2022年中考数学二轮复习专题《与圆有关的位置关系》练习册 (含答案)

这是一份2022年中考数学二轮复习专题《与圆有关的位置关系》练习册 (含答案)，共32页。

2. (2017广州)如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )
A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点
第2题图
3. (2016湘西州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
4. (2017自贡)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝40°，则∠B等于( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
第4题图
5. (2017安顺)如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为( )
A. eq \f(6,5) B. eq \f(8,5) C. eq \f(\r(7),5) D. eq \f(2\r(3),5)
第5题图
6. (2017无锡)如图，菱形ABCD的边AB＝20，面积为320，∠BAD<90°，⊙O与边AB、AD都相切，AO＝10，则⊙O的半径长等于( )
A. 5 B. 6 C. 2eq \r(5) D. 3eq \r(2)
第6题图
7. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A(0，2)，B(0，8)，则圆心P的坐标是( )
A. (5，3) B. (5，4)
C. (3，5) D. (4，5)
第7题图
8. eq \a\vs4\al(关注数学文化)《九章算术》中“今有勾七步，股有二十四步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为7步，股(长直角边)长为24步，问该直角三角形的容圆(内切圆)直径是( )
A. 4步 B. 5步 C. 6步 D. 8步
9. (2016邵阳)如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD，若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是( )
A. 15° B. 30°
C. 60° D. 75°
第9题图
10. (2017沈阳)正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是( )
A. eq \r(3) B. 2
C. 2eq \r(2) D. 2eq \r(3)

第10题图 第11题图
11. (2017连云港)如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB＝12，AC＝8，则⊙O的半径长为________．
12. (2017徐州)如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为D，AB＝BC＝2，则∠AOB＝________°.
第12题图
13. (2017凉山州)如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝________．
第13题图
14. (2017绥化)半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为________．
15. (2016泰安)如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若∠B＝30°，则线段AE的长为________．
第15题图
16. (2017天水)如图所示，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC＝∠A，连接OE并延长与圆相交于点F，与BC相交于点C.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．
第16题图
17. (2017辽阳)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E、F是⊙O上两点，连接AE、CF、DF，满足EA＝CA.
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，tan∠CFD＝eq \f(4,3)，求AD的长．
第17题图
18. (2017泰州)如图，⊙O的直径AB＝12 cm，C为AB延长线上一点，CP与⊙O相切于点P，过点B作弦BD∥CP，连接PD.
(1)求证：点P为eq \(BD,\s\up8(︵))的中点；
(2)若∠C＝∠D，求四边形BCPD的面积．
第18题图
19. (2017攀枝花)如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F，且CE＝CF.
(1)求证：直线CA是⊙O的切线；
(2)若BD＝eq \f(4,3)DC，求eq \f(DF,CF)的值．
第19题图
20. (2016陕西)如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G.
求证：(1)FC＝FG；
(2)AB2＝BC·BG.
第20题图
21. (2017山西)如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D.
(1)若AC＝4，BC＝2，求OE的长；
(2)试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．
第21题图
能力提升拓展
1. (2016湖州)如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°.过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是( )
A. 25° B. 40° C. 50° D. 65°
第1题图
2. (2016台州)如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是( )
A. 6 B. 2eq \r(13)＋1 C. 9 D. eq \f(32,3)
第2题图
3.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，已知∠P＝60°，OA＝3，那么AB的长为________．
第3题图
4. 如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l于点D，且交⊙O于点E，连接OC、BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为________．

第4题图
5. (2017贵港模拟)如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE＝∠ADF，若⊙O的直径为5，CD＝4，则弦EF的长为________．

第5题图 第6题图
6. (2017岳阳)如图，⊙O为等腰△ABC的外接圆，直径AB＝12，P为弧eq \(BC,\s\up8(︵))上任意一点(不与B、C重合)，直线CP交AB延长线于点Q，⊙O在点P处切线PD交BQ于点D，下列结论正确的是______．(写出所有正确结论的序号)
①若∠PAB＝30°，则弧eq \(BP,\s\up8(︵))的长为π；
②若PD∥BC，则AP平分∠CAB；
③若PB＝BD，则PD＝6eq \r(3)；
④无论点P在弧eq \(BC,\s\up8(︵))上的位置如何变化，CP·CQ为定值．
7. (2017北京)如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D.
