2018-2019学年北京市大兴区高三（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年北京市大兴区高三（上）期末数学试卷（理科），共15页。

A．，B．C．，D．，
2．（5分）已知，则下列不等式成立的是
A．B．C．D．
3．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则等于
A．2B．C．D．
4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则输入的值为
A．4B．5C．6D．7
5．（5分）已知数列，则“存在常数，对任意的，，且，都有”是“数列为等差数列”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A．B．C．D．2
7．（5分）已知，，表示共面的三个单位向量，，那么的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
8．（5分）、两种品牌各三种车型2017年7月的销量环比（与2017年6月比较）增长率如表：
根据此表中的数据，有如下关于7月份销量的四个结论：
①车型销量比车型销量多；
②品牌三种车型总销量环比增长率可能大于；
③品牌三款车型总销量环比增长率可能为正；
④品牌三种车型总销量环比增长率可能小于品牌三种车型总销量环比增长率．
其中正确结论的个数是
A．1B．2C．3D．4
二、填空题共6小题，每题5分，共30分．
9．（5分）抛物线的焦点到准线的距离为 ．
10．（5分）的展开式中的常数项为 （用数字作答）
11．（5分）在中，已知，则 ．
12．（5分）若存在满足的非负实数，，使成立，则的取值范围是 ．
13．（5分）直线与圆交于，两点，当的面积最大时，的值为 ．
14．（5分）设函数
①若，则的最大值为 ；
②若函数有两个零点，则的取值范围是 ．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
16．（13分）自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：
（Ⅰ）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在，且未使用自由购的概率；
（Ⅱ）从被抽取的年龄在，使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在，的概率；
（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？
17．（14分）如图，边长为的正方形和高为1的等腰梯形所在的平面互相垂直，，，与交于点，点为线段上任意一点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）是否存在点使平面与平面垂直，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
18．（13分）已知函数．
（Ⅰ）若曲线在处的切线方程为，求的值；
（Ⅱ）求函数在区间，上的极值．
19．（14分）已知椭圆的离心率为，左顶点为，过椭圆的右焦点作互相垂直的两条直线，分别交直线于，两点，交椭圆于另一点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标．
20．（13分）设有限数列，定义集合为数列的伴随集合．
（Ⅰ）已知有限数列，0，1，2和数列，3，9，27．分别写出和的伴随集合；
（Ⅱ）已知有限等比数列，，，，求的伴随集合中各元素之和；
（Ⅲ）已知有限等差数列，，，，判断是否能同时属于的伴随集合，并说明理由．
2018-2019学年北京市大兴区高三（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
【解答】解：，，，，
，，．
故选：．
【解答】解：，，，，．
只有正确．
故选：．
【解答】解：由题意，，
则．
故选：．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
，
满足条件，执行循环体，，
满足条件，执行循环体，，
满足条件，执行循环体，，
满足条件，执行循环体，，
由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出的值为，可得，可得的值为5．
故选：．
【解答】解：①由已知：“存在常数，对任意的，，且，都有”
不妨令，则有：，由等差数列的定义，
可知，数列是以为公差的等差数列，
②由“数列为等差数列”则，，为公差）
所以：，
即存在“存在常数，对任意的，，且，都有”此时，，
综合①②得：“存在常数，对任意的，，且，都有”
是“数列为等差数列”的充分必要条件，
故选：．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为三棱锥，
则该几何体的体积．
故选：．
【解答】解：由，则，
又，为单位向量，则，
则
，
由，
则的取值范围是，．
故选：．
【解答】解：根据表中数据，对关于7月份销量的四个结论：
对于①，车型销量增长率比车型销量增长率高，但销量不一定多，①错误；
对于②，品牌三种车型中增长率最高为，
所以总销量环比增长率不可能大于，②错误；
