考点03表面积与体积-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点03表面积与体积

1．（2021·北京人大附中高一期末）已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为，则此三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B．3 C．6 D．9

【答案】C

【分析】

正三棱锥的外接球即是棱长为的正方体的外接球，即得解.

【详解】

正三棱锥的外接球即是棱长为的正方体的外接球，

所以外接球的直径，

所以,

外接球的表面积，

故选：C

【点睛】

方法点睛：几何体的外接球的半径的求解，常用的方法有：（1）模型法；（2）观察法；（3）解三角形法.要根据已知条件灵活选择方法求解.

2．（2021·全国高三专题练习（理））某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用正六边形的性质求出正六棱柱的底边周长，再根据棱柱的体积：即可求解.

【详解】

如图：由正六边形的每个内角为，

按虚线处折成高为的正六棱柱，即，

所以

可得正六棱柱底边边长，

所以正六棱柱体积：.

故选：B

3．（2021·通辽新城第一中学高三其他模拟（理））一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由三视图得到几何体原图是一个圆柱即得解.

【详解】

由三视图可知几何体原图是一个底面半径为1高为3的圆柱，

所以几何体的表面积为.

故选：B

【点睛】

方法点睛：由三视图找几何体原图常用的方法有：（1）观察法；（2）模型法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.

4．（2021·福建龙岩·高三一模）若三棱锥的四个面都为直角三角形，且平面，，，则其外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为R，可得2R=PC=，

结合球的表面积计算公式即可.

【详解】

构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为R，

则2R=PC=，

所以外接球的表面积为：.

故选：B

5．（2021·山西阳泉·高三三模（理））在平面直角坐标系中，将不等式组表示的平面区域绕轴旋转一周所形成的几何体的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

如图所示三角形旋转一周，体积为大圆锥减去小圆锥体积.

【详解】

作出平面区域如图阴影部分，如图易知，面积为

故旋转一周体积为：

故选：B

6．（2021·全国高三其他模拟（理））在三棱锥中，已知平面，，，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

把三棱锥可以补成以为棱的正方体，得到可得正方体的外接球和三棱锥的外接球为同一个球，结合正方体的性质，求得外接球的半径，即可求解.

【详解】

在中，由，所以，所以,

由平面，则三棱锥可以补成以为棱的正方体，

可得正方体的外接球和三棱锥的外接球为同一个球，如图所示，

设该球的半径为，则，解得，

所以该球的表面积为.

故选：C.

7．（2021·全国高三其他模拟（理））香水是香料溶于乙醇中的制品，早在公元前1500年，埃及艳后克娄巴特拉七世就已经开始用15种不同气味的香水洗澡了.近年来，香水已经逐渐成为众多女士的日常用品.已知“香奈儿”的一款饱受热评的男士香水的包装瓶如图（1）所示，其三视图如图（2）所示，其中图（2）中方格小正方形的边长为1，则该香水瓶的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据三视图可得包装瓶由棱柱和圆柱组合而成，利用体积公式可求其体积.

【详解】

由三视图可得包装瓶的直观图如图所示：

故其体积为：，

故选：D.

8．（2021·江苏）阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

设球的半径为，可得出圆柱的底面半径与高，利用球体的表面积公式以及圆柱的表面积公式可得结果.

【详解】

设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，

则圆柱的表面积为，球的表面积为．

所以，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为．

故选：C．

9．（2021·安徽池州一中高三其他模拟（理））古希腊数学家欧几里德在其著作《几何原本》中定义了相似圆锥：两个圆锥的高与底面的直径之比相等时，则称这两个圆锥为相似圆锥.已知圆锥的底面圆的半径为3，其母线长为5.若圆锥与圆锥是相似圆锥，且其高为8，则圆锥的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据题意，求得圆锥的底面直径和高，根据圆锥与圆锥是相似圆锥，且其高为8，可得圆锥的底面直径，进而可得其母线长，代入侧面积公式，即可得答案.

【详解】

由题意得：圆锥的底面直径为6，高为，

所以高与底面直径之比为，

因为圆锥与圆锥是相似圆锥，且其高为8，

所以圆锥的底面直径为，则底面半径为6，

所以圆锥的母线长为，

所以圆锥的侧面积为.

故选：B

10．（2021·陕西高新一中高三二模（理））鼎被誉为中国历史上的传国重器，是青铜器文化的代表，是国家权力的象征，有着鼎盛千秋的寓意.年在河南安阳出土的后母戊鼎是一件形制巨大、工艺精巧、威武庄严的商后期青铜祭器，该器重，口长，口宽，连耳高，厚，某中学青铜文化研究小组的同学发现鼎的耳、身、足的高度之比约为．据此推算，后母戊鼎的器腹容积最贴近的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据题中信息求出鼎的器腹容积，即可得出合适的选项.

【详解】

由题意可知鼎的器腹容积约为，

与选项C最贴近，

故选：C．。

11．（2021·江苏高考真题）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再套公式求解.

【详解】

根据题意作图，

设圆锥的底面圆半径为，高为 ，母线长为 .

若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，

则有，.

该圆锥的底面积与侧面积比值为.

故选：C.

12．（2021·全国高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（    ）

A．26% B．34% C．42% D．50%

【答案】C

【分析】

由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.

【详解】

由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：

.

故选：C.

13．（2021·全国高考真题（理））已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积.

【详解】

，为等腰直角三角形，，

则外接圆的半径为，又球的半径为1，

设到平面的距离为，

则，

所以.

故选：A.

【点睛】

关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.

14．（2020·全国高考真题（理））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.

【详解】

设圆半径为，球的半径为，依题意，

得，为等边三角形，

由正弦定理可得，

，根据球的截面性质平面，

，

球的表面积.

故选：A

【点睛】

本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.

15．（2020·全国高考真题（理））已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【分析】

根据球的表面积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离.

【详解】

设球的半径为，则，解得：.

设外接圆半径为，边长为，

是面积为的等边三角形，

，解得：，，

球心到平面的距离.

故选：C.

【点睛】

本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.

16．（2020·江苏高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.

【答案】

【分析】

先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.

【详解】

正六棱柱体积为

圆柱体积为

所求几何体体积为

故答案为：

【点睛】

本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.