专题23空间点、线、面的位置关系（文理通用）常考点归纳与变式演练（学生版）学案

专题23  空间点、线、面的位置关系

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常考点归纳

常考点01 平面的基本性质及应用

【典例1】

1．下列命题正确的是（      ）

A．三点确定一个平面

B．三条相交直线确定一个平面

C．对于直线、、，若，，则

D．对于直线、、，若，，则

2．在棱长为的正方体中，分别是和的中点，经过点的平面把正方体截成两部分，则截面与的交线段长为________.

【考点总结与提高】

（1）证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：

①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；

②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.

（2）证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.

（3）证明点或线共面问题，主要有两种方法：

①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；

②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.

【变式演练1】

1．在下列命题中，不是公理的是

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

2．如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为______________．

常考点02 空间线面位置关系的判断

【典例2】

1．（2019•新课标Ⅲ，理8文8）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则　　

A．，且直线，是相交直线 

B．，且直线，是相交直线 

C．，且直线，是异面直线 

D．，且直线，是异面直线

2．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，AB＝AD，E，F分别为BB1，AB的中点，则（    ）

A．AC1//平面DEF且A1C1⊥DF

B．A1C1//平面DEF且A1C1与DF不垂直

C．A1C1与平面DEF相交且A1C1⊥DF

D．A1C1与平面DEF相交且A1C1与DF不垂直

【考点总结与提高】

(1)异面直线的判定方法：

①判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．

②反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．

(2)点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．

【变式演练2】

1．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（    ）

A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面

B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行

C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直

D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行

2．如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（    ）

A．四点共面 B．平面平面

C．直线与所成角的为 D．平面

常考点03 异面直线所成的角

【典例3】

1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

2．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 (　　)

A． B． C． D．

【考点总结与提高】

(1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面问题化归为共面问题来解决,具体步骤如下:

①平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角;

②认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角;

③计算:求该角的值,常利用解三角形;

④取舍:由异面直线所成的角的取值范围是,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

(2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．

【变式演练3】

1．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 (　　)

A． B． C． D．

2．平面过正方体的顶点，平面CB1D1，平面，平面，则所成角的正弦值为 (　　)

(A)(B)(C)(D)

【冲关突破训练】

1．若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线

A．平行      B．异面       C．相交      D．以上皆有可能

2．若直线l与平面α相交，则

A．平面α内存在直线与l异面

B．平面α内存在唯一一条直线与l平行

C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直

D．平面α内的直线与l都相交

3．如图，四棱锥，，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是

A．四点不共面 B．四点共面

C．三点共线 D．三点共线

4．如图，在长方体中，若，，则异面直线和所成角的余弦值为

A．  B．     C．  D．

5．在空间四边形中，分别是的中点.若，且与所成的角为，则四边形的面积为

A．     B．     C．     D．

6．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：

①与平行；             ②与是异面直线；

③与成角；         ④与是异面直线.

以上四个命题中，正确命题的个数是

A．1      B．2      C．3      D．4

7．设有下列四个命题：

：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．

：过空间中任意三点有且仅有一个平面．

：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．

：若直线平面，直线平面，则．

则下述命题中是真命题的有（    ）【多选题】

A． B． C． D．

8．在正方体中，点为线段上的动点，点为线段中点，则下列四个选项中为真命题的是（    ）【多选题】

A．当为线段中点时，､､､四点共面

B．直线平面

C．三棱锥的体积为定值

D．二面角的大小为定值.

9．已知，为平面外一点，，点到两边，的距离均为，那么到平面的距离为　　．

10．为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线与成角时，与成角；

②当直线与成角时，与成角；

③直线与所成角的最小值为；

④直线与所成角的最大值为．

其中正确的是         ．(填写所有正确结论的编号)

11.如图,在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求的长.

12．将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧.

（1）求三棱锥的体积；

（2）求异面直线与所成的角的大小.