对于③，品牌三款车型中有销量增长率为，
所以它的总销量环比增长率也可能为正，③正确；
对于④，由题意知品牌三种车型总销量环比增长率，
也可能小于品牌三种车型总销量环比增长率，④正确；
综上所述，其中正确的结论序号是③④．
故选：．
二、填空题共6小题，每题5分，共30分．
【解答】解：抛物线的焦点到准线的距离为，由标准方程可得，
故答案为：．
【解答】解：
令，，故的展开式中的常数项为
故答案为：84
【解答】解：由，得：，
则根据余弦定理得，
为三角形的内角，
．
故答案为：．
【解答】解：存在满足的非负实数，，表示的平面区域，如图所示：
3个顶点是，，，0，
由图易得目标函数在处，取最小值：
3，取得最大值5，在，处，得最小值为：．
使成立，则的取值范围是．
故答案为：．
【解答】解：根据题意，直线与圆交于，两点，设圆心到直线的距离为，
圆的圆心，半径；
则的面积，
分析可得：当，即时，的面积最大；
此时有，
解可得；
故答案为：．
【解答】解；①，当时，，
当时，，在，上为增函数，
当时，，则，则在为减函数，
则；
②，根据题意，当时，，
当时，则有，
此时，
，其图象关于直线对称，
若函数有两个零点，即函数与有2个交点，其图象如图：
必有，即的取值范围为；
故答案为：①，1，②．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【解答】解：（Ⅰ）
所以的最小正周期．
（Ⅱ）因为，所以．
所以当，即时，取得最大值为2；
当，即时，取得最小值为0．
【解答】解：（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，
年龄在，且未使用自由购的有人，
所以随机抽取一名顾客，该顾客年龄在，且未参加自由购的概率估计为．
（Ⅱ）设事件为“这2人年龄都在，”．
被抽取的年龄在，的4人分别记为，，，，
被抽取的年龄在，的2人分别记为，，
从被抽取的年龄在，的自由购顾客中随机抽取2人
共包含15个基本事件，
分别为，，，，，，，，，，
，，，，，
事件包含6个基本事件，
分别为，，，，，，
则；
（Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为．
【解答】（共14分）
证明：（Ⅰ）因为正方形中，与交于点，
所以．
因为，
所以且（1分）
所以为平行四边形．（2分）
所以．（3分）
又因为平面，平面，
所以平面．（4分）
解：（Ⅱ）取中点，连结，因为梯形为等腰梯形，所以．
又因为平面平面，平面，
平面平面，
所以平面．（1分）
又因为，
所以、、两两垂直．
如图，建立空间直角坐标系，（2分）
则，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，所以．（4分）
设直线与平面所成角为，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．（6分）
（Ⅲ）设，（1分）
则，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，．
所以．（2分）
若平面与平面垂直，则．（3分）
由，得．
所以线段上存在点使平面与平面垂直，的值为．（4分）
【解答】解：（Ⅰ）因为，
所以，
所以．（2分）
因为在处的切线方程为．
所以，（3分）
解得．（4分）
（Ⅱ）因为，，，
所以，（2分）
①当，即时，在，恒成立，
所以在，单调递增；
所以在，无极值； （4分）
②当，即时，在，恒成立，
所以在，单调递减，
所以在，无极值； （6分）
③当，即时，（7分），，变化如下表：
（8分）
因此，的减区间为，增区间为，．
所以当时，有极小值为，无极大值．
（9分）
【解答】解：（Ⅰ）由题意，离心率，所以．
所以，所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）由题意，设，．
令，得，，
又，所以直线的方程为．
由，消元，得，
即，
设，，则，所以．
所以，
又，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
即，
直线恒过定点．
【解答】解：（Ⅰ）由数列的伴随集合定义可得，
数列的伴随集合为，0，1，2，，
数列的伴随集合为，10，12，28，30，；
（Ⅱ）先证明对任意或，则．
假设．
当且，因为，则，即，
所以，与矛盾．
同理，当且时，也不成立．
当且时，不妨设，因为，则，
所以，
左边为奇数，右边为偶数，所以，
综上，对任意或，则
所以求集合中各元素之和时，每个均出现次，
所以；
（Ⅲ）假设同时属于数列的伴随集合．
设数列的公差为，
则即，
②①得，，
③①得，，
两式相除得，，
因为，
所以，，，
所以．
又因为，，，，
所以，
，
所以，与矛盾，
所以不能同时属于数列的伴随集合．
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日期：2019/12/17 21:26:31；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267品牌车型
环比增长率
品牌车型
环比增长率
20以下
，
，
，
，
，
70以上
使用人数
3
12
17
6
4
2
0
未使用人数
0
0
3
14
36
3
0
，
0
单调递减
极小值
单调递增