(1)求证：DB＝DE;
(2)若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半径．
第7题图
8. (2017四市联考模拟)如图，直线l与⊙O相离，过点O作OA⊥l，垂足为A，OA交⊙O于点B，点C在直线l上，连接CB并延长交⊙O于点D，在直线l上另取一点P，使∠PCD＝∠PDC.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)若AC＝1，AB＝2，PD＝6，求⊙O的半径r和△PCD的面积．
第8题图
9. (2017成都)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F.
(1)求证：DH是⊙O的切线；
(2)若A为EH的中点，求eq \f(EF,FD)的值；
(3)若EA＝EF＝1，求⊙O的半径．
第9题图
答案
基础达标训练
1. C 【解析】分为两种情况：①当点P在圆内时，由于点到圆的最小距离为6 cm，最大距离为9 cm，则直径是15 cm，∴半径是7.5 cm；②当点P在圆外时，最小距离为6cm，最大距离为9 cm，则直径是3 cm，∴半径是1.5 cm.故选C.
2. B 【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，∴圆心到三边的距离相等，∴点O是△ABC的三条角平分线的交点．
3. A 【解析】如解图，过C作CD⊥AB于D，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝ SKIPIF 1 < 0 ＝5，∵△ABC的面积＝eq \f(1,2)AC×BC＝eq \f(1,2)AB×CD，∴3×4＝5CD，∴CD＝2.4<2.5，即d第3题解图
4. B 【解析】∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，即∠PAO＝90°，∵∠P＝40°，∴∠POA＝90°－∠P＝50°，∴∠B＝eq \f(1,2)∠POA＝25°.
5. B 【解析】如解图，连接BD，∵OC∥AD，∴∠BOC＝
∠A，∵BC切⊙O于点B，∴∠OBC＝90°，在Rt△OBC中，
cs∠BOC＝eq \f(OB,OC)＝eq \f(2,5)，在Rt△ADB中，csA＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(2,5)，∵AB＝4，∴AD＝eq \f(8,5).
第5题解图
6. C 【解析】如解图，设AB与⊙O切于点E，连接OE，则∠AEO＝90°，过点D作DF⊥AB于点F，连接OC，BD，OC与BD交于点G，∵⊙O与边AB、AD都相切，∴A、O、C三点共线．∵AB·DF＝320，AB＝20，∴DF＝16，∴AF＝ SKIPIF 1 < 0 ＝12，∴BF＝AB－AF＝8，∴BD＝ SKIPIF 1 < 0 ＝8eq \r(5)，∴BG＝eq \f(1,2)BD＝4eq \r(5).∵∠OAE＝∠BAG，∠OEA＝∠BGA，∴△AOE∽△ABG，∴eq \f(AO,AB)＝eq \f(OE,BG)＝eq \f(1,2)，∴OE＝eq \f(1,2)BG＝2eq \r(5).
第6题解图
7. D 【解析】如解图，过点P作PQ⊥y轴于点Q，设⊙P与x轴的切点为C，连接PC，PA，∵A(0，2)，B(0，8)，∴OA＝2，AB＝6，∴AQ＝BQ＝eq \f(1,2)AB＝3，PA＝PC＝OQ＝OA＋AQ＝5，∴PQ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝4，∴P(4，5)．
第7题解图
8. C 【解析】设三角形为△ABC，∠C＝90°，AC＝7，BC＝24，∴AB＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝25，设内切圆的半径为r，则S△ABC＝eq \f(1,2)(AB＋BC＋CA)·r，∴eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)(AB＋BC＋CA)·r，即eq \f(1,2)×7×24＝eq \f(1,2)×(25＋24＋7)·r，解得r＝3，∴该直角三角形的容圆(内切圆)直径是6步．
9. D 【解析】如解图，连接OD，∵CA，CD是⊙O的切线，∴OA⊥AC，OD⊥CD，∴∠OAC＝∠ODC＝90°，∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝150°，∵OB＝OD，∴∠DBA＝∠ODB＝eq \f(1,2)∠AOD＝75°.
