2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（5分）若集合，，，0，1，，则　　

A．， B．， C．， D．，，

2．（5分）下列复数为纯虚数的是　　

A． B． C． D．

3．（5分）下列函数中，是奇函数且存在零点的是　　

A． B． C． D．

4．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入，，则输出的等于　　

A．3 B．12 C．60 D．360

5．（5分）“”是“函数的图象关于直线对称”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为　　

A．2 B． C． D．3

7．（5分）在极坐标系中，下列方程为圆的切线方程的是　　

A． B． C． D．

8．（5分）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为和，则的值所在的区间为　　

A． B． C． D．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．（5分）若，满足，则的最小值为　　．

10．（5分）已知双曲线的一个焦点为，，则　　．

11．（5分）若等差数列和等比数列满足，，，试写出一组满足条件的数列和的通项公式：　　，　　．

12．（5分）在菱形中，若，则的值为　　．

13．（5分）函数在区间上的最大值为　　．

14．（5分）已知函数为定义域为，设．

①若，则（1）　　；

②若，且对任意，，则实数的取值范围为　　．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（13分）在中，．

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）若的面积为，求的值．

16．（13分）某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：，，，，，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求频率分布直方图中的的值；

（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；

（Ⅲ）已知课外阅读时间在，的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在，的样本学生中随机抽取3人，记为抽到女生的人数，求的分布列与数学期望．

17．（14分）如图1，在四边形中，，，，分别为，的中点，，．将四边形沿折起，使平面平面（如图，是的中点．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）求二面角的大小．

18．（13分）已知函数．

（Ⅰ）当时，求曲线在点，处的切线方程；

（Ⅱ）当时，若曲线在直线的上方，求实数的取值范围．

19．（13分）已知椭圆过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程，并求其离心率；

（Ⅱ）过点作轴的垂线，设点为第四象限内一点且在椭圆上（点不在直线上），点关于的对称点为，直线与交于另一点．设为原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由．

20．（14分）对给定的，记由数列构成的集合．

（Ⅰ）若数列（2），写出的所有可能取值；

（Ⅱ）对于集合（d），若．求证：存在整数，使得对（d）中的任意数列，整数不是数列中的项；

（Ⅲ）已知数列，（d），记，的前项和分别为，．若，求证：．

2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

【解答】解：集合表示到0的所有实数，

集合表示5个整数的集合，

，，

故选：．

【解答】解：，，，．

为纯虚数的是．

故选：．

【解答】解：对于选项为奇函数，且存在零点为，与题意相符，

对于选项为非奇非偶函数，与题意不符，

对于选项为偶函数，与题意不符，

对于选项不存在零点，与题意不符，

故选：．

【解答】解：模拟执行程序，可得，，，，

，

满足条件，执行循环体，，，

满足条件，执行循环体，，，

不满足条件，退出循环，输出的值为60．

故选：．

【解答】解：若函数的图象关于直线，

则，

得，

当时，，

即“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件，

故选：．

【解答】解：由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥，

其中底面，，，，

，

在该三棱锥中，最长的棱长为．

故选：．

【解答】解：圆，即，

圆的直角坐标方程为，即，

圆心为，半径，

在中，即，

圆心到的距离，故不是圆的切线，故错误；

在中，是圆，不是直线，故错误；

在中，即，

圆心到的距离，故是圆的切线，故正确；

在中，即，

圆心到的距离，故不是圆的切线，故错误．

故选：．

【解答】解：，

，，

，，

，

，

的值所在的区间为，

故选：．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

【解答】解：作出，满足对应的平面区域，

由，得，平移直线，

由，解得

由图象可知当直线经过点时，

直线的截距最小，此时最小，

此时．

故答案为：4．

【解答】解：双曲线的一个焦点为，，即，

解得，

故答案为：3．

【解答】解：等差数列的公差设为，

等比数列的公比设为，

，，，

可得，

即为，

可取，可得，

则；

．

故答案为：，2．

【解答】解：菱形中，，

则．

故答案为：．

【解答】解：函数；

上

当时，取得最大值为．

故答案为：

【解答】解：①若，

由，可得，成立，

即有，

则（1）；

②若，且对任意，，

可得恒成立，

即为，

即有，

可得，即，

由的最小值为，

则．

故答案为：，，．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

【解答】（本题满分为13分）

解：（Ⅰ）在中，由正弦定理可得：，

所以：，

又，

．（5分）

（Ⅱ）因为的面积为，

，

．

．（13分）

【解答】（共13分）

解：（Ⅰ）由，

可得（3分）

（Ⅱ），

即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为，

所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150．

（6分）

（Ⅲ）课外阅读时间在，的学生样本的频率为，，即阅读时间在，的学生样本人数为8，

8名学生为3名女生，5名男生，

随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，；　；；  ．

所以的分布列为：

故的期望（13分）

【解答】证明：（Ⅰ）在图1中，，

可得为等腰直角三角形，．

因为，所以，．

因为平面平面，且两平面交于，平面，

所以平面．

又平面，故；

由为中点，可知四边形为正方形，所以；

又，所以平面．又平面，所以（4分）

解：由（Ⅰ）知：，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，

设，则，0，，，2，，，0，，，1，．

设是线段上一点，．

．

由（Ⅰ）知为平面的法向量，，2，，

因为平面，，

即，，，2，．

．（9分）

设，0，，，0，，，0，．

由可得，．，

设平面的法向量为，，，

由

令，则，．于是，1，．

．

所以二面角的大小为（14分）

【解答】解：（Ⅰ） 当时，，其导数，．

又因为，

所以曲线在点，处的切线方程为；

（Ⅱ）根据题意，当时，“曲线在直线的上方”等价于“恒成立”，

又由，则，

则原问题等价于恒成立；

设，则，

又由，则，则函数在区间上递减，

又由，则有，

若恒成立，必有，

即的取值范围为，．

【解答】解：（Ⅰ）由椭圆方程椭圆 过点，可得．

所以，

所以椭圆的方程为，离心率，

（Ⅱ）直线与直线平行．证明如下：

设直线，，

设点的坐标为，，，，

由得，

，

同理，

所以，

由，

有，

因为在第四象限，所以，且不在直线上．

，

又，

故，

所以直线与直线平行．

【解答】（共14分）

解：（Ⅰ）由于数列（2），即，．

由已知有，所以，

，

将代入得的所有可能取值为，，1，5．（4分）

证明：（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列：

若（d），则具有，的形式．

①当时，，因此时结论成立．

②假设当时结论成立，即存在整数，使得成立．

当时，，

，或，

所以当时结论也成立．

由①②可知，若数列（d）对任意，具有的形式．

由于具有的形式，以及，可得不是的整数倍．

故取整数，则整数均不是数列中的项（9分）

（Ⅲ）由，可得：，

所以有，

，

，

，

以上各式相加可得，

即，同理，

当时，有，

，，

，

．（14分）

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日期：2019/12/17 21:24:59；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267