考点01 导数的概念及运算-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点01导数的概念及运算

一、单选题

1．（2021·山西高三三模（理））已知，设函数的图象在点处的切线为l，则l过定点（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据导数几何意义求出切线方程，化成斜截式，即可求解

【详解】

由，，，故过处的切线方程为：，故l过定点

故选：A

【点睛】

本题考查由导数的几何意义求解切线方程，直线过定点问题，属于简单题

2．（2021·全国高二专题练习（理））若函数可导，则等于（    ）

A．  B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据导函数的定义得，根据，即可求出结果.

【详解】

．

故选：C.

3．（2021·河南郑州市·高三三模（理））若直线是函数的一条切线，则函数不可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由导数的几何意义知：若切点为则，结合各选项的导数确定是否存在切点.

【详解】

由题设知：若切点为，则，

A：，有；

B：，有；

C：，有；

D：，显然无解.

故选：D.

4．（2021·山西晋城市·高三三模（理））函数f(x)=x3-7x2+sin(x-4)的图象在点处的切线斜率为（    ）

A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8

【答案】C

【分析】

根据导数的几何意义进行求解即可.

【详解】

因为f＇(x)=3x2-14x+cos(x-4)，所以所求切线的斜率为f＇（4）=3×16-14×4+1=﹣7.

故选：C

5．（2021·全国高三其他模拟（理））曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据切点和斜率求得切线方程.

【详解】

因为，所以，当时，，所以曲线在点处的切线的斜率，所以所求切线方程为，即.

故选：D

6．（2021·吉林白山市·高三三模（理））函数的图象在点处的切线的斜率为（    ）．

A． B． C．6 D．

【答案】A

【分析】

利用导数的几何意义求解即可

【详解】

解：由，得，则，

所以函数的图象在点处的切线的斜率为，

故选：A

7．（2021·吉林白山市·高三其他模拟（理））函数的图象在点处的切线斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用导数求得切线的斜率.

【详解】

因为，所以所求切线的斜率为.

故选：A

8．（2021·河南洛阳市·高三其他模拟（理））设曲线在点处的切线与直线平行，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用导数求出曲线    在点处的切线的斜率，利用两直线平行可得出实数的值.

【详解】

对函数求导得，

由已知条件可得，所以，.

故选：B.

9．（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

利用导数的几何意义可知，可求得；根据为两曲线公共点可构造方程求得，代入可得结果.

【详解】

，，，，，

又为与公共点，，，解得：，

.

故选：D.

10．（2021·安徽省舒城中学高三三模（理））若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

设函数图象上切点为，求出函数的导函数，根据求出切点坐标与切线方程，设函数的图象上的切点为，根据，得到，再由，即可求出，从而得解；

【详解】

解：设函数图象上切点为，因为，所以，得， 所以，所以切线方程为，即，设函数的图象上的切点为，因为，所以，即，又，即，所以，即，解得或（舍），所以．

故选：A

11．（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟（理））函数图象上一点到直线的最短距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

设与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标为，利用导数的几何意义，求得切点坐标为，结合点到直线的距离公式，即可求解.

【详解】

设与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标为，

因为，则，所以，

则切点坐标为，最短距离为点到直线的距离，

即，即点到直线的最短距离为.

故选：C.

12．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数的图象在处的切线为，则与坐标轴围成的三角形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由函数解析式得且，，可求，进而求与坐标轴的交点坐标，即可求与坐标轴围成的三角形的面积.

【详解】

由题意，且，，得，，

∴的方程为，则与坐标轴的交点的坐标分别是(0,2)，，

∴故与坐标轴围成的三角形的面积．

故选：B.

13．（2021·广西南宁市·南宁三中高三二模（理））已知直线l是曲线在点处的切线，点是直线l上位于第一象限的一点，则的最小值为（    ）

A．4 B．9 C．25 D．16

【答案】B

【分析】

由导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程为，进而得出，由基本不等式可得结果.

【详解】

的导数为，

可得在点处的切线的斜率为，

切点为，切线的方程为，

即为，则，

所以，

当且仅当时，取得等号．

则的最小值为9

故选：B.

14．（2020·全国高考真题（理））函数的图像在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.

【详解】

，，，，

因此，所求切线的方程为，即.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题

15．（2019·全国高考真题（理））已知曲线在点处的切线方程为，则

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．

【详解】

详解：

，

将代入得，故选D．

【点睛】

本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．

16．（2021·全国高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

【分析】

先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．

【详解】

由题，当时，，故点在曲线上．

求导得：，所以．

故切线方程为．

故答案为：．

17．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.

【答案】4.

【分析】

将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离

【详解】

当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.

由，得，，

即切点，

则切点Q到直线的距离为，

故答案为．

【点睛】

本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.