专题16数列的概念及其表示（文理通用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

专题16  数列的概念及其表示

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常考点归纳

常考点01 数列概念与由数列的前几项求通项公式

【典例1】

1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是              (　　)

A． B． C． D．

2．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)定义“规范01数列”如下:共有项,其中项为项为1,且对任意,中0的个数不少于1的个数.若,则不同的“规范01数列”共有(　　)

A．18个 B．16个 C．14个 D．12个

【答案】1.C   2.C

【解析】由知，序列的周期为m，由已知，，

对于选项A，

，不满足；

对于选项B，

，不满足；

对于选项D，

，不满足；

故选：C

【解析】由题意,得必有,,则具体的排法列表如图所示,共14个,故选C.

【考点总结与提高】

1．数列的定义

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．

数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成简记为．

2.与数列的新定义有关的问题的求解策略：

（1）通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；

（2）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.

【变式演练1】

1．对任一实数列，定义，若，，则（    ）

A．1000 B．2000 C．2003 D．4006

2．（多选题）“，数列”在通信技术有着重要应用，它是指各项的值都等于或的数列．设是一个有限，数列，表示把中每个都变为，，每个都变为，，所得到的新的，数列，例如，则．设是一个有限，数列，定义，、、、．则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．对任意有限，数列、中和的个数总相等

C．中的，数对的个数总与中的，数对的个数相等

D．若，则中，数对的个数为

【答案】1.D   2.BC

【解析】1.由题意知，，所以是公差为的等差数列，

所以，所以，

当时，，

，

，

……

,

将以上各式两边对应相加，得，

所以，

由，得，解得，，

所以.

故选：D

2.若，则，，A错误；

由的定义知，B正确；

因为中的每一个，数对只能由中的一个，数对变来，且中的每一个，数对必生成一个中的，数对，C正确；

记中的，数对与，数对的个数分别为，，由C选项知．

又因为中的每一个，数对只能由中的一个或者一个，数对变来，

且由B选项知，中有个，从而，所以，故，D错误，

故选：BC．

常考点02 利用与的关系求通项公式

【典例2】

1.为数列的前项和，若，则=________.

2.已知数列的前项和，则=________.

【答案】1.=   2.

【解析】1.当时，，因为，所以=3，

当时，，即，因为，所以=2，

所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，

所以=；

2.当时，==

    而不适合上式，        

【考点总结与提高】

1.题目中出现关于的等式：一方面可通过特殊值法（令）求出首项，另一方面可考虑将等式转化为纯或纯的递推式，然后再求出的通项公式。

2.已知求的一般步骤：

（1）先利用求出；

（2）用替换中的n得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；

（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写.

利用求通项公式时，务必要注意这一限制条件，所以在求出结果后，要看看这两种情况能否整合在一起．

【变式演练2】

1.已知数列的前n项和，，其中，则=__________.

2.数列满足，则 __________.   

【答案】1.   2.

【解析】1.由题意得，故，，.

由，得，即.

由，得，所以.

因此是首项为，公比为的等比数列，

于是．

2∵①

②

①-②得，

常考点03 由递推关系求数列的通项公式

【典例3】

1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)数列中，，，若，则(　　)

A．2 B．3 C．4 D．5

2．（2016•新课标Ⅲ，文17）已知各项都为正数的数列满足，．

（1）求，；

（2）求的通项公式．

【答案】1.C      2.(1)，；(2)

【解析】1.在等式中，令，可得，，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，

，

，则，解得．故选：C．

2.（1）根据题意，，

当时，有，而，则有，解可得，

当时，有，又由，解可得，故，；

（2）根据题意，，变形可得，

即有或，又由数列各项都为正数，则有，

故数列是首项为，公比为的等比数列，则，故．

【考点总结与提高】

递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项.高考对递推公式的考查难度适中，一般是通过变换转化成特殊的数列求解.

（1）：常用累加法，即利用恒等式求通项公式．

（2）：常用累乘法，即利用恒等式求通项公式．

（3）（其中为常数，）：先用待定系数法把原递推公式转化为，其中，进而转化为等比数列进行求解．

（4）：把原递推公式两边同时取倒数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解．

【变式演练3】

1．数列满足，则________．

2．数列满足，且（），则数列前10项的和为          ．

【答案】1.     2.

【解析】1.由得，=，∵，∴==，∴==-1，∴==2，∴==，∴==-1，∴==2，==．

2.由题意得：

，所以．

常考点04 数列的性质

【例4】

1．数列的通项公式，前项和为，则=___．

2.   若数列中的最大项是第项，则=____________．

【答案】1.3018    2.4

【解析】1.因为的周期为4；由，∴，，…，∴

2.由题意得，得，因为，所以．

【考点总结与提高】

数列可以看作是一类特殊的函数，所以数列具备函数应有的性质，在高考中常考查数列的单调性、周期性等.

