考点03 抛物线-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点03抛物线

1．（2021·北京高三开学考试）直线与抛物线：交于，两点，若，则，两点到抛物线的准线的距离之和为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】

直线与抛物线：联立，可得，，再利用两点之间的距离公式求得，再利用抛物线的性质即可得解.

【详解】

联立，整理得：，解得：

即直线与抛物线交于，两点，且

由，得，解得：或（舍）

所以抛物线方程为，准线方程为

故，两点到抛物线的准线的距离之和为，

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：解题的关键是熟悉抛物线的性质.

2．（2021·南涧彝族自治县民族中学高二期中（理））已知命题抛物线的焦点为；命题平面内两条不同直线的斜率相等是两条直线平行的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

判断出命题、的真假，利用复合命题的真假可判断各选项中命题的真假.

【详解】

抛物线的标准方程为，该抛物线的焦点坐标为，命题为假命题；

对于命题，充分性：平面内两条不同直线的斜率相等，则这两条直线平行，充分性成立，

必要性：若平面内两条不同直线平行，则这两条直线斜率相等或这两条直线的斜率都不存在，必要性不成立.

故平面内两条不同直线的斜率相等是两条直线平行的充分不必要条件，命题为真命题.

故为真，为假，为假，为假.

故选：A.

3．（2021·全国）若抛物线上一点到该抛物线的焦点的距离，则点到轴的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据抛物线的定义求得点的横坐标，进而求得点的纵坐标，从而求得点到轴的距离.

【详解】

根据题意可知抛物线的准线方程为，∵到该抛物线的焦点的距离为，

∴到准线的距离为，即，∴，代入抛物线方程求得，

∴点到轴的距离为.

故选：A

4．（2021·天津耀华中学高三开学考试）过抛物线：的焦点且垂直于轴的直线被双曲线：所截得线段长度为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据题意，代入，求得弦长即可求得，再由基本量的计算即可得解.

【详解】

抛物线：的焦点为，令，可得，

所以，，由，所以，所以.

故选：D

5．（2021·陕西高三其他模拟（理））抛物线上点到其准线l的距离为1，则a的值为（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【分析】

首先求出抛物线的准线方程，由题意得到方程，解得即可；

【详解】

解：抛物线即，可得准线方程，

抛物线上点到其准线l的距离为1，

可得：，解得.

故选：B.

6．（2021·四川成都·石室中学高二期中）已知是抛物线的焦点， 是该抛物线上的两点， 则线段的中点到轴的距离为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据抛物线的方程求出焦点和准线方程，利用抛物线的定义，列出方程，求出的中点横坐标，即可求出线段的中点到轴的距离．

【详解】

因为是抛物线的焦点，所以，准线方程，

设，

所以，所以，

所以线段的中点横坐标为，所以线段的中点到轴的距离为．

故选：C．

【点睛】

关键点点睛：解题的关键是利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离．

7．（2021·会泽县茚旺高级中学高二月考（理））设斜率为1的直线过抛物线的焦点，且和轴交于点，若（为坐标原点）的面积为2，则（    ）．

A．4 B．8 C． D．

【答案】D

【分析】

把抛物线方程化为标准方程，求出焦点坐标与直线的方程，进而可得点的坐标 ，再结合三角形面积公式即可求解

【详解】

由题意可知：

抛物线的焦点，直线的方程为，

将代入得，

∴，

∴，∴．

故选：D

8．（2021·江苏高三一模）过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段中点的横坐标为3，则等于（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】D

【分析】

根据抛物线方程得它的准线为，从而得到线段中点到准线的距离等于4．过、分别作、与垂直，垂足分别为、，根据梯形中位线定理算出，结合抛物线的定义即可算出的长．

【详解】

解：抛物线方程为，抛物线的焦点为，准线为

设线段的中点为，则到准线的距离为：，

过、分别作、与垂直，垂足分别为、，

根据梯形中位线定理，可得，

再由抛物线的定义知：，，

．

故选：D.

9．（2021·全国高二专题练习）到点的距离比到直线的距离小的动点的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

分析可知点的轨迹是抛物线，确定该抛物线的焦点坐标和准线方程，即可得出点的轨迹方程.

【详解】

由题意可知，动点到点的距离等于到直线的距离，

故点的轨迹为以点为焦点，以直线为准线的抛物线，其轨迹方程为.

故选：C.

10．（2021·全国高二专题练习）设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是（    ）

A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)

C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)

【答案】D

【分析】

抛物线的焦点到顶点的距离为3求得，又抛物线上的点到准线的距离的最小值为可得答案．

【详解】

∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，

∴，即，

又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，

∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为．

故选：D.

11．（2021·四川省蒲江县蒲江中学高二月考（理））已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若则k的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

画出图象，结合抛物线的定义求得的值.

【详解】

直线过，也即直线过抛物线的焦点，

画出图象如下图所示，

过作直线垂直于抛物线的准线，垂足为；过作直线垂直于抛物线的准线，垂足为，

过作，交于.

依题意，设，

则，，

所以直线的斜率.

故选：C

12．（2021·天津高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【分析】

设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.

【详解】

设双曲线与抛物线的公共焦点为，

则抛物线的准线为，

令，则，解得，所以,

又因为双曲线的渐近线方程为，所以，

所以，即，所以，

所以双曲线的离心率.

故选：A.

13．（2020·全国高考真题（理））已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ）

A．2 B．3 C．6 D．9

【答案】C

【分析】

利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.

【详解】

设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.

故选：C.

【点晴】

本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.

14．（2017·全国高考真题（理））已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为

A．16 B．14 C．12 D．10

【答案】A

【详解】

设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知

，当且仅当（或）时，取等号.

点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以

.

15．（2021·全国高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.

【答案】

【分析】

先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.

【详解】

抛物线： ()的焦点,

∵P为上一点，与轴垂直，

所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,

不妨设,

因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，

又，

因为，所以,

，

所以的准线方程为

故答案为：.

【点睛】

利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.

16．（2018·全国高考真题（理））已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．

【答案】2

【分析】

利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.

【详解】

详解：设

则所以所以

取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为

因为,

，

因为M’为AB中点，所以MM’平行于x轴

因为M(-1,1)所以，则即

故答案为2.

【点睛】

本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到，取AB中点, 分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率．