2022-2023学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了解答题共5小题，共46分等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）已知向量（8，﹣2，1），（﹣4，1，k），且∥，那么实数k的值为（ ）
A．B．C．﹣2D．2
2．（3分）直线的倾斜角是（ ）
A．45°B．135°C．60°D．90°
3．（3分）抛物线y2＝﹣2x的准线方程是（ ）
A．B．y＝﹣1C．D．x＝1
4．（3分）2021年9月17日，北京2022年冬奥会和冬残奥会主题口号正式对外发布——“一起向未来”（英文为：“TgetherfraSharedFuture”），这是中国向世界发出的诚挚邀约，传递出14亿中国人民的美好期待．“一起向未来”的英文表达是：“TgetherfraSharedFuture”，其字母出现频数统计如表：
合计频数为24，那么字母“e”出现的频率是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝3，Sn+1＝Sn+2n，那么a3＝（ ）
A．4B．5C．7D．9
6．（3分）已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，那么直线A1C与平面AA1D1D所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．从这个正方形的四个顶点中随机选取两个，那么这两个点关于点O对称的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）圆心为（﹣1，2），半径r＝3的圆的标准方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y+2）2＝9B．（x+1）2+（y﹣2）2＝9
C．（x﹣1）2+（y+2）2＝3D．（x+1）2+（y﹣2）2＝3
9．（3分）已知正四棱锥P﹣ABCD的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，那么△HBD面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，那么事件“2x+y≤16”的概率为（ ）
A．B．C．D．
11．（3分）地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失．根据Rydelek和Pujl提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点．在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10km．根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6km．据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为（ ）
A．8kmB．6kmC．4kmD．2km
12．（3分）对于数列{an}，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有|an|≤M，则称数列{an}是有界的．若这样的正数M不存在，则称数列{an}是无界的．记数列{an}的前n项和为Sn，下列结论正确的是（ ）
A．若，则数列{an}是无界的
B．若an＝nsinn，则数列{an}是有界的
C．若，则数列{Sn}是有界的
D．若，则数列{Sn}是有界的
二、填空题共6小题，每小题3分，共18分。
13．（3分）已知空间向量（1，﹣1，0），（m，1，﹣1），若⊥，则实数m＝ ．
14．（3分）在等差数列{an}中，a1＝2，a4＝a2+6，则an＝ ．
15．（3分）两条直线l1：3x﹣4y﹣2＝0与l2：3x﹣4y+8＝0之间的距离是 ．
16．（3分）某单位组织知识竞赛，按照比赛规则，每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题作答．假设在5道备选题中，甲答对每道题的概率都是，且每道题答对与否互不影响，则甲恰好答对其中两道题的概率为 ；若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，则乙恰好答对两道题的概率为 ．
17．（3分）试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y＝±2x的双曲线方程 ．
18．（3分）已知点P是曲线ax2+by2＝1（其中a，b为常数）上的一点，设M，N是直线y＝x上任意两个不同的点，且|MN|＝t．则下列结论正确的是 ．
①当ab＞0时，方程ax2+by2＝1表示椭圆；
②当ab＜0时，方程ax2+by2＝1表示双曲线；
③当a，b，且t＝4时，使得△MNP是等腰直角三角形的点P有6个；
④当a，b，且0＜t＜4时，使得△MNP是等腰直角三角形的点P有8个．
三、解答题共5小题，共46分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（8分）某超市有A，B，C三个收银台，顾客甲、乙两人结账时，选择不同收银台的概率如表所示，且两人选择哪个收银台相互独立．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求甲、乙两人在结账时都选择C收银台的概率；