第9题解图
10. B 【解析】如解图，连接OB，OC，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC，∵正六边形的周长是12，∴BC＝2，∴⊙O的半径是2.
第10题解图
11. 5 【解析】如解图，连接OB，设⊙O的半径为r，由题意得∠OBA＝90°，则r2＋122＝(8＋r)2，解得r＝5.
第11题解图
12. 60 【解析】∵OA⊥BC，BC＝2，∴BD＝eq \f(1,2)BC＝1，在Rt△ABD中，AB＝2，BD＝1，∴∠A＝30°，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠OBA＝90°，在Rt△AOB中，∠A＝30°，∴∠AOB＝90°－∠A＝60°.
13. 72° 【解析】如解图，连接OA、OB、OC，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠AOB＝∠BOC＝72°，∵OA＝OB，OB＝OC，∴∠OBA＝∠OCB＝54°，在△OBP和△OCQ中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(OB＝OC,∠OBA＝∠OCB,BP＝CQ))，∴△OBP≌△OCQ(SAS)，∴∠BOP＝∠QOC，∴∠BOP＋∠BOQ＝∠QOC＋∠BOQ，∴∠POQ＝∠BOC＝72°.
第13题解图
14. 1∶eq \r(2)∶eq \r(3) 【解析】半径为2 的圆内接正三角形的边心距是2×sin30°＝1，正四边形的边心距是2×sin45°＝eq \r(2)，正六边形的边心距是2×sin60°＝eq \r(3)，∴三者的比值是1∶eq \r(2)∶eq \r(3).
15. eq \r(3) 【解析】如解图，连接OD，∵AB与⊙O切于点D，∴∠ODB＝90°，∵∠BOA＝90°，OD＝OC＝3，∠B＝30°，∴OB＝2OD＝6，∠BOD＝60°，∴OA＝OB·tan30°＝2eq \r(3)，△OCD为等边三角形，∴∠OCD＝60°，∴OE＝OC·tan60°＝3eq \r(3)，∴AE＝OE－OA＝eq \r(3).
第15题解图
16. (1)证明：如解图，连接OB，
∵E是BD的中点，
∴OC⊥BD，eq \(BF,\s\up8(︵))＝eq \(DF,\s\up8(︵))，
∴∠C＋∠DBC＝90°，
又∵eq \(BF,\s\up8(︵))＝eq \(DF,\s\up8(︵))，
∴∠A＝∠BOC，
∵∠DBC＝∠A，
∴∠DBC＝∠BOC，
∴∠BOC＋∠C＝90°，
∴∠CBO＝90°，
∴OB⊥BC，
∵OB是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
第16题解图
(2)解：在Rt△OBC中，OB＝6，BC＝8，
∴OC＝ SKIPIF 1 < 0 ＝10，
又∵S△OBC＝eq \f(1,2)OB·BC＝eq \f(1,2)OC·BE，
∴eq \f(1,2)×6×8＝eq \f(1,2)×10×BE，
∴BE＝eq \f(24,5)，
∴BD＝2BE＝eq \f(48,5)，
则弦BD的长为eq \f(48,5).
17. (1)证明：如解图，连接OA，OE，
∵AC＝AE，OC＝OE，OA＝OA，
∴△AOC≌△AOE(SSS)，
∴∠OEA＝∠ACB＝90°，
∴OE⊥AE，
∵OE是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线；
第17题解图
(2)解：如解图，连接CD，∵∠CBA＝∠CFD，
∴tan∠CBA＝tan∠CFD＝eq \f(4,3)，
在Rt△ACB中，tan∠CBA＝eq \f(CA,CB)＝eq \f(CA,6)＝eq \f(4,3)，
∴AC＝8，∴AB＝ SKIPIF 1 < 0 ＝10，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CDB＝∠ADC＝90°，
∵∠ADC＝∠ACB，∠DAC＝∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AC,AB)，即eq \f(AD,8)＝eq \f(8,10)，
∴AD＝eq \f(32,5).
则AD的长为eq \f(32,5).
