2017年西安市蓝田县中考一模数学试卷

这是一份2017年西安市蓝田县中考一模数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −27 的立方根是
A. 3B. −3C. 9D. −9

2. 将如图绕 AB 边旋转一周，所得几何体的俯视图为
A. B.
C. D.

3. 下列运算正确的是
A. −2a2b3=8a5b3B. a2−3a2=−2a2
C. a⋅−a2=a3D. a8÷a4=a2

4. 如图，已知 a∥b，∠1=55∘，∠2=90∘，则 ∠3 的度数为
A. 35∘B. 55∘C. 125∘D. 145∘

5. 已知正比例函数 y=−13x 图象上的两点 x1,y1，x2,y2，若 x1A. y1y2D. y1≥y2

6. 关于 x 的不等式组 x−m>0,2x−3≥3x−2 恰有四个整数解，那么 m 的取值范围为
A. m≥−1B. m<0C. −1≤m<0D. −1
7. 如图，已知在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 上一点，将 △ABE 沿 BE 翻折，点 A 正好落在 CD 边上的点 F 处，若 △DEF 的周长为 10 cm，△BCF 的周长为 24 cm，则 CF 的长为
A. 6 cmB. 7 cmC. 10 cmD. 12 cm

8. 已知直线 y−kx+k=0 与直线 ky+x−2k=0 的交点在 y 轴上，则 k 的值为
A. −2B. 2C. −1D. 1

9. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，AD 是 ⊙O 的直径，连接 CD，若 ⊙O 的半径 r=5，AC=53，则 ∠B 的度数是
A. 30∘B. 45∘C. 50∘D. 60∘

10. 二次函数 y=−x2+mx 的图象如图，对称轴为直线 x=2，若关于 x 的一元二次方程 −x2+mx−t=0（t 为实数）在 1A. t>−5B. −5
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 分解因式：a2b−ab2= ．

12. 已知一个正六边形的边心距为 3，则它的边长为 ．

13. 如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度 BC=10 m，中柱 AD（D 为 BC 中点）的长是 3.6 m，则 ∠BAC= ∘（用科学计算器计算，结果精确到 1∘）．

14. 已知正比例函数 y=kxk≠0 的图象与反比例函数 y=2x 的图象的交点为 A，B，若 A 点坐标为 2,1，则 B 点的坐标为 ．

15. 如图，已知正方形 ABCD 与正方形 AEFG 的边长分别为 4 cm，1 cm，若将正方形 AEFG 绕点 A 旋转，则在旋转过程中，点 C，F 之间的最小距离为 cm．

三、解答题（共11小题；共143分）
16. 计算：−13−2+∣3−2∣−2tan60∘+27．

17. 解分式方程：x−1x+3+3x−2=1．

18. 如图，某校准备在校内一块四边形 ABCD 草坪内栽上一颗银杏树，要求银杏树的位置点 P 到边 AB，BC 的距离相等，并且点 P 到点 A，D 的距离也相等，请用尺规作图作出银杏树的位置点 P（不写作法，保留作图痕迹）．

19. 某校九年级一次模拟考试后，数学老师为了了解学生的学习情况，在全校 1000 名九年级学生中，随机抽取了 50 名学生的数学成绩进行统计分析，并绘制了如下统计表和统计图（部分信息未给全）．根据上面的统计图表，回答下列问题：
成绩/分111∼120101∼11091∼10090 及 90 以下 等级ABCD学生人数m20n8
（1）补全条形统计图，并求出扇形统计图中，表示成绩为 B 等级的扇形所对的圆心角的度数；
（2）被调查学生在这次模拟考试中，数学成绩的中位数落在 等级；
（3）请估计该校九年级学生在这次模拟考试中，数学成绩在 B 等级以上（含 B 等级）的学生可达多少名?

