专题21不等式选讲（文理通用）常考点归纳与变式演练（学生版）学案

专题21  不等式选讲

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常考点归纳

常考点01 绝对值不等式的求解

【典例1】

1．（2020全国Ⅰ文理22）已知函数．

（1）画出的图像；

（2）求不等式的解集．

2．（2020江苏23）设，解不等式．

【考点总结与提高】

1．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集

(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法

|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;

|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.

(3)|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法

①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;

②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;

③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.

【变式演练1】

1．已知函数．

（I）在图中画出的图像；

（II）求不等式的解集．

2．已知.

（1）画出函数的图象；

（2）求不等式的解集.

常考点02 含绝对值不等式的恒成立问题

【典例2】

1.（2021年全国甲卷）已知函数，.

（1）画出和的图像.

（2）若，求的取值范围.

2.（2021年全国乙卷）已知函数.

（1）当时，求不等式≥的解集；

（2）若，求的取值范围.

【考点总结与提高】

1．根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值,转化为分段函数,然后利用数形结合解决.

2．巧用“||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”求最值.

(1)求|a|-|b|的范围:若a±b为常数M,可利用||a|-|b||≤|a±b|⇔-|M|≤|a|-|b|≤|M|确定范围.

(2)求|a|+|b|的最小值:若a±b为常数M,可利用|a|+|b|≥|a±b|=|M|,从而确定其最小值.

3．f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a,f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.

【变式演练2】

1．已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求的取值范围．

2．已知

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时，，求的取值范围．

常考点03 不等式的证明

【典例3】

1．（2020全国Ⅲ文理23）设．

（1）证明：；

（2）用表示的最大值，证明：．

2．（2019全国I文理23）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1）；

（2）．

【考点总结与提高】

1．基本不等式

(1)基本不等式:如果a,b>0,那么，当且仅当a=b时,等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.

(2)算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.

2．柯西不等式

(1)二维形式的柯西不等式:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.

(2)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当α是零向量或β是零向量或存在实数k使α=kβ时,等号成立.

(3)二维形式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2∈R,那么.

(4)一般形式的柯西不等式:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn是实数,则(+…+)(+…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当ai=0或bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.

3．证明不等式的基本方法

(1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;(4)反证法和放缩法;(5)数学归纳法.

【变式演练3】

1．设，且．

（1）求的最小值；

（2）若成立，证明：或．

2．已知，，，证明：

(1)；

(2) ．

【冲关突破训练】

1．设函数=

（Ⅰ）证明：2；

（Ⅱ）若，求的取值范围．

2．设函数，其中．

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值．

3．已知．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若时不等式成立，求的取值范围．

4．设函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若，求的取值范围．

5．设函数．

(1)画出的图像；

(2)当时，，求的最小值．

6．已知函数，．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若不等式的解集包含，求的取值范围．

7．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．

8．已知函数

（Ⅰ）当a=2时，求不等式的解集；

（Ⅱ）设函数，当时，，求a的取值范围．

9．已知函数，．

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若的图像与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围．

10．已知函数，M为不等式的解集．

（I）求M；

（II）证明：当a，时，．

11．设均为正数，且，证明：

（Ⅰ）若>，则；

（Ⅱ）是 的充要条件．

12．设均为正数，且，证明：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）．