（Ⅲ）求甲、乙两人在结账时至少一人选择C收银台的概率．
20．（10分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，Q为棱PD的中点，PA⊥AD，PA＝AB＝2，再从下列两个条件中任选一个作为已知，求解下列问题．
条件①：平面PAD⊥平面ABCD；
条件②：PA⊥AB．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值；
（Ⅲ）求点B到平面ACQ的距离．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
21．（10分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0，圆C1：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝4及点P（3，1）．
（Ⅰ）判断圆C和圆C1的位置关系；
（Ⅱ）求经过点P且与圆C相切的直线方程．
22．（10分）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，一个顶点为A（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若求点A的直线l与椭圆E的另一个交点为B，且|AB|，求点B的坐标．
23．（8分）已知无穷数列{yn}满足公式yn+1设y1＝a（0≤a≤1）．
（Ⅰ）若a，求y3的值；
（Ⅱ）若y3＝0，求a的值；
（Ⅲ）给定整数M（M≥3），是否存在这样的实数a，使数列{yn}满足：
①数列{yn}的前M项都不为零；
②数列{yn}中从第M+1项起，每一项都是零．
若存在，请将所有这样的实数a从小到大排列形成数列{an}，并写出数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共12小题，每小题3分，共36分。在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（3分）已知向量（8，﹣2，1），（﹣4，1，k），且∥，那么实数k的值为（ ）
A．B．C．﹣2D．2
【分析】利用空间向量共线的坐标运算求解即可．
【解答】解：∵向量（8，﹣2，1），（﹣4，1，k），且∥，
∴，∴k，
故选：B．
【点评】本题考查空间向量共线的坐标运算，属于基础题．
2．（3分）直线的倾斜角是（ ）
A．45°B．135°C．60°D．90°
【分析】化直线方程为斜截式，求得直线的斜率，可得直线的倾斜角．
【解答】解：由直线，得y＝x，
则直线l的斜率k＝1，其倾斜角为45°．
故选：A．
【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．
3．（3分）抛物线y2＝﹣2x的准线方程是（ ）
A．B．y＝﹣1C．D．x＝1
【分析】根据抛物线的几何性质即可求解．
【解答】解：∵抛物线的方程为y2＝﹣2x，
∴该抛物线的准线方程为x．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
4．（3分）2021年9月17日，北京2022年冬奥会和冬残奥会主题口号正式对外发布——“一起向未来”（英文为：“TgetherfraSharedFuture”），这是中国向世界发出的诚挚邀约，传递出14亿中国人民的美好期待．“一起向未来”的英文表达是：“TgetherfraSharedFuture”，其字母出现频数统计如表：
合计频数为24，那么字母“e”出现的频率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解．
【解答】解：字母e的频数为4个，
则字母“e”出现的频率是．
故选：B．
【点评】本题主要考查频数分布表，属于基础题．
5．（3分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝3，Sn+1＝Sn+2n，那么a3＝（ ）
A．4B．5C．7D．9
【分析】先将题干已知条件进行转化，再根据公式an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）代入进行计算即可得到a3的值．
【解答】解：依题意，由Sn+1＝Sn+2n，
可知Sn+1﹣Sn＝2n，
当n＝2时，a3＝S3﹣S2＝22＝4．
故选：A．
【点评】本题主要考查根据前n项和的关系式求某项的值．考查了转化与化归思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题．
6．（3分）已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，那么直线A1C与平面AA1D1D所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据棱柱的结构特征，可得直线A1C与平面AA1D1D所成角为∠CA1D，即可得出答案．
【解答】解：连接A1D，如图所示：
在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD⊥平面AA1D1D，
故直线A1C与平面AA1D1D所成角为∠CA1D，
在长方形AA1D1D中，A1D，CA1
