考点03 正弦、余弦定理-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点03正弦、余弦定理

一、单选题

1．（2021·安徽高一月考）在中，已知，则（    ）

A．3 B．2 C． D．

【答案】B

【分析】

直接由正弦定理即可得到答案

【详解】

由正弦定理，得．

故选：B

2．（2021·甘肃金昌市·高三二模（理））在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据条件，由正弦定理得，可令，再利用余弦定理求解.

【详解】

由正弦定理：

得

又因为，所以

令

所以

故选：D.

3．（2021·北京朝阳区·高三一模）在中，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得角的值.

【详解】

由可得，

由余弦定理可得，

，因此，.

故选：D.

4．（2020·河南高二其他模拟（理））已知在中，角，，的对边分别为，，，且满足，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据题中条件，由正弦定理，可直接得出结果.

【详解】

由得，

又，

由正弦定理可得，则.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题型.

5．（2020·汪清县汪清第六中学高三三模（理））设的内角所对的边分别为，且，已知的面积等于，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

先利用正弦定理化简，可得，然后利用三角形的面积为10，列方程可求出的值

【详解】

，

∴由正弦定理可得，

，，即，

，解得，或（舍去）

，的面积，∴解得.

故选：D

【点睛】

此题考查了正弦定理、同角三角函数的关系、三角形的面积公式等知识，属于基础题.

6．（2021·江苏盐城市·盐城中学高三一模）在平行四边形ABCD中，，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

在中，由余弦定理求得，再结合余弦定理，即可求得的值.

【详解】

如图所示，在平行四边形ABCD中，，

在中，由余弦定理可得

，即，

又由.

故选：A.

7．（2021·全国高三其他模拟）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则等于（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】D

【分析】

根据题意，结合余弦定理求解即可.

【详解】

由，得，即，

解得或（舍）．

故选D．

8．（2021·江苏扬州市·高三其他模拟）在中，，，，，则（    ）

A． B．86 C．7 D．

【答案】A

【分析】

根据条件得，再由余弦定理计算得，再利用向量数量积计算即可.

【详解】

因为,

由，，，结合余弦定理可得：

，

所以.

故选：A.

9．（2021·全国高三其他模拟（理））在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，且满足，则的取值范围是（    ）

A． B．（1，2） C． D．

【答案】C

【分析】

由正弦定理化简得到，求得，根据锐角三角形，列出不等式组求得，得出，再由，即可求解.

【详解】

因为，根据正弦定理得，

由，即，

又因为三角形为锐角三角形，可得，即，

所以，可得，可得，所以，

则，

所以.

故选：C．

10．（2021·全国高三其他模拟（理））在中，若满足，则该三角形的形状为（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【分析】

由题设条件和正弦定理化简得，得到，求得或，即可得到答案.

【详解】

由三角函数的诱导公式，可得，

又由正弦定理得，即，可得，

因为，所以或，

所以为等腰三角形或直角三角形.

故选：D.

11．（2021·陕西宝鸡市·高三一模（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，，的面积为，则b=（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由已知条件中的等差数列和三角形面积计算出，再运用余弦定理计算出的值，即可得到结果.

【详解】

，，成等差数列，，平方得，

又的面积为，且，故由，

得，，

由余弦定理得，

解得，又为边长，，

故选.

12．（2021·全国高三其他模拟（理））内角的对边分别为，若，且，则该三角形的面积为（    ）

A．1 B．4 C．3 D．

【答案】C

【分析】

先利用正弦定理将化为，然后利用余弦定理求出，从而可求出，进而可求出三角形的面积

【详解】

解：因为，

所以由正弦定理得，即，

所以，

因为，所以，

所以的面积为，

故选：C

13．（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（    ）

A．346 B．373 C．446 D．473

【答案】B

【分析】

通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．

【详解】

过作，过作，

故，

由题，易知为等腰直角三角形，所以．

所以．

因为，所以

在中，由正弦定理得：

，

而，

所以

所以．

故选：B．

【点睛】

本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为．

14．（2020·全国高考真题（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.

【详解】

在中，，，

根据余弦定理：

可得 ，即

由

故.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

15．（2019·全国高考真题（理））的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.

【答案】

【分析】

本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．

【详解】

由余弦定理得，所以，

即，解得（舍去），所以，

【点睛】

本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．

16．（2019·上海高考真题）在中，，且，则____________

【答案】

【分析】

根据正弦定理求出，再利用余弦定理求出.

【详解】

由正弦定理可知：，又

由余弦定理可知：

本题正确结果：

【点睛】

本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题.

17．（2021·全国高考真题（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．

【答案】

【分析】

由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.

【详解】

由题意，，

所以，

所以，解得（负值舍去）.

故答案为：.

18．（2020·全国高考真题（理））如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.

【答案】

【分析】

在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理计算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.

【详解】

，，，

由勾股定理得，

同理得，，

在中，，，，

由余弦定理得，

，

在中，，，，

由余弦定理得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.