18. (1)证明：如解图，连接OP，
第18题解图
∵PC为⊙O的切线，
∴OP⊥PC，
∵BD∥PC，
∴OP⊥BD，
∴eq \(BP,\s\up8(︵))＝eq \(PD,\s\up8(︵))，
∴P为eq \(BD,\s\up8(︵))的中点；
(2)解：∵BD∥PC，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠C＝∠D，
∴∠ABD＝∠D，
∴BC∥PD，
∴四边形BCPD为平行四边形，
∵OP⊥BD，
∴BE＝ED，∠BEO＝90°，
∴∠ABD＋∠BOE＝90°，
∵∠BOE＝2∠D，
∴∠BOE＝2∠ABD，
∴∠ABD＝30°，
∴OB＝2OE，
∵AB＝12，
∴OB＝6，
∴OE＝3，BE＝DE＝3eq \r(3)，
∴PE＝3，BD＝6eq \r(3)，
∴S四边形BCPD＝BD·PE＝6eq \r(3)×3＝18eq \r(3).
19. (1)证明：∵CE＝CF，
∴∠CEF＝∠CFE，
∵∠AFD＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠AFD，
∵BC是⊙O的直径，
∴DC⊥AB，即∠ADC＝90°，
∴∠DAF＋∠AFD＝90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAC，
∴∠EAC＋∠AEC＝90°，
∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CA是⊙O的切线；
(2)解：如解图，过点F作FG⊥AC于点G，
第19题解图
∵∠B＋∠BCD＝90°，∠BCD＋∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴FG＝DF，
∵BD＝eq \f(4,3)DC，
∴BC＝eq \r(BD2＋CD2)＝eq \f(5,3)CD，
∴在Rt△BCD中，sinB＝eq \f(CD,BC)＝eq \f(3,5)，
在Rt△CFG中，sin∠FCG＝eq \f(FG,FC)＝sinB＝eq \f(3,5)，
∴eq \f(DF,CF)＝eq \f(FG,FC)＝eq \f(3,5).
20. 证明：(1)如解图，∵EF∥BC，AB⊥BG，
∴EF⊥AD.
∵E是AD的中点，
∴FA＝FD，
∴∠FAD＝∠D.
又∵GB⊥AB，
∴∠GAB＋∠G＝∠D＋∠1＝90°，
∴∠1＝∠G，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠G，
∴FC＝FG；
(2)如解图，连接AC，
第20题解图
∵AB⊥BG，
∴AC是⊙O的直径，
∵FD是⊙O的切线，切点为C，
∴AC⊥DF，
∴∠1＋∠4＝90°，
∵∠3＋∠4＝90°，
∴∠1＝∠3，
由(1)可知∠1＝∠G，
∴∠3＝∠G，
又∵∠ABC＝∠GBA＝90°，
∴△ABC∽△GBA，
∴eq \f(AB,GB)＝eq \f(BC,BA)，
∴AB2＝BC·BG.
21. 解：(1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝2eq \r(5)，
∴AO＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)＝eq \r(5)，
∵OD⊥AB，
∴∠AOE＝∠ACB＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△AOE∽△ACB，
∴eq \f(OE,BC)＝eq \f(AO,AC)，
∴OE＝eq \f(BC·AO,AC)＝eq \f(2\r(5),4)＝eq \f(\r(5),2)；
(2)∠CDE＝2∠A，理由如下：
如解图①，连接OC，∵OA＝OC，
第21题解图①
∴∠1＝∠A，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∴∠2＋∠CDE＝90°，
∵OD⊥AB，
∴∠2＋∠3＝90°，
∴∠3＝∠CDE，
∵∠3＝∠A＋∠1＝2∠A，
∴∠CDE＝2∠A.
一题多解：∠CDE＝2∠A，理由如下：
如解图②，连接OC，
第21题解图②
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠1＋∠2＝90°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴∠A＋∠3＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠A，
∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠2＝∠3，
又∵∠3＝∠4，
∴∠2＝∠4＝∠3＝90°－∠A，
∴∠CDE＝180°－(∠2＋∠4)＝180°－2(90°－∠A)＝180°－2×90°＋2∠A＝2∠A.
能力提升拓展
1. B 【解析】如解图，连接OC，∵⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直径，∵∠A＝25°，∴∠BOC＝
2∠A＝50°，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D＝90°－∠BOC＝40°.
第1题解图
2. C 【解析】∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，∴BC⊥AC，又∵AO＝BO，且AC与半⊙O相切，∴半⊙O的半径为eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)×6＝3，如解图①，当PQ的长最大时，最大值为AB－AQ＝AB－(OA－OQ)＝10－(5－3)＝8；如解图②，当OP⊥BC时，PQ的长最小，最小值为OP－OQ＝ SKIPIF 1 < 0 －3＝1，∴PQ长的最大值与最小值的和是8＋1＝9.