在Rt△CA1D中，sin∠CA1D，
故选：A．
【点评】本题考查棱柱的结构特征和直线与平面的夹角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
7．（3分）如图，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．从这个正方形的四个顶点中随机选取两个，那么这两个点关于点O对称的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知结合古典概率公式即可求解．
【解答】解：从四个顶点中选两个的情况有6种，
选的两个点关于O对称的情况有A，C与B，D，
故所求的概率为P．
故选：C．
【点评】本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题．
8．（3分）圆心为（﹣1，2），半径r＝3的圆的标准方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y+2）2＝9B．（x+1）2+（y﹣2）2＝9
C．（x﹣1）2+（y+2）2＝3D．（x+1）2+（y﹣2）2＝3
【分析】根据题意，由圆的标准方程的形式，代入圆心的坐标和半径，即可得答案．
【解答】解：根据题意：要求的圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝9；
故选：B．
【点评】本题考查圆的标准方程，注意圆的标准方程的形式，属于基础题．
9．（3分）已知正四棱锥P﹣ABCD的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，那么△HBD面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】取BD中点D，连接OH，PO，OC，由正四棱锥的性质可知PO⊥OC，OH⊥BD，所以在直角三角形POC中，当OH⊥PC时，OH最小，求出此时OH的最小值，从而求出△HBD面积的最小值．
【解答】解：取BD中点D，连接OH，PO，OC，如图所示，
∵四棱锥P﹣ABCD为正四棱锥，∴PO⊥平面ABCD，DH＝BH，
∵O为BD的中点，∴OH⊥BD，
∵OC⊂平面ABCD，∴OC⊥PO，
∵AB＝2，PO＝4，∴BD＝2，OC，
在直角三角形POC中，当OH⊥PC时，OH最小，为，当点H和点P重合时，OH最大，最大为4，
∴OH，
又∵S△HBD，
∴当OH时，△HBD的面积最小，为．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正四棱锥的结构特征，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．
10．（3分）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，那么事件“2x+y≤16”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据古典概型概率计算公式可解．
【解答】解：根据题意抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有基本事件36个，且将第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，
又2x+y≤16＝24，则x+y≤4，
则满足事件“2x+y≤16”的基本事件为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）共6种，
则事件“2x+y≤16”的概率为，
故选：C．
【点评】本题考查古典概型概率计算公式，属于基础题．
11．（3分）地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失．根据Rydelek和Pujl提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点．在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10km．根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6km．据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为（ ）
A．8kmB．6kmC．4kmD．2km
【分析】设震中为P，根据双曲线的定义以及|PA|+|PB|≥|AB|＝10可求出结果．
【解答】解：设震中为P，依题意有|PB|﹣|PA|＝6＜|AB|＝10，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线靠近A的一支，
因为|PA|+|PB|≥|AB|＝10，当且仅当A，P，B三点共线时，取等号，
所以|PB|﹣6+|PB|≥10，所以|PB|≥8，
所以震中到地震台B站的距离至少为8km．
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，属于中档题．
12．（3分）对于数列{an}，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有|an|≤M，则称数列{an}是有界的．若这样的正数M不存在，则称数列{an}是无界的．记数列{an}的前n项和为Sn，下列结论正确的是（ ）
