考点01 函数的概念及性质-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点01  函数的概念及性质

1．（2021·浙江高二期末）函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

由偶次根式的被开方式大于等于0，及分式的分母不等于0即可求解.

【详解】

解：由题意，，即，

所以，

所以函数的定义域为，

故选：A.

2．（2021·全国高三月考（理））已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由内向外，代入分段函数求值，先计算，再计算.

【详解】

由题意，，所以.

故选：A.

3．（2021·浙江高一期末）是定义在上的偶函数，且，则下列各式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据偶函数的性质，可得，即可得解.

【详解】

由是定义在上的偶函数，

所以，

由，则，

其它的不能确定，

故选：A

4．（2021·四川高三月考）已知函数，则（    ）

A．是单调递增函数 B．是奇函数

C．函数的最大值为 D．

【答案】C

【分析】

由函数的解析式判断函数的单调性，由其自变量区间知非奇非偶函数，进而可知其最大值及的大小关系.

【详解】

A：由解析式知：是单调递减函数，错误；

B：由，显然不关于原点对称，不是奇函数，错误；

C：由A知：在上，正确；

D：由A知：，错误.

故选：C.

5．（2020·全国高三其他模拟）已知是定义在R上的奇函数，且满足，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】B

【分析】

根据是R上的奇函数，且即可得出的周期为2，从而可求出，并且可得出，这样即可得出答案.

【详解】

解：∵是R上的奇函数，且，

∴，

∴，

∴的周期为2，

∴，

且，

∴.

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数的奇偶性周期性，题目中基本是奇偶性和对称性相结合推出函数的周期性，最后根据周期性求出对应的函数值，或者根据奇函数的性质求解，需要在备考过程中多总结.

6．（2020·全国高三其他模拟）已知函数，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

首先根据已知条件得到为偶函数，，利用偶函数和对数的性质将转化为，再解不等式即可.

【详解】

因为，

所以，即为偶函数，

当时，单调递增，且，

可得，即，

所以，即.

所以，解得.

故选：D.

7．（2021·北京高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数，又满足值域为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由函数的奇偶性和值域直接判断可排除A、B、D，对C，采用导数法，函数函数图象可判断正确

【详解】

对A，为奇函数，值域为，故A错；

对B、，函数为“对勾函数”因为，所以，故B错误；

对C，为奇函数，当时，因为，故在为增函数，时，函数值为0，当时，，，画出图形如图：

所以，故C正确；

对D，，函数为奇函数，值域为，故D错误；

故选：C

【点睛】

本题考查函数的奇偶性与值域的判断，属于基础题

①判断函数奇偶性除了定义法外，还可采用口诀进行判断：

奇函数=奇函数奇函数=奇函数 偶函数；

②对于常见函数类型，应熟记于心，比如反比例函数，对勾函数；

③对于复杂函数，研究值域时，可采用导数进行研究

8．（2021·云南民族大学附属中学高三月考（理））已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A．          B．     C．         D．

【答案】C

【分析】

由，设，求出导函数得出单调性，从而可得，即，得出大小，同理可得大小，得出答案.

【详解】

∵，

构造函数，，

令，则，

∴在上单减，

∴，

故，所以在上单减，

∴，

同理可得，故，

故选：C.

【点睛】

关键点睛：本题考查构造函数，利用导数得出函数单调性，利用单调性比较指数幂的大小，解答本题的关键是设设，得出在上单减，，从而可得，即，得出大小，同理可得大小，属于中档题.

9．（2021·全国高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．

【详解】

因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路一：从定义入手．

所以．

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数的周期．

所以．

故选：D．

【点睛】

在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．

10．（2021·全国高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.

【详解】

由题意可得，

对于A，不是奇函数；

对于B，是奇函数；

对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；

对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：B

【点睛】

本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.

11．（2021·浙江高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.

【详解】

对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；

对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C，，则，

当时，，与图象不符，排除C.

故选：D.

12．（2020·北京高考真题）已知函数，则不等式的解集是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

作出函数和的图象，观察图象可得结果.

【详解】

因为，所以等价于，

在同一直角坐标系中作出和的图象如图：

两函数图象的交点坐标为，

不等式的解为或.

所以不等式的解集为：.

故选：D.

【点睛】

本题考查了图象法解不等式，属于基础题.

13．（2020·海南高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.

【详解】

因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，，

所以当时，，当时，，

所以由可得：

或或

解得或，

所以满足的的取值范围是，

故选：D.

【点睛】

本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.

14．（2021·浙江高考真题）已知，函数若，则___________.

【答案】2

【分析】

由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.

【详解】

，故，

故答案为：2.

15．（2021·全国高考真题）已知函数是偶函数，则______.

【答案】1

【分析】

利用偶函数的定义可求参数的值.

【详解】

因为，故，

因为为偶函数，故，

时，整理得到，

故，

故答案为：1

16．（2020·全国高考真题（理））关于函数f（x）=有如下四个命题：

①f（x）的图象关于y轴对称．

②f（x）的图象关于原点对称．

③f（x）的图象关于直线x=对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是__________．

【答案】②③

【分析】

利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.

【详解】

对于命题①，，，则，

所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；

对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

，

所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；

对于命题③，，

，则，

所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；

对于命题④，当时，，则，

命题④错误.

故答案为：②③.

【点睛】

本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.