专题10导数及其应用（理科专用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案

这是一份专题10导数及其应用（理科专用）常考点归纳与变式演练（解析版）学案，共18页。学案主要包含了考点总结与提高，变式演练1，变式演练2，变式演练3，变式演练4，变式演练5，冲关突破训练等内容，欢迎下载使用。

专题10 导数及其应用（理科）
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目录
常考点01 导数的几何意义（切线方程） 1
【考点总结与提高】 2
【变式演练1】 2
常考点02 利用导数研究函数的单调性 3
【典例2】 3
【考点总结与提高】 4
【变式演练2】 4
常考点03 利用导数研究函数的极值、最值 5
【典例3】 5
【考点总结与提高】 7
【变式演练3】 8
常考点04 利用导数研究函数的图像 8
【典例4】 9
【考点总结与提高】 10
【变式演练4】 10
常考点05 利用导数研究函数的零点 10
【典例5】 10
【考点总结与提高】 11
【变式演练5】 12
【冲关突破训练】 13

常考点归纳
常考点01 导数的几何意义（切线方程）
【典例1】
1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】1.B 2.
1.，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
2.由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．故答案为：．
【考点总结与提高】
求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法
（1）已知切点P(x0, y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程；
（2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k=f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；
（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．
（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程．
（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.
②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．
【变式演练1】
1．设曲线在点(0,0)处的切线方程为，则a=
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
【答案】1.D 2.D
【解析】1.，∴，∴a=3．故答案选D．
2.设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.故选：D.
常考点02 利用导数研究函数的单调性
【典例2】
1．若函数在上单调递增，则的取值范围是
A． B． C． D．
2. （2021年卷甲理科第21题（1））已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
【答案】1.C 2.（1）上单调递增；上单调递减；
【解析】1.对恒成立，
故，即恒成立，
即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C．
2.（1）当时，,
令得,当时，,当时，,
∴函数在上单调递增；上单调递减；
【考点总结与提高】
1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为：
（1）求f ′(x)；
（2）确认f ′(x)在(a，b)内的符号；
（3）作出结论，时为增函数，时为减函数．
注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.
3．由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.
【变式演练2】
1. 已知函数，讨论的单调性。
2. 设a，b为实数，且，函数，求函数的单调区间.
【答案】1.的递增区间为，递减区间为；
2.时，在上单调递增；时，函数的单调减区间为，单调增区间为；
【解析】1.函数的定义域为，又，
当时，，当时，，
故的递增区间为，递减区间为.
2.，
①若，则，所以在上单调递增；
②若，当时，单调递减，
当时，单调递增.
综上可得，时，在上单调递增；
时，函数的单调减区间为，单调增区间为.
常考点03 利用导数研究函数的极值、最值
【典例3】
1．(2021年高考全国乙卷理科)设，若为函数的极大值点，则(　　)
A B． C． D．
2．（2021年全国新高考甲卷数学试题）函数的最小值为______.
【答案】1.D 2.1
【解析】1.若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故．
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的．依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的．
当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故．当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故．
综上所述，成立．故选：D
2.由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴故答案为：1.
【考点总结与提高】
1．函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
（2）求函数极值的方法：
①确定函数的定义域．
②求导函数．
③求方程的根．
④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．
（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.
2．求函数f (x)在[a，b]上最值的方法
（1）若函数f (x)在[a，b]上单调递增或递减，f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值．
（2）若函数f (x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a，b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
（3）函数f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．
注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.
（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.
3．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
【变式演练3】
1．若是函数的极值点，则的极小值为( )．
A． B． C． D．
2．若是函数的极值点，则的极小值为 (　　)
A． B． C． D．1
【答案】1.A 2.A
【解析】1.由题可得，
因为，所以，，故，
令，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故选A．
2.∵ ∴ 导函数
∵ ∴ ∴ 导函数
令，∴ ，
当变化时，，随变化情况如下表：







+
0
-
0
+


极大值

极小值

从上表可知：极小值为．
常考点04 利用导数研究函数的图像
【典例4】
1．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））函数的图像大致为 (　　)
A． B． C． D．
2.设函数（，），若函数在处取得极值，则下列图象不可能为的图象是（ ）

【答案】1.B 2.D
【解析】1.为奇函数，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
2.，因为函数在处取得极值，所以是的一个根，整理可得，所以，对称轴为.
对于A，由图可得，适合题意；
对于B，由图可得，适合题意；
对于C，由图可得，适合题意；
对于D，由图可得，不适合题意，
故选D.
【考点总结与提高】
1．导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.
2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点.
【变式演练4】
1．函数的图像大致为( )

2.已知函数；则的图 像大致为（ ）


【答案】1.D 2.B
【解析】1.当时，，排除A，B．由，得或，结合三次函数的图像特征，知原函数在上有三个极值点，所以排除C，故选D．
2.定义域为（－1,0）∪(0,+∞)，=
∴在(－1,0)是减函数，在（0，+∞）是增函数，结合选项，只有B符合，故选B.
常考点05 利用导数研究函数的零点
【典例5】
1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知函数有唯一零点，则（ ）
A． B． C． D．1
2.已知函数有两个零点，a的取值范围是_____；

