考点03 数列的通项公式与求和公式-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

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一、单选题
1．（2021·宁夏中卫市·高三其他模拟（理））设数列的前n项和为，若，则（ ）
A．243B．244C．245D．246
【答案】B
【分析】
先证明数列是一个以2为首项，以3为公比的等比数列，再求出，，即得解.
【详解】
由题得.
由题得，所以
所以数列是一个以2为首项，以3为公比的等比数列，
所以，
，所以.
故选：B
【点睛】
方法点睛：已知，求数列的通项，通常用项和公式求解.
2．（2021·甘肃高三二模（理））数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用求出，则可得，进一步可得.
【详解】
当时，，得，
当时，，
所以，即，又，
所以数列是首项为，公比的等比数列，
所以，，
所以.
故选：B
3．（2021·全国高二专题练习）设是数列的前项和，若，则（ ）．
A．4043B．4042C．4041D．2021
【答案】A
【分析】
法一：由可得；
法二：由数列公式，先求通项，再代入求出.
【详解】
法一：；
法二：，当时，，
当时，.
当时，也适合上式，，则.
故选：A.
【点睛】
（1）设是数列的前项和，是等差数列.
（2）已知求，应用公式时，一要注意不要忽略时的情况，二要注意时的成立条件.
4．（2021·全国高二课时练习）数列3，7，13，21，31，…的通项公式是（ ）
A．B．C．D．不存在
【答案】C
【分析】
利用累加法求得数列的通项公式.
【详解】
依题意可知，
所以
.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查累加法求数列的通项公式，属于基础题.
5．（2021·全国高二课时练习）已知数列、、、、，可猜想此数列的通项公式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
通过反例可排除ABC，分别在为奇数和为偶数时化简D中通项公式，可知其满足题意.
【详解】
对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，当为奇数时，，则；
当为偶数时，，则；D正确.
故选：D.
6．（2021·甘肃省民乐县第一中学高三三模（理））已知数列为等比数列，其前项和为，若，，则（ ）．
A．或32B．或64C．2或D．2或
【答案】B
【分析】
利用等比数列的性质由，可求得，再由可求出，从而可求出的值
【详解】
∵数列为等比数列，，解得，
设数列的公比为，，
解得或，
当，则，
当，则．
故选：B．
7．（2021·宁夏长庆高级中学高一期末）已知数列中，，求数列的前项和为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据题意化简得到，得到数列构成首项为，公比为的等比数列，求得，结合等比数列和等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】
由题意，数列中，，
可得，即，
且，所以数列构成首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
则数列的前项和
.
故选：C.
8．（2021·全国高三其他模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，若，则S99＝（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】
采用裂项相消法求数列的和
【详解】
因为，
所以
故选C.
9．（2021·新疆高三一模（理））在等差数列中，，，其前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
设的公差为，利用等差数列通项公式结合已知条件，列方程求基本量，进而写出通项公式，即可得前项和为，再根据裂项相消法求目标式的值即可.
【详解】
由题设，若的公差为，则，得，
∴，故，则，
∴.
故选：D
10．（2021·南宁市邕宁高级中学高二期末）数列，满足，，则的前10项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
求出，再利用裂项相消法求解即可.
【详解】
因为数列，满足，，
所以，
所以，的前10项和为：
，
故选：B.
11．（2021·甘肃省永昌县第一高级中学高一期末）等比数列中，，，数列，的前项和为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先求出，从而可得，然后利用裂项相消求和法可求出
【详解】
由题意得，所以，
所以.
故选：B
12．（2021·全国高二课时练习）在数列中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
对变形可得，所以为以为首项，公差为的等差数列，即可得解.
【详解】
在中，，
由可得，
所以为以为首项，公差为的等差数列，
所以，
所以，
故选：A.
13．（2021·浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．
【详解】
因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，
由累乘法可得，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
【点睛】
本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得．
14．（2020·浙江高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列 的前3项和是________．
【答案】
【分析】
根据通项公式可求出数列的前三项，即可求出．
【详解】
因为，所以．
即．
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．
15．（2020·江苏高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．
【答案】
【分析】
结合等差数列和等比数列前项和公式的特点，分别求得的公差和公比，由此求得.
【详解】
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.
等差数列的前项和公式为，
等比数列的前项和公式为，
依题意，即，
通过对比系数可知，故.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查等差数列和等比数列的前项和公式，属于中档题.
16．（2019·江苏高考真题）已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____.
【答案】16.
【分析】
由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.
【详解】
由题意可得：，
解得：，则.
【点睛】
等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建的方程组.
17．（2019·全国高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
【答案】4.
【分析】
根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.
【详解】
因，所以，即，
所以．
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．
18．（2019·全国高考真题（理））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．
【答案】.
【分析】
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】
设等比数列的公比为，由已知，所以又，
所以所以．
【点睛】
准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．