初中数学人教版九年级上册24.4 弧长及扇形的面积当堂达标检测题
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2021-2022学年人教版九年级二十四章圆
弧长和扇形的面积
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
- 如图，是的一个内接三角形，，，图中阴影部分面积记为，则的最小面积为
A.
B.
C.
D.
- 如图，在中，，，，将绕直角顶点逆时针旋转得，则点转过的路径长为
A. B. C. D.
- 已知直角三角形的一条直角边，另一条直角边，则以为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是
A. B. C. D.
- 如图，正方形的边长为，以为直径的半圆交对角线于点则图中阴影部分的面积为
A.
B.
C.
D.
- 一个边长是厘米的正方形纸片，围成一个圆柱体的侧面接头处不重叠，这个圆柱体的底面半径是
A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米
- 、将直径为的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面不浪费材料，不计接缝处的材料损耗，那么每个圆锥容器的底面半径为
A. B. C. D.
- 已知扇形的圆心角为，面积为 ，若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为 ．
A. B. C. D.
- 如图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从点到点，甲虫沿，，，路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是
A. 甲先到点 B. 乙先到点
C. 甲、乙同时到点 D. 无法确定
- 如图，圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积为
A.
B.
C.
D.
- 如图，半径为、圆心角为的扇形中，分别以、为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
- 已知：如图，圆锥的底面直径是，高为，则它的侧面展开图的面积是______．
- 一个圆锥的底面半径是，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为______．
- 如图，从直径是米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形、、三点在上，将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是 米．
- 如图，圆锥的底面半径为，高为，那么这个圆锥的侧面积是 ．
- 如图，已知扇形与扇形是同心圆，，若，，圆心角度数为，则环形面积为______；
- 已知一个扇形的半径为，圆心角为，用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为 ．
- 有一个圆柱的底面半径是厘米，高是厘米，它的侧面积是 平方厘米，表面积是 平方厘米，它的体积 立方厘米．
- 用等分圆周的方法，在半径为的图中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积为______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共46分）
- 如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作半圆，交于点．
求证：是的切线；
若点是的中点，，求图中阴影部分的面积；
在的条件下，点是边上的动点，当取最小值时，直接写出的长．
- 在小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．
的三个顶点都在格点上．
在图中，画出一个与成中心对称的格点三角形；
在图中，画出一个与成轴对称且与有公共边的格点三角形；
在图中，画出绕着点按顺时针方向旋转后的三角形．
如图是由个边长为的小正方形拼成的图形，请选择适当的格点，用无刻度的直尺画经过点的一条直线，使它平分该图形的面积，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
- 如图，有一块半圆形钢板，直径，计划将此钢板切割成下底为的等腰梯形，上底的端点在圆周上，且求图中阴影部分的面积．
- 如图，在直线上，取线段，以线段为直径作半圆，点在半圆上，且，在半圆上任取一点，且能过作直线交直线于点，连接．
若半圆上一段弧长为，求的度数及的长度；
求的最大值，并指出此时直线与半圆的位置关系；
若线段的长为，直接写出这时的长度．
- 如图，将长为的线段绕点旋转得到，点的运动轨迹为，是半径上一动点，是上的一动点，连接．
当______度时，有最大值，最大值为______．
如图，若是中点，且于点，求的长；
如图，将扇形沿折痕折叠，使点的对应点恰好落在的延长线上，求阴影部分面积．
