线，垂足分别为，则；其逆命题：若，则A、F、B三点共线。

※若点M是准线上任一点，则