考点01椭圆-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点01椭圆

1．（2021·江苏南通·高三一模）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据题意设椭圆的标准方程为()，由面积为可得：，根据离心率再结合之间的关系即可得解.

【详解】

设椭圆的标准方程为()，焦距为，

则：解得

故选：D

2．（2021·贵溪市实验中学高三其他模拟）若1，，9三个数成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（    ）．

A．或 B．或2 C．或2 D．或10

【答案】C

【分析】

由题意先求出，或，然后分别将的值代入圆锥曲线方程中，求出的值，再利用离心率公式可得结果

【详解】

解：因为1，，9三个数成等比数列，

所以，解得或，

当时，圆锥曲线为表示椭圆，其中，则，

所以离心率，

当时，圆锥曲线为表示双曲线，其中，则，

所以离心率为，

综上圆锥曲线的离心率为或2，

故选：C

3．（2021·贵州高三其他模拟（理））已知椭圆的离心率为，则椭圆C的长轴长为（    ）

A． B．6 C． D．12

【答案】C

【分析】

利用椭圆的离心率列出关系式，求解即可得到椭圆长轴长．

【详解】

由题意可知：，解得，所以椭圆长轴长为：．

故选：．

4．（2021·赣州市南康区第三中学高三期中（理））已知椭圆 (a>b>0)的离心率为，则＝（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

由离心率结合即可求出.

【详解】

因为，所以8a2＝9b2，所以.

故选：D.

5．（2021·全国高二课时练习）若方程表示椭圆，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据椭圆标准方程的特点得到不等式组，解不等式组即可.

【详解】

因为方程表示椭圆，

所以有或.

故选：B

【点睛】

本题考查了已知方程表示椭圆求参数取值范围，考查了数学运算能力.

6．（2021·江苏省板浦高级中学高二期末）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，，且的周长为8．则的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据已知所给的面积公式，结合椭圆的定义进行求解即可.

【详解】

因为的周长为8，

所以，

由椭圆的定义可知：

所以，

由题意可得：，解得，

因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为．

故选：C

【点睛】

本题考查了椭圆定义的应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力.

7．（2021·全国高三专题练习（理））过椭圆的上顶点与右顶点的直线方程为，则椭圆的标准方程为

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

求出直线与坐标轴的交点坐标，得椭圆的，从而得椭圆方程．

【详解】

在直线方程中，

令x=0，得y=2，得到椭圆的上顶点坐标为（0,2），即b=2，

令y=0，得x=4，得到椭圆的右顶点坐标为（4,0），即a=4，

从而得到椭圆方程为：.

故选：A.

【点睛】

本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆的几何性质．属于基础题．

8．（2021·全国高二专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据椭圆的对称性可知，，设，由以及椭圆定义可得，，在中再根据余弦定理即可得到，从而可求出椭圆的离心率．

【详解】

由椭圆的对称性，得.设，则.由椭圆的定义，知，即，解得，故，.

在中，由余弦定理，得，即，则，故.

故选：B.

9．（2021·全国高二专题练习）椭圆的上､下顶点分别为，右顶点为A，右焦点为F，，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

求出椭圆的焦点坐标，顶点坐标，利用垂直关系列出方程，转化求解即可.

【详解】

解：椭圆的上､下顶点分别为，

右顶点为A(a，0)，右焦点为F(c，0)，，可得=﹣1，

=1，解得e=.

故选：C.

10．（2021·安徽安庆一中高三三模（理））已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以为直径的圆过点P，且，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据题意，在中，设，则，进而根据椭圆定义得，进而可得离心率.

【详解】

在中，

设，则，

又由椭圆定义可知

则离心率，

故选：B.

【点睛】

本题考查椭圆离心率的计算，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据已知条件，结合椭圆的定义，在焦点三角形中根据边角关系求解.

11．（2021·全国高考真题（理））设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．

【详解】

设，由，因为 ，，所以

，

因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；

当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．

故选：C．

【点睛】

本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．

12．（2017·全国高考真题（理））已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据已知可得，双曲线焦距，结合的关系，即可求出结论.

【详解】

因为双曲线的一条渐近线方程为，则.①

又因为椭圆与双曲线有公共焦点，

双曲线的焦距，即c＝3，则a2＋b2＝c2＝9.②

由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为.

故选：B.

【点睛】

本题考查椭圆、双曲线的标准方程以及双曲线的简单几何性质，属于基础题.

13．（2019·北京高考真题（理））已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则

A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b

【答案】B

【分析】

由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.

【详解】

椭圆的离心率,化简得,

故选B.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.

14．（2018·全国高考真题（理））已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.

详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,

由斜率为得，，

由正弦定理得,

所以，故选D.

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

15．（2019·全国高考真题（理））设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.

【答案】

【分析】

根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.

【详解】

由已知可得，

．∴．

设点的坐标为，则，

又，解得，

，解得（舍去），

的坐标为．

【点睛】

本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．