专题23空间点、线、面的位置关系（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

专题23  空间点、线、面的位置关系

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常考点归纳

常考点01 平面的基本性质及应用

【典例1】

1．下列命题正确的是（      ）

A．三点确定一个平面

B．三条相交直线确定一个平面

C．对于直线、、，若，，则

D．对于直线、、，若，，则

【答案】C

【解析】

对A，不在一条直线上的三点确定一个平面，故A错误；

对B，如正方体一个顶点出发的三条棱所在直线确定三个平面，故B错误；

对C，根据空间中平行线间的传递性可得若，，则，故C正确；

对D，若，，则相交、平行或异面，故D错误.

故选：C.

2．在棱长为的正方体中，分别是和的中点，经过点的平面把正方体截成两部分，则截面与的交线段长为________.

【答案】

【解析】如图，连接并延长交延长线于，连接交于，连接并延长交延长线于，连接并延长交于，连接，则五边形为经过点的正方体的截面，

因为为的中点，所以，

因为∥，所以∽，

所以，所以,

因为∥，所以∽，

所以，所以,

所以，

所以截面与的交线段长为，

故答案为：

【考点总结与提高】

（1）证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：

①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；

②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.

（2）证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.

（3）证明点或线共面问题，主要有两种方法：

①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；

②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.

【变式演练1】

1．在下列命题中，不是公理的是

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

【答案】（A

【解析】选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的.根据平面的基本性质知，选项B为公理2，选项C为公理1，选项D为公理3.

所以选A.

2．如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为______________．

【答案】．

【解析】在平面A1D1DA中寻找与平面A1BC1平行的直线时，只需要ME∥BC1，如图所示，

因为A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE，

设正方体的棱长为3a，则，，

所以截面MIHGFE的周长为，

又因为正方体A1C的棱长为1，即3a＝1，

故截面多边形的周长为．

故答案为：．

常考点02 空间线面位置关系的判断

【典例2】

1．（2019•新课标Ⅲ，理8文8）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则　　

A．，且直线，是相交直线 

B．，且直线，是相交直线 

C．，且直线，是异面直线 

D．，且直线，是异面直线

【答案】B

【解析】点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，平面，平面，是中边上的中线，是中边上的中线，直线，是相交直线，设，则，，，，，故选．

2．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，AB＝AD，E，F分别为BB1，AB的中点，则（    ）

A．AC1//平面DEF且A1C1⊥DF

B．A1C1//平面DEF且A1C1与DF不垂直

C．A1C1与平面DEF相交且A1C1⊥DF

D．A1C1与平面DEF相交且A1C1与DF不垂直

【答案】C

【解析】延长DF、CB相交于点M，连接ME并延长，因为点E、F分别是BB1，AB的中点，所以，所以M、E、C1三点共线，所以AC1与平面DEF相交不平行，A1C1与平面DEF相交不平行，故A、B选项不正确；

对于C、D：连接AC与FD相交于点O，因为AB＝AD，F是AB的中点，所以，

又，所以，

所以，，又，所以，

所以，所以，又，所以，故C正确，D不正确，

故选：C.

【考点总结与提高】

(1)异面直线的判定方法：

①判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．

②反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．

(2)点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．

【变式演练2】

1．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（    ）

A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面

B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行

C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直

D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行

【答案】A

【解析】

m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，

对于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故A正确；

对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故B错误；

对于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误；

对于D，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故D错误．

故选：A．

2．如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（    ）

A．四点共面 B．平面平面

C．直线与所成角的为 D．平面

【答案】BC

【解析】

对于A，由图显然、是异面直线，故四点不共面，故A错误；

对于B，由题意平面，故平面平面，故B正确；

对于C，取的中点，连接、，可知三角形为等边三角形，故C正确；

对于D，平面，显然与平面不平行，故D错误；

故选：BC

常考点03 异面直线所成的角

【典例3】

1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

如图，连接，因为∥，

所以或其补角为直线与所成的角，

因为平面，所以，又，，

所以平面，所以，

设正方体棱长为2，则，

，所以.

故选：D

2．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 (　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，则

，所以

因为

所以异面直线与所成角的余弦值为，故选C．

【考点总结与提高】

(1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面问题化归为共面问题来解决,具体步骤如下:

①平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角;

②认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角;

③计算:求该角的值,常利用解三角形;

④取舍:由异面直线所成的角的取值范围是,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

(2)  求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．

(3)  利用向量法求异面直线所成的角：设直线所成的角为，则，计算方法：；

【变式演练3】

1．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 (　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】在边﹑﹑﹑上分别取中点﹑﹑﹑，并相互连接．

由三角形中位线定理和平行线平移功能，异面直线和所成的夹角为或其补角，

通过几何关系求得，，，利用余弦定理可求得异面直线

和所成的夹角余弦值为．

2．平面过正方体的顶点，平面CB1D1，平面，平面，则所成角的正弦值为 (　　)

(A)(B)(C)(D)

【答案】A

【解析】如图所示：

∵，∴若设平面平面，则

又∵平面∥平面，结合平面平面

∴，故    同理可得：

故、的所成角的大小与、所成角的大小相等，即的大小．

而（均为面对交线），因此，即．

故选A．

【冲关突破训练】

1．若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线

A．平行      B．异面       C．相交      D．以上皆有可能

【答案】D

【解析】若，，，位置关系如下图所示：

若，，则，可知两条直线可以平行，

由图象知，与相交，可知两条直线可以相交，

由图象知，与异面，可知两条直线可以异面，

故选D.