A．若，则数列{an}是无界的
B．若an＝nsinn，则数列{an}是有界的
C．若，则数列{Sn}是有界的
D．若，则数列{Sn}是有界的
【分析】根据已知|an|≤1恒成立，A错误；an＝nsinn，|an|不存在最大值，即数列{an}无界；C项分别在n为偶数和n为奇数情况下求和，由此可确定；D项采用放缩法可判断．
【解答】解：对于A，∵|an|＝||1恒成立，∴存在正数M＝1，使得|an|≤M恒成立，
∴数列{an}是有界的，A错误；
对于B，|an|＝|nsinn|＝n|sinn|，
∵|sinn|≤1，∴|an|≤n，即随着n的增大，不存在正数M，使得|an|≤M恒成立，
∴数列{an}是无界的，B错误；
对于C，当n为偶数时，Sn＝0；当n为奇数时，Sn＝﹣1；
∴|Sn|≤1，∴存在正数M＝1，使得|Sn|≤M恒成立，
∴数列{Sn}是有界的，C正确；
对于D，2（），
∴Sn＝2n+12n+2（1）＝2n+2（1）＝2n2（n1），
∵y＝x在（0，+∞）上单调递增，∴n∈[，+∞），
∴不存在正数M，使得|Sn|≤M恒成立，∴数列{Sn}是无界的，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查数列中的新定义问题，解题关键是理解数列有界的本质是对于数列中的最值的求解，进而可以通过对于数列单调性的分析来确定数列是否有界，属于难题．
二、填空题共6小题，每小题3分，共18分。
13．（3分）已知空间向量（1，﹣1，0），（m，1，﹣1），若⊥，则实数m＝ 1 ．
【分析】由⊥，可建立关于m的方程，解出即可．
【解答】解：因为（1，﹣1，0），（m，1，﹣1），⊥，
所以m﹣1＝0，解得m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查空间向量的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
14．（3分）在等差数列{an}中，a1＝2，a4＝a2+6，则an＝ 3n﹣1 ．
【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可求解．
【解答】解：等差数列{an}中，a1＝2，a4＝a2+6，
所以a4﹣a2＝2d＝6，
所以d＝3，
则an＝a1+3（n﹣1）＝3n﹣1．
故答案为：3n﹣1．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
15．（3分）两条直线l1：3x﹣4y﹣2＝0与l2：3x﹣4y+8＝0之间的距离是 2 ．
【分析】由已知结合两平行线间的距离公式即可求解．
【解答】解：两条直线l1：3x﹣4y﹣2＝0与l2：3x﹣4y+8＝0之间的距离是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
16．（3分）某单位组织知识竞赛，按照比赛规则，每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题作答．假设在5道备选题中，甲答对每道题的概率都是，且每道题答对与否互不影响，则甲恰好答对其中两道题的概率为 ；若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，则乙恰好答对两道题的概率为 ．
【分析】根据已知条件，结合二项分布的概率公式，以及古典概型的概率公式，即可求解．
【解答】解：设甲能够答对X道题目，
则X～B（3，），
P（X＝2），
若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，
则乙恰好答对两道题的概率为．
故答案为：；．
【点评】本题主要考查二项分布的概率公式，以及古典概型的概率公式，属于基础题．
17．（3分）试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y＝±2x的双曲线方程 （或其它以y＝±2x为渐近线的双曲线方程） ．
【分析】首先根据条件中的渐近线方程，可设双曲线方程为4x2﹣y2＝λ，λ≠0，写出结果即可．
【解答】解：∵渐近线方程为2x±y＝0，
设双曲线方程为4x2﹣y2＝λ，λ≠0，
所以双曲线的方程为（或其它以y＝±2x为渐近线的双曲线方程）．
故答案为：（或其它以y＝±2x为渐近线的双曲线方程）．
【点评】本题考查了求双曲线的简单性质，设出标准形式，求出参数即可，属于基础题型．
18．（3分）已知点P是曲线ax2+by2＝1（其中a，b为常数）上的一点，设M，N是直线y＝x上任意两个不同的点，且|MN|＝t．则下列结论正确的是 ②③④ ．
①当ab＞0时，方程ax2+by2＝1表示椭圆；
②当ab＜0时，方程ax2+by2＝1表示双曲线；
③当a，b，且t＝4时，使得△MNP是等腰直角三角形的点P有6个；
④当a，b，且0＜t＜4时，使得△MNP是等腰直角三角形的点P有8个．
【分析】对①②，根据方程ax2+by2＝1表示的曲线可以是圆，椭圆，双曲线，直线判断即可；
对③④，求出点 P 到直线y＝x的距离 d 的取值范围，对点 P 是否为直角顶点进行分类讨论，确定 d ， t 的等量关系，综合可得出结论．
【解答】解：方程ax2+by2＝1中，当a＝b＞0时，可表示圆；
当ab＜0时，ax2+by2＝1表示双曲线，故①错误，②正确；
