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    专题05 轨迹方程的求法(学生版)-【高考总复习】2022高考数学满分突破之解析几何篇

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    这是一份数学必修5本册综合同步练习题,共17页。

    专题05 轨迹方程的求法

    突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】:

    1.动点轨迹问题解题策略一般有以下几种:

    (1)直译法:一般步骤为:

    ①建系,建立适当的坐标系;

    ②设点,设轨迹上的任一点P(xy)

    ③列式,列出动点P满足的关系式;

    ④代换,依条件式的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为xy的方程式,并化简;

    ⑤证明,证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.

    (2)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;

    (3)代入法(相关点法):动点P(xy)依赖于另一动点Q(x0y0)的变化而变化,并且Q(x0y0)又在某已知曲线上,则可先用xy的代数式表示x0y0,再将x0y0代入已知曲线得要求的轨迹方程;

    (4)参数法:当动点P(xy)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将xy均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.

    2.解轨迹问题注意:

    (1)求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求,求轨迹时,应先求轨迹方程,然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.

    (2)要验证曲线上的点是否都满足方程,以方程解为坐标点是否都在曲线上,补上在曲线上而不满足方程解得点,去掉满足方程的解而不再曲线上的点.


    考点精选例题精析】:

     

    1 已知中,的对边分别为,若依次构成等差数列,且,求顶点的轨迹方程.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    2已知AB为两定点,动点MA与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程,并注明轨迹是什么曲线 

     

     

     

     

     

     


    32016高考新课标1卷】设圆的圆心为A,直线l过点B1,0)且与x不重合,l交圆AC,D两点,BAC的平行线交AD于点E.

    I)证明为定值,并写出点E的轨迹方程;

    II)设点E的轨迹为曲线C1,直线lC1M,N两点,B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.

     

     

    4已知直角坐标平面上点Q20)和圆C,动点M到圆C的切线长与的比等于常数(如图),求动点M的轨迹方程,说明它表示什么曲线.

     

     

     

     

     

     

     

    52017课标II,理】O为坐标原点,动点M在椭圆C上,过Mx轴的垂线,垂足为N,点P满足

    (1)    求点P的轨迹方程;

    (2)设点Q在直线上,且。证明:过点P且垂直于OQ的直线lC的左焦点F

     

     

    6过抛物线)的顶点作两条互相垂直的弦,求弦的中点的轨迹方程.

     

     

     

     

     

     

     

    7设点AB为抛物线 y2=4px(p0)上原点以外的两个动点,已知OAOBOMAB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线    


    8[2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线的焦点为,平行于轴的两条直线分别交两点,交的准线于两点.

    (I)若在线段上,的中点,证明

    (II)若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程.

     

               

    9如图所示,已知P(40)是圆x2+y2=36内的一点,AB是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程  

     

     

     

     

     

     

     

     

    10如图,从双曲线上一点引直线的垂线,垂足为,求线段的中点的轨迹方程.


    11双曲线有动点是曲线的两个焦点,求的重心的轨迹方程。

     

          

    12如右图,垂直于轴的直线交双曲线两点,为双曲线的左、右顶点,求直线的交点的轨迹方程,并指出轨迹的形状.

     

     

     

     

     

     

     

    13抛物线的顶点作互相垂直的两弦OAOB,求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。

     


    达标检测】:

    1设椭圆中心为原点O,一个焦点为F(0,1),长轴和短轴的长度之比为t

    1)求椭圆的方程;

    (2)设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q,点P在该直线上,且t变化时,求点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.

     

     

     

     

     

     

    2.(2021·江苏高二专题练习)已知点以及直线,设长为的线段在直线l上移动(如图所示),求直线的交点M的轨迹方程.


    3.(2021·全国高二课时练习)求两动直线的交点的轨迹方程.

     

     

     

     

     

     

     

    4.(2021·梅河口市第五中学高二开学考试)已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的倍.

    1)求点的轨迹方程:

    2)若点与点关于点对称,求两点间距离的最大值;

    3)若过点的直线与点的轨迹相交于两点,,则是否存在直线,使取得最大值,若存在,求出此时的方程,若不存在,请说明理由.


    5.(2021·宁波市北仑中学)如图,已知,直线是平面上的动点,过点Pl的垂线,垂足为点Q,且

    1)求动点P的轨迹C的方程;

    2)过点F的直线交轨迹CAB两点,交直线l于点M

    已知,求的值;

    的最小值.

     

     

    6.(2021·安徽省怀远县第一中学高二月考(理))已知椭圆的中心在坐标原点,两个焦点分别为,点在椭圆上,过点的直线与抛物线交于两点,抛物线在点处的切线分别为,且交于点

    1)求椭圆的方程;

    2)求点的轨迹方程;

    3)是否存在满足的点?若存在,指出这样的点有几个(不必求出点的坐标);若不存在,说明理由.