如图，将扇形沿折叠，使折叠后的弧恰好与半径相切，切点为，若，求点到折痕的距离．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：连接、，作于．
由题意，
，，
，，
，，
，
当面积最大时，，
当点在的延长线上时，的面积最大，
．
故选：．
连接、，作于由，推出当面积最大时，，因为当点在的延长线上时，的面积最大，由此即可解决问题；
本题考查三角形的外心、扇形面积的计算等知识，解题的关键是学会用分割法求面积，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
2.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
，
将绕直角顶点逆时针旋转得，
，
点转过的路径长为：
故选：．
利用锐角三角函数关系得出的长，进而利用旋转的性质得出，再利用弧长公式求出即可．
此题主要考查了旋转的性质以及弧长公式应用，得出点转过的路径形状是解题关键．
3.【答案】
【解析】
【分析】
根据圆锥的表面积侧面积底面积计算．点评：本题考查了圆锥的表面面积的计算．首先确定圆锥的底面半径、母线长是解决本题的关键．
【解答】
解：圆锥的表面积．
故选A．
4.【答案】
【解析】解：正方形边长为，
，
阴影部分的面积是：，
故选：．
根据题意和图形可知阴影部分的面积是正方形四分之一的面积减去弓形的面积，弓形的面积等于半圆的面积减去正方形四分之一面积差的一半，从而可以解答本题．
本题考查扇形的面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
5.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了圆柱的侧面展开图与圆柱的关系．圆柱的侧面展开后是一个正方形，那么圆柱的底面周长和高都等于正方形的边长；根据，即可列式计算出圆柱的底面半径．
【解答】
解：底面半径：
厘米．
答：这个圆柱的底面半径是厘米．
故选A．
6.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了圆锥的有关计算，得出扇形弧长等于圆锥底面圆的周长是解决问题的关键．根据已知得出直径为的圆形铁皮，被分成三个圆心角是，半径为的扇形，再根据扇形弧长等于圆锥底面圆的周长即可得出答案．
【解答】
解：根据将直径为的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面不浪费材料，不计接缝处的材料损耗，
直径为的圆形铁皮，被分成三个圆心角是，半径为的扇形，
假设每个圆锥容器的底面半径为，
，
解得：．
故选A．
7.【答案】
【解析】
先根据圆锥侧面积公式计算出母线长度，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形弧长建立方程计算出底面圆半径，最后在直角三角形中利用勾股定理求出轴截面的高．
又
在直角三角形中有：
。
故选A．
8.【答案】
【解析】解：甲虫，，，路线长是：；
乙虫路线的长是：
故甲、乙同时到点．
故选C．
分别求得两虫的路线的长，进行比较即可．
本题主要考查了弧长的计算，正确求得甲的路线长是解题的关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆锥侧面积的计算，解题关键是利用底面半径及高求出母线长．首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．
【解答】
解：，，
可设圆锥母线长为，
由勾股定理，，
圆锥侧面展开图的面积为：，
所以圆锥的侧面积为．
故选C．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是扇形面积的计算与等腰直角三角形的判定与性质有关知识，过点作，，则是等腰直角三角形，可知是等腰直角三角形，由定理可知≌，故可得出，与弦围成的弓形的面积等于与弦所围成的弓形面积，即可得出结论．
【解答】
解：过点作，，连接，如图，
，，
是等腰直角三角形，
是直径，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
在与中，
≌，
，
与弦围成的弓形的面积等于与弦所围成的弓形面积，
同理可得：与弦围成的弓形的面积等于与弦所围成的弓形面积，
．
故选A．
11.【答案】
【解析】解：圆锥的底面直径是，高为，
勾股定理得圆锥的母线长为，
圆锥的侧面积．
故答案为：．
首先利用勾股定理求得圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解．
本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆锥的母线长的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点．
【解答】
解：圆锥底面周长，
侧面展开图的弧长，
侧面展开图为半圆，
，
解得：，即圆锥的母线长为．
故答案为．
13.【答案】
【解析】
【分析】
圆的半径为，那么过圆心向引垂线，利用相应的三角函数可得的一半的长度，进而求得的长度，利用弧长公式可求得弧的长度，圆锥的底面圆的半径圆锥的弧长．
【解答】
解：作于点，连接，
，，
圆锥的底面圆的半径
