考点03 指数函数与对数函数-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点03  指数函数与对数函数

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据指数函数的单调性解不等式化简集合，进而可求.

【详解】

,

故，

故选：B.

2．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

利用指对数的性质，比较大小即可.

【详解】

由指对数的性质有：，

∴.

故选：C

3．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据函数的定义域列不等式组求解.

【详解】

由题意，，得，所以.

故选：A

4．已知，则（    ）

A．120 B．210 C．336 D．504

【答案】C

【分析】

首先变形条件等式，求得，再计算结果.

【详解】

，得，解得：，

所以.

故选：C

5．函数的图像大致为（    ）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】

由的解析式判断其奇偶性，并确定图象的渐近线，即可确定函数的大致图象.

【详解】

由知：为的一条渐近线，可排除A、B；

且定义域为，则为奇函数，可排除C.

故选：D.

6．如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】B

【分析】

利用指数函数的图象与性质即可得出结果.

【详解】

根据函数与关于对称，可知①④正确，

函数为单调递增函数，故③正确.

所以②不是已知函数图象.

故选：B

7．已知，则（    ）

A．1 B．2 C．0 D．

【答案】D

【分析】

根据，得到和，然后代入进行计算，得到答案.

【详解】

因为，

所以，

所以，，

.

故选：D.

【点睛】

本题考查对数的运算公式，指数与对数的互化，换底公式，属于简单题.

8．如果，那么

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

试题分析：，因为为减函数，则．故选D．

考点：1、对数函数的单调性．2、对数不等式

9．已知函数，若，则实数m的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先判断为上的奇函数且为单调增函数，从而可解函数不等式.

【详解】

由题设可得，故即函数的定义域为.

，故为上的奇函数.

令，则为上的增函数，

故为上的增函数，又也为上的增函数.

故为上的单调增函数.

因为，故，

所以，故.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的单调性和奇偶性以及函数不等式的求解，考虑函数性质时，注意利用简单函数的性质以及复合函数性质的讨论方法来解决，函数不等式的求解，关键是函数单调性和奇偶性的确定.

10．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的．设，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由已知条件，根据偶函数的性质得到在上单调递减，,

利用指数对数函数的性质比较，，的大小关系，注意先和0，1比较大小，，的大小比较要化为同底数的对数，在利用对数函数的单调性比较.

【详解】

∵函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的，∴在上单调递减，

,

,,

,

∴,

∴,

即,即,

故选B.

【点睛】

利用幂指对函数的性质比较实数或式子的大小，先要考虑分析数或式子的大致范围（常常与0，1比较），来进行比较大小，要借助0，1等常见数的“桥梁”作用．有时候还要考虑化为同底数的幂或者对数进行比较大小.

二、填空题

11．不等式的解集是_______．

【答案】

【分析】

由对数的运算法则，将不等式化简整理，即可求出结果.

【详解】

因为可化为,所以,即原不等式的解集为.

【点睛】

本题主要考查对数的运算法则和不等式解法，属于基础题型.

12．已知函数的定义域为，则实数的取值范围为_____．

【答案】

【分析】

根据对数的真数对于0，再结合不等式即可解决．

【详解】

函数的定义域为等价于对于任意的实数，恒成立

当时成立

当时，等价于

综上可得

【点睛】

本题主要考查了函数的定义域以及不等式恒成立的问题，函数的定义域常考的由

1、，2、，3、．属于基础题．

13．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【分析】

分和两种情况,结合函数且在上恒正,将问题转化为不等式恒成立问题,求出相应的满足条件的实数的取值范围,最后综合讨论的结果,可得实数的取值范围.

【详解】

若,
由函数在上恒正可得:在上恒成立,

即在上恒成立,且在上恒成立,

要使在上恒成立,则在上恒成立,所以，

令，则，在是单调递增，所以当时，取得最大值，所以；

要使在上恒成立,则在上恒成立,所以，

令，则，在是单调递增，所以当时，取得最小值，所以；

所以,
若,
由函数在上恒正可得，在上恒成立,

即在上恒成立,所以，

令，则，在是单调递增，所以当时，取得最大值，所以；
所以
综上可得：实数a的取值范围为:,
故填:

【点睛】

本题考查对数函数图象与性质,不等式的恒成立问题,属于难度题.在考虑不等式恒成立的题目时，常常可以进行参变分离，从而考虑参数与其函数的最值之间的关系即可.

14．函数，，则函数的最大值与最小值的和为__________.

【答案】

【分析】

将函数的解析式化为，然后换元，将问题转化为二次函数在区间上的最大值和最小值之和来处理，然后利用二次函数的基本性质可求解.

【详解】

，，令，

设，其中，

二次函数图象开口向上，对称轴为直线，

当时，函数取得最小值，即.

当或时，函数取得最大值，即.

因此，函数的最大值和最小值之和为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查对数型函数在定区间上的最大值和最小值之和，利用换元法将问题转化为二次函数的最值是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.

一、单选题

1．（2019·天津高考真题（理））已知，，，则的大小关系为

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

利用等中间值区分各个数值的大小．

【详解】

，

，

，故，

所以．

故选A．

【点睛】

本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．

2．（2019·全国高考真题）已知，则

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

运用中间量比较，运用中间量比较

【详解】

则．故选B．

【点睛】

本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．

3．（2019·全国高考真题（理））若a>b，则

A．ln(a−b)>0 B．3a<3b

C．a3−b3>0 D．│a│>│b│

【答案】C

【分析】

本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．

【详解】

取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．

【点睛】

本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．

4．（2019·北京高考真题（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．

【答案】A

【分析】

由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.

【详解】

两颗星的星等与亮度满足,令,

.

故选A.

【点睛】

本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.

5．（2020·天津高考真题）设，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.

【详解】

因为，，，

所以.

故选：D.

【点睛】

本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.

比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：

（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；

（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；

（3）借助于中间值，例如：0或1等.

6．（2020·全国高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ）

A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b

【答案】A

【分析】

由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.

【详解】

由题意可知、、，，；

由，得，由，得，，可得；

由，得，由，得，，可得.

综上所述，.

故选：A.

【点睛】

本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.

7．（2020·全国高考真题（理））设函数，则f(x)（    ）

A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减

【答案】D

【分析】

根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.

【详解】

由得定义域为，关于坐标原点对称，

又，

为定义域上的奇函数，可排除AC；

当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，排除B；

当时，，

在上单调递减，在定义域内单调递增，

根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.

8．（2020·全国高考真题（理））若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.

【详解】

由得：，

令，

为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，

，

，，，则A正确，B错误；

与的大小不确定，故CD无法确定.

故选：A.

【点睛】

本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.

9．（2021·全国高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.

【详解】

，即.

故选：C.

10．（2021·全国高考真题（理））设，，．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.

【详解】

,

所以;

下面比较与的大小关系.

记,则,，

由于

所以当0<x<2时，,即,,

所以在上单调递增，

所以,即,即;

令,则,,

由于，在x>0时,,

所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c;

综上，,

故选：B.

【点睛】

本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.

11．（2020·北京高考真题）函数的定义域是____________．

【答案】

【分析】

根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.

【详解】

由题意得，

故答案为：

【点睛】

本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.