在③④中：椭圆方程为椭圆与直线y＝x均关于原点对称，
设点，则点P到直线y＝x的距离
∈[0，4]；
对③：t＝4时，若P为直角顶点，如图1，则|MN|＝t＝4，d＝2＜4，
满足△MNP为等腰直角三角形的点P有四个，
图1
若P不是直角顶点，如图2，则|MN|＝t＝4，d＝4，满足△PMN是等腰直角三角形的非直角顶点P有两个，
图2
故t＝4时，使得△MNP是等腰直角三角形的点P有6个，③正确；
对④：0＜t＜4时，若P为直角顶点，如图1，则|MN|＝t，，
满足△MNP为等腰直角三角形的点P有四个．
若P不是直角顶点，如图3，则|MN|＝t，d＝t＜4，
满足△MNP是等腰直角三角形的非直角顶点P有四个，
图3
故0＜t＜4时，使得△MNP是等腰直角三角形的点P有8个，④正确；
故答案为：②③④．
【点评】本题主要考查曲线与方程和直线与圆的位置关系，考查了数形结合思想和分类讨论思想，属于中档题．
三、解答题共5小题，共46分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（8分）某超市有A，B，C三个收银台，顾客甲、乙两人结账时，选择不同收银台的概率如表所示，且两人选择哪个收银台相互独立．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求甲、乙两人在结账时都选择C收银台的概率；
（Ⅲ）求甲、乙两人在结账时至少一人选择C收银台的概率．
【分析】（I）根据已知条件，结合概率和为1，即可求解；
（Ⅱ）根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解；
（Ⅲ）根据已知条件，结合对立事件的概率公式，以及相互独立事件的概率乘法公式，即可求解；
【解答】解：（Ⅰ）由表可知，甲选择A收银台的概率为a＝1﹣0.2﹣0.4＝0.4，
乙选项B收银台的概率为b＝1﹣0.3﹣0.3＝0.4；
（Ⅱ）甲、乙两人在结账时都选择C收银台的概率为0.4×0.3＝0.12；
（Ⅲ）甲、乙两人在结账时至少一人选择C收银台的概率为1﹣（1﹣0.4）×（1﹣0.3）＝0.58．
【点评】本题主要考查对立事件的概率公式，以及相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
20．（10分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，Q为棱PD的中点，PA⊥AD，PA＝AB＝2，再从下列两个条件中任选一个作为已知，求解下列问题．
条件①：平面PAD⊥平面ABCD；
条件②：PA⊥AB．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值；
（Ⅲ）求点B到平面ACQ的距离．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【分析】（Ⅰ）分别选取条件①、②，根据线面垂直的判定定理和面面垂直的性质，即可证明结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，建立以A为原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法，即可得出答案；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得平面ACQ的一个法向量为（1，﹣1，1），利用向量法，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）选取条件①：平面PAD⊥平面ABCD，
证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，PA⊂平面PAD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PA⊥平面ABCD；
选取条件②：PA⊥AB，
证明：∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，AB∩AD＝A，
∴PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，
则平面ABCD的一个法向量为（0，0，2），
则建立以A为原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示：
PA＝AB＝2，则A（0，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），Q（0，1，1），
设平面ACQ的一个法向量为（x，y，z），（2，2，0），（0，1，1），
则，取y＝﹣1，则x＝1，z＝1，
∴平面ACQ的一个法向量为（1，﹣1，1），
设平面ACQ与平面ABCD夹角为α，
则csα＝|cs|，
故平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值为；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得平面ACQ的一个法向量为（1，﹣1，1），
B（2，0，0），则（2，0，0），
∴点B到平面ACQ的距离．