2．若直线l与平面α相交，则

A．平面α内存在直线与l异面

B．平面α内存在唯一一条直线与l平行

C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直

D．平面α内的直线与l都相交

【答案】A

【解析】当直线l与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A正确；该平面内不存在与直线l平行的直线，故B错误；该平面内有无数条直线与直线l垂直，所以C错误；平面α内的直线与l可能异面，故D错误，故选A．

3．如图，四棱锥，，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是

A．四点不共面 B．四点共面

C．三点共线 D．三点共线

【答案】D

【解析】直线与直线交于点，所以平面与平面交于点O，所以必相交于直线，直线在平面内，点，故平面，故四点共面，所以A错；

若点与共面，则直线在平面内，与题目矛盾，故B错；

在平面内，显然三点共线，则三点不共线，故C错，D正确.

故选D.

4．如图，在长方体中，若，，则异面直线和所成角的余弦值为

A．  B．     C．  D．

【答案】D

【解析】连结，由题得，故是平行四边形，则，则或其补角为异面直线和所成的角，由，可得，，故有，解得，故选D．

5．在空间四边形中，分别是的中点.若，且与所成的角为，则四边形的面积为

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】如图，连接EH，EF，FG，GH，因为EH是的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD.

同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD，EF=AC.

所以EH∥FG，且EH=FG，所以四边形EFGH为平行四边形.

因为AC=BD=a，AC与BD所成的角为60°，所以EF=EH.

所以四边形EFGH为菱形，，

所以四边形EFGH的面积是2××()2=a2.

6．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：

①与平行；             ②与是异面直线；

③与成角；         ④与是异面直线.

以上四个命题中，正确命题的个数是

A．1      B．2      C．3      D．4

【答案】B

【解析】把平面展开图还原几何体如图：

由正方体的性质可知，与异面且垂直，故①错误；

与平行，故②错误；

连接，则，或其补角为与所成的角，连接，可知为正三角形，则，故③正确；

由异面直线的定义可知，与是异面直线，故④正确．

∴正确命题的个数是2．

故选B．

7．设有下列四个命题：

：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．

：过空间中任意三点有且仅有一个平面．

：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．

：若直线平面，直线平面，则．

则下述命题中是真命题的有（    ）【多选题】

A． B． C． D．

【答案】ACD

【解析】

对于命题：可设与相交，这两条直线确定的平面为；

若与相交，则交点在平面内；同理，与的交点也在平面内，

所以，，即，命题为真命题；

对于命题：若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，故命题为假命题；

对于命题：若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行或异面，故命题为假命题；

对于命题：若直线平面，则垂直于平面内所有直线，

直线平面，直线直线，故命题为真命题.

综上可知，，为真命题，，为假命题，

为真命题，为假命题，

为真命题，为真命题.

故选：ACD.

8．在正方体中，点为线段上的动点，点为线段中点，则下列四个选项中为真命题的是（    ）【多选题】

A．当为线段中点时，､､､四点共面

B．直线平面

C．三棱锥的体积为定值

D．二面角的大小为定值.

【答案】BCD

【解析】对于A，和是异面直线，当为线段中点时，和异面，所以､､､四点不共面.故A错误.

对于B，平面与平面重合，而平面，所以平面.故B正确.

对于C，∵平面，，∴点到平面的距离即为点到平面的距离.

则，而为定值，到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值.故C正确；

对于D，因为二面角的大小，即为平面与平面所成的二面角的大小，而这两个平面位置固定不变，

故二面角的大小为定值.故D正确.

故选：BCD.

9．已知，为平面外一点，，点到两边，的距离均为，那么到平面的距离为　　．

【答案】

【解析】因为，为平面外一点，，点到两边，的距离均为，过点作，交于，作，交于，过作平面，交平面于，连结，，则，，，到平面的距离为．

10．为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线与成角时，与成角；

②当直线与成角时，与成角；

③直线与所成角的最小值为；

④直线与所成角的最大值为．

其中正确的是         ．(填写所有正确结论的编号)

【答案】②③

【解析】由题意, 是以为轴,为底面半径的圆锥的母线,由 ,又圆锥底面,在底面内可以过点,作 ,交底面圆 于点,如图所示,连结,则, ,连结,等腰中, ,当直线与成角时, ,故 ,又在 中, ,过点作,交圆于点,连结,由圆的对称性可知, 为等边三角形, ,即与成角,②正确,①错误．

由最小角定理可知③正确;

很明显,可以满足平面直线,直线 与 所成的最大角为,④错误．

正确的说法为②③．

11.如图,在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求的长.

【解析】如图，连接.

由题意得四棱柱中，，，

∴四边形是平行四边形，

，

（或其补角）为和所成的角.

∵异面直线和所成的角为，

.

∵四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，

是等腰直角三角形，.

∵底面四边形是菱形且，，

，，

.

12．将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧.

（1）求三棱锥的体积；

（2）求异面直线与所成的角的大小.

【解析】（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径．

由长为，可知．

，

．

（2）设过点的母线与下底面交于点，连接OB，BC，则，

所以或其补角为直线与所成的角．

由长为，可知，

又，所以，

从而为等边三角形，得．

因为平面，所以．

在中，因为，，，所以，

从而直线与所成的角的大小为．