【答案】1.C 2.
【解析】1.因为，设，则
，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C.
2.．
（i）设，则，只有一个零点．
（ii）设，则当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
又，，取满足且，则
，故存在两个零点．
（iii）设，由得或．
若，则，故当时，，
因此在上单调递增．又当时，，
所以不存在两个零点．
若，则，故当时，；
当时，．因此在上单调递减，
在上单调递增．又当时，，
所以不存在两个零点．综上，的取值范围为．
【考点总结与提高】
利用函数性质研究函数的零点 ，主要是根据函数最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件 .
（1）涉及函数的零点（方程的根）问题 ，主要利用导数确定函数的单调区间及极值点 ，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系 ，从而求得参数的取值范围
（2）解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化 ，突出导数的工具作
用 ，体现转化与化归的思想方法 .
【变式演练5】
1．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
A． B． C． D．
2.已知函数．
(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求的取值范围．

【答案】1.C 2.（1）在单调递减，在单调递增．（2）
【解析】1.当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C．
2.（1）的定义域为，
，
（ⅰ）若，则，所以在单调递减．
（ⅱ）若，则由得．
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增．
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点．
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，
最小值为．
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即．
又，
故在有一个零点．
设正整数满足，
则．
由于，因此在有一个零点．
综上，的取值范围为．
【冲关突破训练】
1．已知函数fx=xlnx+3，则fx的单调递减区间为（ ）
A．e，+∞ B．0，e C．0，1和1，e D．-∞，1和1，e
【答案】C
【解析】由题得f'(x)=lnx-x⋅1x(lnx)2=lnx-1(lnx)2(x>0，x≠1)，解不等式lnx-1(lnx)2<0得x＜e.
∵x＞0，x≠1，∴0＜x＜1和1＜x＜e.∴函数fx的单调递减区间为0，1和1，e.
故选C.
2．函数的图像在点处的切线方程为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，，，
因此，所求切线的方程为，即．故选：B．
3．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为 (　　)
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【解析】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即．故选：D．
4．设函数，则
A．为的极大值点 B．为的极小值点
C．为的极大值点 D．为的极小值点
【答案】D
【解析】因为，所以，
由得，所以，当时，，故单调递增；
当时，，故单调递减，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
故选D.
5．已知曲线在点处的切线方程为，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，根据导数的几何意义易得，解得，从而得到切点坐标为，将其代入切线方程，得，解得，故选D．
6．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数，若为奇函数，可得，所以函数，可得，曲线在点处的切线的斜率为：1，则曲线在点处的切线方程为：，故选D．
7．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】构造新函数,，当时.
所以在上单减，又，即.
所以可得,此时，
又为奇函数，所以在上的解集为：.
故选A.
8．已知，函数．若函数恰有3个零点，则（ ）
A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0 C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
【答案】C
【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x=b1-a，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；
当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2+ax﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2﹣b，
，
当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；
当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，
令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.
根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，
如图：

∴b1-a＜0且-b＞013(a+1)3-12(a+1)(a+1)2-b＜0，
解得b＜0，1﹣a＞0，b＞-16（a+1）3，则a>–1，b<0.
故选C．


9．已知函数fx=1ex+alnxa∈R．若函数fx在定义域内不是单调函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】0，1e
【解析】由于函数不单调，则函数在定义域内有极值点，f'(x)=-e-x+ax=0，a=xex，令函数g(x)=xex，x>0，g'(x)=1-xex，所以函数g(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减，g(0)=0，又x>0时，g(x)>0，g(1)=1e，所以a∈ 0，1e.
10．已知定义在上的函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】∵为偶函数，∴的图象关于对称，
∴的图象关于对称，∴.又，∴.
设，则.
又∵，∴，∴，∴在上单调递减.
∵，∴，即.
又∵，∴，∴.
11．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）或.
【解析】（1）．
令，得x=0或.
若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；
若a=0，在单调递增；
若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减.
（2）满足题设条件的a，b存在.
（i）当a≤0时，由（1）知，在[0，1]单调递增，所以在区间[0，l]的最小值为，最大值为.此时a，b满足题设条件当且仅当，，即a=0，．
（ii）当a≥3时，由（1）知，在[0，1]单调递减，所以在区间[0，1]的最大值为，最小值为．此时a，b满足题设条件当且仅当，b=1，即a=4，b=1．
（iii）当0 若，b=1，则，与0 若，，则或或a=0，与0 综上，当且仅当a=0，或a=4，b=1时，在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．
12．（2018年高考全国Ⅰ卷理数）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）的定义域为，.
（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.
（ii）若，令得，或.
当时，；
当时，.
所以在单调递减，在单调递增.
（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.
由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.
由于，
所以等价于.
设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.
所以，即.