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题系统考查了圆锥的半径、母线、高的关系；圆锥的侧面展开图是扇形以及扇形的面积计算的知识可结合题目所给条件高和半径求出母线，再利用公式即可求得结果．
【解答】
解：根据题意得：
，
这个圆锥的侧面积．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查扇形面积的计算，根据扇形面积的计算公式利用两扇形的面积差即可求得环形的面积．
【解答】
解：由题意得，，，
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆锥面积的计算首先利用扇形的弧长公式求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求解．
【解答】
解：扇形的弧长是：，
设底面半径是，则，
解得：．
故答案是．
17.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了圆柱的侧面积与圆柱的表面积、体积的计算方法，即侧面积等于底面周长乘高；表面积等于侧面积加个底面的面积；体积等于底面积乘高．
根据圆柱的侧面积等于底面周长乘高，即，代入数据，由此得出答案；
因为圆柱的表面积等于侧面积加个底面的面积，由此根据侧面积和底面积的计算方法，列式解答即可．
圆柱的体积底面积高，据此即可解答．
【解答】
解：圆柱的侧面积：
，
平方厘米；
底面积是：
，
，
平方厘米；
表面积是：
，
，
平方厘米；
立方厘米；
故答案为，，．
18.【答案】
【解析】解：如图，设的中点为，连接，，，
的面积是：，
扇形的面积是：，
直线和弧所围面积：，
阴影面积：．
故答案为：．
连，，，求出直线和弧所围面积，即阴影部分面积，从而求解．
本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是得到阴影部分面积扇形的面积的面积．
19.【答案】证明：作于，如图，
，于点，
平分，
，，
，
是的切线；
解：连接
，点是的中点，
，
，
为等边三角形，
，
，，
，
图中阴影部分的面积；
解：作点关于的对称点，连接交于，
，
，
当且仅当、、三点共线时等号成立，此时最小，
，
，
而，
，
，
，
即最小值为，
在中，，
在中，，
，
即当取最小值时，的长为．
【解析】作于，利用等腰三角形的性质得平分，再根据角平分线性质得，然后根据切线的判定定理得到结论；
先确定，，再计算出，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算；
作点关于的对称点，连接交于，利用两点之间线段最短得到此时最小，通过证明得到最小值为，然后计算出和得到此时的长．
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”也考查了等腰三角形的性质和最短路径问题．
20.【答案】解：如图中，即为所求．
如图中，即为所求．
如图中，即为所求．
如图中，直线即为所求．
【解析】构造平行四边形即可解决问题．
以为对称轴，画出对称的三角形即可．
利用旋转变换的性质解决问题即可．
取左下角小正方形的对称中心，作直线即可．
本题考查作图轴对称变换，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】
解：连接，，过点作于点．
，，
，
，，
，．
阴影部分的面积为．
【解析】求图中阴影部分的面积，可以连接，，转化为求扇形的面积与的面积的差的问题．
22.【答案】解：半圆的直径是，
半圆的半径是，
，
解得，
．
，
，
．
在中，，
，
．
当直线与半圆相切于时，最大，
直线与半圆相切于，
，
在中，，
设，，
，
，
，
．
或．
当点在上时，过作于，如图：
在中，，，
，，
在中，，，
，
；
当点在上时，过作于，如图：
在中，，，
，，
在中，，，
，
；
综上，或．
【解析】根据弧长公式可得的度数，再利用可得；
当直线与半圆相切于时，最大，利用三角函数可得答案；
分点在上和点在上两种情况，利用勾股定理可得答案．
本题考查与圆有关的位置关系、弧长的计算以及勾股定理的应用，熟练掌握弧长公式和切线的性质以及勾股定理是解题关键．
23.【答案】；；
如图，连接，
点是的中点，
．
，
在中，，
，
；
由折叠的性质可得，，，
在中，
解得，
．
找点关于的对称点，连接、、、，如图，
则，，，点是所在圆的圆心，
，
折叠后的弧恰好与半径相切于点，
，
，
四边形是矩形，
在中，，
在，，
，
即到折痕的距离为．
【解析】
解：是半径上一动点，是上的一动点，
当取最大时，点与点重合，点与点重合，
此时，，，
故答案为：，；
见答案．
见答案．
见答案．
【分析】
先判断出当取最大时，点与点重合，点与点重合，即可得出结论；
先判断出，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；
先在中，，解得，最后用面积的和差即可得出结论．
先找点关于的对称点，连接、、、，证明四边形是矩形，由勾股定理求，从而求出的长，进而得出．
此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，弧长公式，扇形的面积公式，熟记公式是解本题的关键．
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