第2题解图
3. 3eq \r(3) 【解析】如解图，过点O作OC⊥AB于点C，∴AC＝eq \f(1,2)AB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∵∠P＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝30°，在Rt△AOC中，OA＝3，∴AC＝OA·cs30°＝3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2)，∴AB＝2AC＝3eq \r(3).
第3题解图
4. 4 【解析】∵OA＝5，AB是⊙O的直径，∴AB＝10，
∠AEB＝90°，∵AE＝6，∴在Rt△AEB中，BE＝ SKIPIF 1 < 0 ＝8，又∵AD⊥l，∴∠EDC＝∠AEB＝90°，∴BE∥CD，又∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，如解图，设OC与BE相交于点F，则四边形CDEF为矩形，∴CD＝EF，OC⊥BE，由垂径定理知，F为BE的中点，∴EF＝eq \f(1,2)BE＝4，∴DC＝4.
第4题解图
5. 2eq \r(5) 【解析】如解图，连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，∵弦CD∥AB，∴AH⊥CD，∴CH＝eq \f(1,2)CD＝eq \f(1,2)×4＝2，∵⊙O的半径为eq \f(5,2)，∴OA＝OC＝eq \f(5,2)，∴OH＝ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(3,2)，∴AH＝OA＋OH＝eq \f(5,2)＋eq \f(3,2)＝4，∴AC＝ SKIPIF 1 < 0 ＝2eq \r(5)，∵∠CDE＝∠ADF，∴eq \(CE,\s\up8(︵))＝eq \(AF,\s\up8(︵))，∴eq \(EF,\s\up8(︵))＝eq \(AC,\s\up8(︵))，∴EF＝AC＝2eq \r(5).
第5题解图
6. ②③④ 【解析】①如解图，连接OP，∵直径AB＝12，∴半径r＝6，∵∠PAB＝30°，∴∠POB＝60°，∴leq \(BP,\s\up8(︵))错误！未定义书签。＝eq \f(60π·6,180)＝2π，故①不正确；②∵PD是⊙O的切线，∴∠OPD＝90°，即∠1＋∠2＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∴∠3＋∠ABP＝90°，∵OP＝OB，∴∠2＝∠ABP，∴∠1＝∠3，∵PD∥BC，∴
∠1＝∠4，又∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5，即AP平分∠CAB，故②正确；③∵PB＝BD，∴∠1＝∠6，∵∠1＋∠2＝∠6＋∠7＝90°，∴∠2＝∠7，∴BP＝OB＝BD＝6，∴OD＝12，∴在Rt△DOP中，由勾股定理得PD＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝6eq \r(3)，故③正确；④∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，又∵∠CPA＝∠CBA，∴∠CAB＝∠CPA，又∵∠ACP＝∠QCA，∴△ACP∽△QCA，∴eq \f(AC,CQ)＝eq \f(CP,CA)，∴CP·CQ＝AC2＝(eq \f(12,\r(2)))2＝72，故④正确．故结论正确的为②③④.
第6题解图
7. (1)证明：如解图，
∵CD⊥OA，
∴∠1＋∠3＝90°.
∵BD为⊙O的切线，
∴OB⊥BD，
∴∠2＋∠5＝90°.
∵OA＝OB，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠5，
又∵∠3＝∠4，
∴∠5＝∠4，
∴DB＝DE；
第7题解图
(2)解：如解图，作DF⊥BE于点F，延长AO交⊙O于点G，连接BG.
∵AB＝12，E为AB的中点，
∴AE＝BE＝eq \f(1,2)AB＝6.
∵在△BDE中，DE＝BD，DF⊥BE，
∴BF＝EF＝eq \f(1,2)BE＝3.
∵在Rt△DEF中，EF＝3，DE＝BD＝5，
∴DF＝ SKIPIF 1 < 0 ＝4，
∴cs∠EDF＝eq \f(DF,DE)＝eq \f(4,5).
∵在Rt△AEC与Rt△DEF中，∠3＝∠4，
∴Rt△AEC∽Rt△DEF，
∴∠1＝∠EDF，
∴cs∠1＝cs∠EDF＝eq \f(4,5).