1．数列的周期性

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．

2．数列的单调性

（1）数列单调性的判断方法：

①作差法：数列是递增数列；

数列是递减数列；

数列是常数列．

②作商法：当时，数列是递增数列；

数列是递减数列；

数列是常数列．

当时，数列是递减数列；

数列是递增数列；

数列是常数列．

（2）数列单调性的应用：

①构造函数，确定出函数的单调性，进而可求得数列中的最大项或最小项．

②根据可求数列中的最大项；根据可求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解对应的项的大小即可．

（3）已知数列的单调性求解某个参数的取值范围，一般有两种方法：

①利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决，也可通过分离参数将其转化为最值问题处理；

②利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数的取值范围，但要注意数列通项中n的取值范围．

【变式演练4】

1．已知数列的首项为1，且，则的最小值是（    ）

A．     B．1      C．2      D．3

2．已知数列{}满足

（1）若{}是递增数列，且成等差数列，求的值；

（2）若，且{}是递增数列，{}是递减数列，求数列{}的通项公式．

【答案】1.B    2.（1），（2）

【解析】1.由得

所以

则

所以

当且仅当时等号成立，因为，故取或最小，又，所以的最小值为1

故选：B

2.（1）因为是递增数列，所以．而，

因此又成等差数列，所以，因而，

解得

当时，，这与是递增数列矛盾．故．

（2）由于是递增数列，因而，于是

     ①

但，所以

．        ②

又①，②知，，因此

      ③

因为是递减数列，同理可得，故

     ④

由③，④即知，，于是

，

故数列的通项公式为．

【冲关突破训练】

1．已知数列的前项和为，且，则的值为（    ）

A．7 B．13 C．28 D．36

【答案】B

【解析】

由题可知：，则，故选：B.

2．已知数列满足，若，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

时，；时，；时，.

故选：A

3．设数列中，（且），则（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【解析】由已知得，可求，∴数列周期为3，，

故选：A．

4．已知数列的前项和为，且，若，则数列的最大值为（    ）

A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项

【答案】D

【解析】

当时，；由，当时，，

两式相减，可得，

解得，当时，也符合该式，故．

所以

由，解得；又，所以，所以，当时，，故，因此最大项为，

故选：D．

5．已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．非充分非必要条件

【答案】B

【解析】

因，若，则是以为首项，1为公差的等差数列，，

数列为无穷数列，，取，则 ，显然数列不是单调的，

即命题“若数列为无穷数列，则数列单调”是假命题；

若数列为有穷数列，而，则，

此时数列为，如果数列单调，则都为正或者都为负，

有，与矛盾，“数列单调”是错误的，即数列不单调，

命题“若数列为有穷数列，则数列不单调”是真命题，从而有命题“若数列单调，则数列为无穷数列”是真命题，

所以数列为无穷数列”是“数列单调”的必要不充分条件.

故选：B

6．已知数列满足：，则

A．16 B．25 C．28 D．33

【答案】C

【解析】n=1时，，n=2时，，n=3时，，

n=4时，，n=5时，.故选：C

7．记为数列的前项和，若，则_____．

【答案】-63

【解析】法1： 因为，所以当时，，解得；

当时，，解得；

当时，，解得；

当时，，解得；

当时，，解得；

当时，，解得．

所以．

法2：因为，所以当时，，解得，

当时，，所以，

所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，

所以．

8．若数列{}的前n项和为，则数列{}的通项公式是=______．

【答案】

【解析】当=1时，==，解得=1，

当≥2时，==－()=，即=，

∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=．

9．设是数列的前项和，且，，则________．

【答案】

【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．

10．若数列{}的前n项和为Sn＝，则数列{}的通项公式是=______．

【答案】

【解析】当=1时，==，解得=1，当≥2时，==－()=，即=，∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=．

11．已知数列满足，，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，求的最小值.

【解析】

（1）令，则，而，

∴是首项为2，公差为4的等差数列，即，

∴，又，

∴.

（2）由题设，，，

∴，当且仅当时等号成立，故且在上单调递增，又，

∴当时，的最小值.

12．已知数列满足，

．

   （Ⅰ）求的值；

   （Ⅱ）设，证明是等比数列；

   （Ⅲ）设为的前项和，证明

【解析】（Ⅰ）由，可得

又，

当

当

（Ⅱ）证明：对任意

    ①

    ②

②-①，得

所以是等比数列．

（Ⅲ）证明：，由（Ⅱ）知，当时，

故对任意

由①得

因此，

于是，

故