    7.(2021·沙坪坝·重庆一中高三月考)过点的直线与抛物线交于PQ两点.

    1)求线段PQ的中点B的轨迹方程;

    2)抛物线C的焦点为F,若,求直线l的斜率的取值范围.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    8.(2021·全国高三专题练习(理))设动点在直线上的射影分别为点,已知,其中为坐标原点.

    1)求动点的轨迹的方程;

    2)过直线上的一点作轨迹的两条切线(为切点),求证:直线经过定点.


    9.(2021·安徽省舒城中学高三(理))已知点M是圆x轴负半轴的交点,过点M作圆C的弦,并使弦的中点恰好落在y轴上.

    1)求点N的轨迹E的方程;

    2)过点的动直线l与轨迹E交于AB两点,在线段上取点D,满足,证明:点D总在定直线上.

     

     

     

     

     

     

     

     

    10.(2021·全国高三专题练习(理))在直角坐标系xOy中,动圆P与圆Q:(x﹣22+y21外切,且圆P与直线x﹣1相切,记动圆圆心P的轨迹为曲线C.

    1)求曲线C的轨迹方程;

    2)设过定点S﹣20)的动直线l与曲线C交于AB两点,试问:在曲线C上是否存在点M(与AB两点相异),当直线MAMB的斜率存在时,直线MAMB的斜率之和为定值?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.


    11.(2021·全国高三专题练习(理))在直角坐标系中,动点M到定点的距离比到y轴的距离大

    1)求动点M的轨迹方程;

    2)当时,记动点M的轨迹为曲线C,过原点且斜率大于零的直线l交曲线C于点P(异于原点O),过点P作圆的切线交C于另一点Q,证明:为定值.

     

     

     

     

     

     

    12.(2021·四川南充·高三(理))已知动圆过定点,且在轴上截得弦的长为

    1)求动圆圆心的轨迹的方程;

    2)若在轨迹上,过点作轨迹的弦,若,证明:直线过定点,并求出定点的坐标.


    13.(2021·全国高三专题练习(理))线段的长等于,两端点分别在轴和轴上滑动,点在线段上,且,点的轨迹为曲线

    1)求曲线的方程;

    2)过点作斜率为的动直线,交曲线两点,若为曲线的左顶点,直线的斜率分别为,求证:为定值,并求出该定值.

     

     

     

     

     

     

     

    14.(2021·河北张家口·高三)已知,动点P满足:直线PM与直线PN的斜率之积为常数,设动点P的轨迹为曲线.抛物线在第一象限的交点为A,过点A作直线l交曲线于点B.交抛物线于点E(BE不同于点A).

    1)求曲线的方程.

    2)是否存在不过原点的直线l,使点E为线段AB的中点?若存在,求出p的最大值;若不存在,请说明理由.


    15.(2021·全国高二专题练习)已知动点与两个定点的距离的比为,动点的轨迹为曲线.

    1)求的轨迹方程,并说明其形状;

    2)过直线上的动点分别作的两条切线为切点),为弦的中点,直线分别与轴、轴交于点,求的面积的取值范围.

     

     

     

     

     

     

     

    16.(2021·全国高三)在平面直角坐标系中,的两个顶点的坐标分别为,平面内两点同时满足以下3个条件:

    三条边中线的交点;的外心;

    )求的顶点的轨迹方程;

    )若点与()中轨迹上的点三点共线,求的取值范围.


    17.(2021·江西上饶·高三(理))在平面直角坐标系中,已知点是动点,且直线的斜率与直线的斜率之和等于直线的斜率.

    1)求动点的轨迹的方程;

    2)过作斜率为的直线与轨迹相交于点,点,直线分别交轨迹于点,设直线的斜率为,是否存在常数,使得,若存在,求出值,若不存在,请说明理由.

     

     

     

     

     

     

     

     

    18.(2021·河南高三月考(理))已知点,动点满足直线的斜率之积为,记动点的轨迹为曲线.

    1)求曲线的方程,并说明曲线是什么样的曲线;

    2)设是曲线上的两个动点,直线交于点.

    求证:点在定直线上;

    求证:直线与直线的斜率之积为定值.


    19.(2021·全国高二期末(文))在平面直角坐标系中,已知点,动点满足关系式.

    1)求动点的轨迹的方程;

    2)过点作一直线两点,若的面积是的面积的倍,求弦长.

     

     

     

     

     

     

     

    20.(2020·深圳实验学校高二月考)已知直线)与抛物线 相交于两点,且以弦为直径的圆恒经过坐标原点.

    1)证明直线过定点,并求出这个定点;

    2)求动圆的圆心的轨迹方程.


     

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