【点评】本题考查直线与平面垂直、二面角及点到平面的距离，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21．（10分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0，圆C1：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝4及点P（3，1）．
（Ⅰ）判断圆C和圆C1的位置关系；
（Ⅱ）求经过点P且与圆C相切的直线方程．
【分析】（I）圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0，配方为（x﹣1）2+（y+2）2＝9，可得圆心C，半径R．圆C1：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝4，可得圆心C1，r．求出圆心距离|CC1|，与半径的和差比较即可得出位置关系．
（II）由点P（3，1），可知切线的斜率存在，设切线方程为y﹣1＝k（x﹣3），根据直线与圆相切的性质即可得出k．
【解答】解：（I）圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0，配方为（x﹣1）2+（y+2）2＝9，
可得圆心C（1，﹣2），半径R＝3．
圆C1：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝4，可得圆心C1（3，1），r＝2．
∴|CC1|，
∵3﹣23+2，
∴圆C和圆C1相交．
（II）由点P（3，1），可知切线的斜率存在，
设切线方程为y﹣1＝k（x﹣3），即kx﹣y+1﹣3k＝0，
则3，解得k＝0或k，
∴要求的切线方程为y﹣1＝0或12x+5y﹣41＝0．
【点评】本题考查了两圆的位置关系的判定、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．（10分）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，一个顶点为A（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若求点A的直线l与椭圆E的另一个交点为B，且|AB|，求点B的坐标．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆中a，b，c的关系求解即可；
（Ⅱ）易知斜率不存在时不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线l：y＝kx+1，联立直线与椭圆的方程，求出B点坐标，由|AB|，化简可得k的方程，解方程求出k2的值即可求出B点坐标．
【解答】解：（I）因为椭圆的离心率为，上顶点为A（0，1），
所以，即ac，
因为a2＝b2+c2，所以2c2＝b2+c2，所以b＝c＝1，
所以a，
所以椭圆E的方程为．
（Ⅱ）由题意易知，斜率不存在时不符合要求．
当直线的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l：y＝kx+1，
由，整理得（1+2k2）x2+4kx＝0，
因为A（0，1），
则，
由，得，
化简得k4+k2﹣2＝0，
解得k2＝1或﹣2（舍），
所以点B的坐标为．
【点评】本题考查了椭圆的方程和性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
23．（8分）已知无穷数列{yn}满足公式yn+1设y1＝a（0≤a≤1）．
（Ⅰ）若a，求y3的值；
（Ⅱ）若y3＝0，求a的值；
（Ⅲ）给定整数M（M≥3），是否存在这样的实数a，使数列{yn}满足：
①数列{yn}的前M项都不为零；
②数列{yn}中从第M+1项起，每一项都是零．
若存在，请将所有这样的实数a从小到大排列形成数列{an}，并写出数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）由y1＝a，能求出y2和y3．
（Ⅱ）y3＝0，当0≤y2时，y3＝2y2，求出y2＝0，若0≤y1，推导出a＝y1＝0，若，推导出a＝y1＝1；当时，求出y2＝1，若，推导出a＝y1∉[0，）．若，推导出a＝y1．
（Ⅲ）存在这样的a．由（Ⅱ）可知yM＝1，yM﹣1，当0时，求出yM﹣2，当时，求出，依次类推，y1＝yM﹣（m﹣1），，，•••，，由此能求出数列{an}的通项公式．
【解答】解：（Ⅰ）无穷数列{yn}满足公式yn+1y1＝a（0≤a≤1），
∵y1＝a，∴y2＝2y1，y3＝2﹣2y2＝1．
（Ⅱ）y3＝0，
（1）当0≤y2时，y3＝2y2，∴y2＝0，
此时，若0≤y1，则y2＝2y1，a＝y1＝0，
若，则y2＝2﹣2y1，a＝y1＝1，．
（2）当时，y3＝2﹣2y2，∴y2＝1，
此时，若，则y2＝2y1，a＝y1∉[0，）．
若，则y2＝2﹣2y1，a＝y1．
综上，a＝0，1，．
（Ⅲ）存在这样的a．
∵yM+1＝0，yM≠0，∴由（Ⅱ）可知yM＝1，yM﹣1，
（1）当0时，yM﹣1＝2yM﹣2，∴yM﹣2，
（2）当时，yM﹣1＝2﹣2yM﹣2，∴，
依次类推，y1＝yM﹣（m﹣1），，，•••，，
∴数列{an}的通项公式为an，n＝1，2，3，•••，2M﹣2．
【点评】本题考查数列的递推公式、数列的函数特性等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
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