专题22空间几何体的三视图、表面积和体积（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

专题22  空间几何体的三视图、表面积和体积

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常考点归纳

常考点01 三视图与直观图

【典例1】

1．（2020全国Ⅱ理7）右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为              （   ）

A．                B．                C．                D．

【答案】A

【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，

图中标出了根据三视图点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为，故选：A．

2.（2021年全国乙卷）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_______.(写出符合要求的一组答案即可)

【答案】②⑤或③④

【解析】根据“长对正,高平齐,宽相等 ”及图中数据，可知②③只能是侧视图，④⑤只能是俯视图，于是可得正确答案为：②⑤或③④

若为③④，则如图1；若为②⑤，则如图2：

【考点总结与提高】

三视图问题的常见类型及解题策略：

(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．

(2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．

(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.

【变式演练1】

1．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是　　

A．  B． C．  D．

【答案】A

【解析】由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是，故选．

2．一个四棱锥的顶点在空间直角坐标系的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），

（0，0，0），画该四面体的正视图时，以平面为投影面，则得到的正视图可以为（   ）

【答案】A

【解析】根据题意可画出如图所示的四面体，以平面为投影面，则A与重合，B与重合，故其正视图可以为如图所示，故选A．

常考点02 简单几何体的表面积

【典例2】

1．（2021年北京卷）如图，一个四面体的三视图均是直角边长为1的等腰直角三角形，则该四面体的表面积为

 A． B．4 C． D．2

【答案】A

【解析】该四面体的直观图如右图所示．它的四个面分别为3个直角边长为1的等腰直角三角形与1个边长为的等边三角形．故表面积为．

2.（2021全国甲卷文14）己知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为_______．

【答案】

【解析】设圆锥的高为，母线长为，则，所以，所以.

【考点总结与提高】

1．旋转体的表面积

2．多面体的表面积

多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积.

棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：

3.求几何体表面积的基本方法

（1）已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．

（2）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.

（3）求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.

【变式演练2】

1．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 （   ）

A．               B．            C．         D．

【答案】C

【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，

根据立体图形可得：，根据勾股定理可得：，是边长为的等边三角形，根据三角形面积公式可得：

，该几何体的表面积是：，故选C．

2．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于

A．       B．        C．2         D．1

【答案】A

【解析】圆柱的底面半径为1，母线长为1，，故选A．

常考点03 简单几何体的体积

【典例3】

1.（2021新高考2卷）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（  ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，

因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，

所以该棱台高，

下底面面积，上底面面积，

所以该棱台的体积.

故选：D.

2． （2021浙江卷）某几何体的三视图如图所示(单位: )， 则该几何体的体积（单位：) 是（     ）.

 A．  B．3 C．             D．

【答案】A

【解析】由三视图可还原成一个等腰梯形为底面的四棱柱，由棱柱的体积公式，得，故选A．

【考点总结与提高】

1．柱体、锥体、台体的体积公式

2．柱体、锥体、台体体积公式间的关系

3．求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：

（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．

（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解．

①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.

②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法．

（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.

【变式演练3】

1．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为

A．             B．             C．          D．

【答案】C

【解析】连结AD，∵△ABC是正三角形，且D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵⊥面ABC，∴⊥AD，∵∩BC=B，∴AD⊥面，∴AD是三棱锥的高，∴===1，故选C．

2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）

．     ．    ．   ．

【答案】A

【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为 =，故选．

常考点04 球的有关问题 

【典例4】

1. （2021年天津卷）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（   ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，设圆锥和圆锥的高之比为，即，

设球的半径为，则，可得，所以，，

所以，，，

，则，所以，，

又因为，所以，，

所以，，，

因此，这两个圆锥的体积之和为.

故选：B.

2.（2021全国甲卷11）已知是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（   ）

 A． B． C． D．

【答案】A

【解析】记的外接圆圆心为，由，，知为的中点，且，，又球的半径为1，所以，所以，，于是，所以有，，进而平面，所以，

【考点总结与提高】

1．确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.

2．球与几种特殊几何体的关系：(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；(2)正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；(5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．

3．与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.

4．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离与球的半径及截面圆的半径之间满足关系式：.

【变式演练4】

1．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆．若⊙的面积为，，则球的表面积为 （   ）

A．                B．                C．                D．

【答案】A

【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，

由正弦定理可得，，根据圆截面性质平面，

，球的表面积，故选A．

2．设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且面积为，则三棱锥体积的最大值为　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】为等边三角形且面积为，可得，解得，球心为，三角形 的外心为，显然在的延长线与球的交点如图：，，则三棱锥高的最大值为：6，则三棱锥体积的最大值为：，故选．

【冲关突破训练】

1．（2021年全国甲卷）在一个正方体中，过顶点的三条棱的中点分别为．

该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，

正视图如右图所示，则相应的侧视图是（    ）

A．   B．  C．  D．

【答案】D

【解析】根据“长对正,高平齐,宽相等，看得见话实线，看不见画虚线 ”，可得D正确。

2．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为　　

A． B． C．3 D．2

【答案】B

【解析】由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：

圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度：，故选．

3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）

．   ．   ．6   ．4

【答案】C

【解析】如图所示，原几何体为三棱锥，其中，，，故最长的棱的长度为，选C

4.（2021天津卷）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，设圆锥和圆锥的高之比为，即，

设球的半径为，则，可得，所以，，

所以，，，

，则，所以，，

又因为，所以，，

所以，，，

因此，这两个圆锥的体积之和为.

故选：B.

5．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为 （   ）

A．              B．              C．              D．

【答案】D

【解析】由题意正三棱柱的高为2，底面的边长为2，该三棱柱的表面积为，故选D．

6．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是，在轴截面中圆锥的母线长是，圆锥的侧面积是，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，圆柱表现出来的表面积是，空间组合体的表面积是，故选．

7．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（    ）

A．12π      B．45π       C．57π       D．81π

【答案】C

【解析】几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为，故选C

8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为　　

A．6 B．9 C．12 D．18

【答案】B

【解析】该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3，底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为，故选．

9．已知圆锥展开图的侧面积为，且为半圆，则底面半径为                  ．

【答案】1

【思路导引】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径．

【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，则，解得，故答案为：．

10．（2021年上海卷）在圆柱中，底面圆半径为，高为，上底面圆的直径为,是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则的面积的范围________．

【答案】

【解析】当点为的投影时，面积最小；当点为弧中点的投影时，面积最大，因此面积的取值范围为

11．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为     ．

【答案】

【解析】设正方体边长为，由，得，外接球直径为，．

12．已知两圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上，若圆锥的底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高于体积较大者的高的比值为       ．

【答案】3

【解析】设圆锥底面半径为，球的半径为，球心为O，圆锥底面圆心为，两顶点分别为P、Q，则由=知，=，

根据球的截面性质可知P、Q、、共线，圆面，圆锥的轴截面内接于球的大圆，因此，．

设=，=，则=，              ①

又∽知==，即=    ②

由①②可得=，=，体积较小者的高于体积较大者的高的比值为3．