专题03 中点弦问题（学生版）-【高考总复习】2022高考数学满分突破之解析几何篇

专题02 中点弦问题（设而不求与点差法）

【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：

第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则，

第二步：两式相减得，

第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得，此种方法为点差法。

特别提醒：

若是椭圆上不垂直于x轴的两点，是的中点，为椭圆的中心，则直线与的斜率之积为定值

【考点精选例题精析】：

例1.已知双曲线为该双曲线的右焦点，过的直线交该双曲线于两点，且的中点，则该双曲线的方程为               .

例2.已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线的方程是（     ）

  A.      B.   C.   D.

例3．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为

A． B． C． D．

例4．已知椭圆的左右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与椭圆交于两点，的中点是，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是

A．2 B． C． D．

例5．椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为

A． B． C． D．

例6．已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点作斜率为－2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则a的值是______.

例7．已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于两点，如果的重心恰好为椭圆的右焦点，直线方程为________．

例8．已知为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，为的中点，为坐标原点.若△是以为底边的等腰三角形，且△外接圆的面积为，则椭圆的长轴长为___________.

例9．如图，椭圆的离心率为，点是椭圆内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与椭圆相交于点，与椭圆相交于点．当点恰好为线段的中点时，．

（1）求椭圆的方程；

（2）求的最小值．

例10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.

（1）若线段的中点坐标为，求直线的斜率；

（2）若三点共线，直线与椭圆交于两点，求面积的最大值，

例11．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，为椭圆的一条弦（不经过原点），直线经过弦的中点，与椭圆交于、两点，设直线的斜率为.

（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；

（2）求证：为定值；

（3）过作轴的垂线，垂足为，若直线和直线倾斜角互补，且的面积为，求椭圆的方程.

例12．已知直线：与椭圆：交于，两点.

（1）若直线过椭圆的左焦点，求；

（2）线段的垂直平分线与轴交于点，求.

【达标检测】：

A组 基础巩固

1.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为   (      )

  A.      B.      C.      D.

2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线的中心为原点,是的焦点,过的直线与相交于

    两点,且的中点为,则的方程为   (      )

A.     B.      C.      D.

3．已知椭圆以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　)

A．－ B． C．－2 D．2

4．已知椭圆的方程为，斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点为，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

5．已知椭圆中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于、两点，中点的横坐标为，则此椭圆的方程是

A． B． C． D．

6．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是

A． B． C． D．

7．已知椭圆C：的离心率为，直线l与椭圆C交于两点，且线段的中点为，则直线l的斜率为（　　）

A． B． C． D．1

8．椭圆的一条弦被点平分，则此弦所在的直线方程是

A． B． C． D．

9．过椭圆C：右焦点F的直线l：交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆C的方程为（    ）

A． B． C． D．

10．已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

11．已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

12．已知点P(1，2)是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程是_____.

13．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．

（1）证明：；

（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．

14．已知椭圆的右焦点为，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设A，B为椭圆C上的两动点，M为线段AB的中点，直线AB，OM（O为坐标原点）的斜率都存在且分别记为k1，k2，试问k1k2的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

15．设椭圆：的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若椭圆的离心率为，的周长为16．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦的直线交椭圆于点，设弦的中点分别为.证明：三点共线.

16．已知椭圆的长轴长为，且短轴长是长轴长的一半．

（1）求椭圆的方程；

（2）经过点作直线，交椭圆于、两点．如果恰好是线段的中点，求直线的方程．

17．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，直线和椭圆交于，两点，当直线过椭圆的焦点，且与轴垂直时，.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在与轴不垂直的直线，使弦的垂直平分线过椭圆的右焦点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

18．已知椭圆：过点，离心率是.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆交于，两点，线段的中点为.求直线与坐标轴围成的三角形的面积.

B组 能力提升

19．已知椭圆：的右焦点为，且离心率为，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边､､的中点分别为､､，且三条边所在直线的斜率分别为､､，且､､均不为0.为坐标原点，若直线､､的斜率之和为1.则（    ）

A． B．-3 C． D．

20．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（  ）

A． B．

C． D．

21．已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是

A． B． C． D．

22．已知斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB中点M纵坐标为，点在椭圆上，若的平分线交线段AB于点N，则的值MN为（   ）

A． B． C． D．

23．已知椭圆C：，A，B是椭圆C上两点，且关于点对称，P是椭圆C外一点，满足，的中点均在椭圆C上，则点P的坐标是___________.

24．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为__________.

25．设椭圆的短轴长为4，离心率为．

（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数的取值范围；

（2）设点是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．

26．椭圆，右焦点为，是斜率为的弦，的中点为，的垂直平分线交椭圆于，两点，的中点为.当时，直线的斜率为（为坐标原点）.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设原点到直线的距离为，求的取值范围；

（3）若直线，直线的斜率满足，判断并证明是否为定值.