∵在△ABG中，AG为⊙O的直径，
∴∠ABG＝90°，
∴在Rt△ABG中，AB＝12，cs∠1＝eq \f(4,5)＝eq \f(AB,AG)，
∴AG＝15，
∴AO＝eq \f(1,2)AG＝eq \f(15,2).
即⊙O的半径为eq \f(15,2).
8. (1)证明：如解图①，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
又∵∠OBD＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠ABC，
又∵OA⊥l，
∴∠PCD＋∠ABC＝90°，
又∵∠PCD＝∠PDC，
∴∠PDC＋∠ODB＝90°，
∴∠PDO＝90°，即PD⊥OD，
又∵OD是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线；
第8题解图①
(2)解：∵∠PCD＝∠PDC，
∴PC＝PD＝6，
∴PA＝PC－AC＝6－1＝5，
由(1)得∠ODP＝90°，
在Rt△PAO与Rt△PDO中，
由勾股定理得PA2＋OA2＝PD2＋OD2，
即52＋(2＋r)2＝62＋r2，
解得r＝eq \f(7,4)，
∵OA⊥l，
∴∠BAC＝90°，
∴BC＝ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \r(5)，
如解图①，过点P作PE⊥CD于点E，易知△PDE∽△BCA，
∴eq \f(DE,CA)＝eq \f(PE,BA)＝eq \f(PD,BC)，
∴eq \f(DE,1)＝eq \f(PE,2)＝eq \f(6,\r(5))，
∴DE＝eq \f(6\r(5),5)，PE＝eq \f(12\r(5),5)，
∵PC＝PD，PE⊥CD，
∴CD＝2DE＝2×eq \f(6\r(5),5)＝eq \f(12\r(5),5)，
∴S△PCD＝eq \f(1,2)CD·PE＝eq \f(1,2)×eq \f(12\r(5),5)×eq \f(12\r(5),5)＝eq \f(72,5)，
即⊙O的半径r为eq \f(7,4)，△PCD的面积为eq \f(72,5).
一题多解：如解图②，作DF⊥l于点F，
第8题解图②
易证△CFD∽△CAB，
∴eq \f(CF,CA)＝eq \f(FD,AB)，
∴eq \f(CF,FD)＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(1,2)，
设CF＝k，则FD＝2k，PF＝6－k，
在Rt△PDF中，PF2＋FD2＝PD2，
即(6－k)2＋(2k)2＝ 62，
解得k＝eq \f(12,5)或k＝0(舍去)，
∴DF＝2k＝eq \f(24,5)，
∴S△PCD＝eq \f(1,2)PC·DF＝eq \f(1,2)×6×eq \f(24,5)＝eq \f(72,5).
9. (1)证明：如解图，连接OD，
第9题解图
∵AB＝AC，
∴∠1＝∠2，
∵OB＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴OD⊥DH，
∵OD是⊙O的半径，
∴DH是⊙O的切线；
(2)解：由圆周角定理知，∠1＝∠5，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠5，
∴△EDC是等腰三角形，
∵DH⊥AC，
∴H是EC的中点，
∵A是EH的中点，
∴EA＝AH＝eq \f(1,2)HC＝eq \f(1,3)AC，
由(1)知OD∥AC，
∵O是AB的中点，
∴OD＝eq \f(1,2)AC，
∴eq \f(EF,FD)＝eq \f(AE,OD)＝eq \f(2AE,AC)＝eq \f(2,3)；
(3)解：设OD＝x，
∵OD∥EC，EA＝EF＝1，
∴OD＝FD＝x，
∴ED＝DC＝x＋1，
又∵AC＝2OD＝2x，
∴EC＝2x＋1，
∵在△CDE与△CAB中，∠2＝∠2，∠1＝∠5，
∴△CDE∽△CAB，
∴eq \f(CD,CA)＝eq \f(CE,CB)，即CD·CB＝CA·CE，
得(x＋1)(2x＋2)＝2x(2x＋1)，
解得x1＝eq \f(\r(5)＋1,2)，x2＝eq \f(1－\r(5),2)(舍去)，
∴⊙O的半径为eq \f(\r(5)＋1,2).