考点01 不等式-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点01不等式

1．（2019·广东揭阳市·高三期中（理））已知集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

解一元二次不等式求集合B，再由集合的交运算求即可.

【详解】

由，

∴.

故选：C

2．（2021·江苏高一专题练习）已知，，若，则的最小值为（    ）

A．4 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】

利用基本不等式即可求解.

【详解】

因为，，，

所以，当且仅当时取等号，

则，即最小值为4.

故选：A.

3．（2019·福建高三期中（理））不等式的解集为（    ）

A． B．或

C． D．

【答案】A

【分析】

根据分式不等式的求解方法计算即可得出答案.

【详解】

原不等式等价于，选项A正确，选项BCD错误

故选：A.

4．（2021·浙江高二学业考试）已知正实数、满足，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用基本不等式可求得结果.

【详解】

由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立.

因此，的最小值是.

故选：B.

5．（2021·全国高一课时练习）设实数、满足，，则的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

利用不等式的基本性质可求得的取值范围.

【详解】

由已知得，，，故，

故选：B.

6．（2021·全国）设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为（    ）

A．－ B． C． D．－4

【答案】A

【分析】

利用基本不等式即可求解.

【详解】

解析因为a，b为正实数，且a＋b＝1，

所以＋＝×(a＋b)

＝＋≥＋2＝，

当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时等号成立，

因此有－－≤－，即－－的上确界为－．

故选：A

7．（2021·全国高一课时练习）若关于的不等式的解集为或，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

将分式不等式化简后根据解集即可得出答案.

【详解】

根据原不等式可以推出，

因为不等式的解集为或，

所以，是方程的两根，且，所以.

故选:A

8．（2020·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知三个实数2，，成等比数列（其中，），则的最小值为（    ）

A． B．11 C．10 D．

【答案】A

【分析】

巧用“1”，把目标式子转化为齐次式，进而利用均值不等式求最值即可.

【详解】

∵三个实数2，，成等比数列（其中，），

∴，即，

∴，

当且仅当时，等号成立，

∴的最小值为.

故选：A

9．（2021·江西丰城九中高一月考）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

关于的不等式在内有解，等价于在内，然后求出即可

【详解】

解：关于的不等式在内有解，等价于在内，

令，

因为抛物线的对称轴为，

所以当时，取最大值，

所以，

故选：B

10．（2020·江苏省灌南高级中学高二月考）已知函数在时取得最小值，则等于（    ）

A．6 B．8 C．16 D．36

【答案】D

【分析】

利用基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可

【详解】

因为，故，当且仅当，即时取等号，故

故选：D

【点睛】

均值不等式：

一正：，二定：为定值，三相等：当且仅当时等号成立

11．（2020·上海市松江一中高一期中）三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（    ）

A．如果，那么；

B．如果，那么；

C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立；

D．如果，，那么．

【答案】C

【分析】

设图中直角三角形的直角边长分别为，则斜边长为，进而可表示出阴影面积以及外围正方形的面积，由图可得结果.

【详解】

设图中全等的直角三角形的直角边长分别为，则斜边长为.

图中四个直角三角形的面积和为，外围正方形的面积为.

由图可知，四个直角三角形的面积之和不超过外围正方形的面积，所以，当且仅当时，等号成立.

故选：C.

12．（2021·江苏高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【分析】

由奇函数是定义在上的单调函数，，可得，即，所以，化简后利用基本不等式可求得结果

【详解】

解：因为，所以，

因为奇函数是定义在上的单调函数，

所以，

所以，即，

所以，即，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值是.

故选：B

13．（2021·浙江高考真题）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

画出满足条件的可行域，目标函数化为，求出过可行域点，且斜率为的直线在轴上截距的最大值即可.

【详解】

画出满足约束条件的可行域，

如下图所示：

目标函数化为，

由，解得，设，

当直线过点时，

取得最小值为.

故选：B.

14．（2021·浙江高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】

利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.

【详解】

法1：由基本不等式有，

同理，，

故，

故不可能均大于.

取，，，

则，

故三式中大于的个数的最大值为2，

故选：C.

法2：不妨设，则，

由排列不等式可得：

，

而，

故不可能均大于.

取，，，

则，

故三式中大于的个数的最大值为2，

故选：C.

【点睛】

思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.

15．（2020·天津高考真题）已知，且，则的最小值为_________．

【答案】4

【分析】

根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.

【详解】

，,

，当且仅当=4时取等号，

结合,解得，或时，等号成立.

故答案为：

【点睛】

本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.

16．（2020·全国高考真题（理））若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为______________.

【答案】1

【分析】

首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.

【详解】

绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：，

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，

联立直线方程：，可得点A的坐标为：，

据此可知目标函数的最大值为：.

故答案为：1．

【点睛】

求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.

17．（2020·江苏高考真题）已知，则的最小值是_______．

【答案】

【分析】

根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.

【详解】

∵

∴且

∴，当且仅当，即时取等号.

∴的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.