20. 如图，在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AD 是斜边上的中线，E 是 AD 的中点，过点 A 作 AF∥BC 交 BE 的延长线于点 F，连接 CF．
（1）求证：BD=AF；
（2）判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论．

21. 小华周末去汉唐书城买书，发现书城所在的大楼的楼顶有一面大约 3 m 高的旗帜（如图所示），于是他想利用所学知识测量下书城所在大楼的高度，小华在楼前空地上的点 D 处，用 1.3 米高的测角仪 CD 从点 C 测得旗帜的底部 B 的仰角为 35∘，然后向大楼正方向走了 5 米到达点 F 处，又从点 E 测得旗帜的顶部 A 的仰角为 45∘．已知点 A，B，M 在同一直线上，CD⊥DM，EF⊥DM，请根据以上数据，求这座大楼的高度 BM（参考数据：sin35∘≈0.57，cs35∘≈0.82，tan35∘≈0.70．结果精确到 0.1 m）．

22. 已知某企业生产的产品每件出厂价为 70 元，其成本价为 25 元，同时在生产过程中，平均每生产一件产品有 1 m3 的污水排出，为达到排污标准，现有以下两种处理污水的方案可供选择．
方案一：将污水先净化处理后再排出，每处理 1 m3 污水的费用为 3 元，并且每月排污设备损耗为 24000 元．
方案二：将污水排到污水厂统一处理，每处理 1 m3 污水的费用为 15 元，设该企业每月生产 x 件产品，每月利润为 y 元．
（1）分别写出该企业依据方案一和方案二处理污水时，y 与 x 的函数关系式；
（2）已知该企业每月生产 1000 件产品，如果你是该企业的负责人，那么在考虑企业的生产实际前提下，选择哪一种污水处理方案更划算?

23. 《阅读者》是一档由中央推出，旨在实现用文化感染人、鼓舞人、教育人的大型朗读类真人秀节目，一经播出，便掀起了全民阅读热潮，为培养广大青少年的阅读意识，蓝田某中学举办“阅读人生”朗读比赛，九（三）班通过内部初选，选出了小丽和小铭两位同学，但由于每个班级的参赛名额有限，现决定通过如图所示被等分的转盘游戏来决定由谁代表全班参赛．规则如下，小丽和小铭分别同时转动转盘甲、乙，转盘停止后，指针所指区域内数字之和小于 10，小丽获胜，指针所指区域内的数字之和等于 10，为平局，指针所指区域内的数字之和大于 10，小铭获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．
（1）求玩一轮上述游戏，小丽获胜的概率；
（2）该游戏规则对小丽和小铭双方公平吗?为什么?

24. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，E 为 ⊙O 上一点，∠EAB 的平分线 AC 交 ⊙O 于 C 点，过 C 点作 CD⊥AE 交 AE 的延长线于 D 点，直线 CD 与射线 AB 交于 P 点．
（1）求证：DC 为 ⊙O 切线；
（2）若 DC=1，AC=5，求 ⊙O 的半径长．

25. 如图，抛物线 C1：y=−x2−2x+3 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于 M 点，将抛物线 C1 向右平移 2 个单位后得到抛物线 C2，与 x 轴交于 C，D 两点．
（1）求抛物线 C2 对应的函数表达式；
（2）抛物线 C1 或 C2 在 x 轴上方的部分是否存在点 N，使以 A，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点 N 的坐标，若不存在，请说明理由．

26. （1）问题探究：
（1）如图 1，请在半径为 R 的半圆 O 内（含弧和直径 MN），画出面积最大的三角形，并求出这个三角形的面积；
（2）如图 2，请在半径为 R 的 ⊙O 内（含弧），画出面积最大的矩形 ABCD，并求出这个矩形的面积；
（2）问题解决：
如图 3，△ABC 是一块商业用地，其中 AB=20，BC=30，∠ABC=120∘，某开发商现准备再征一块地，把 △ABC 扩充为四边形 ABCD，使 ∠D=30∘，是否存在面积最大的四边形 ABCD?若存在，求出四边形 ABCD 的最大面积；若不存在，请说明理由．（结果保留根号）
答案
第一部分
1. B
2. B
3. B
4. D
5. C
6. C【解析】解不等式组得 m7. B
8. A
9. D
10. D
第二部分
11. aba−b
12. 2
13. 108
14. −2,−1
15. 32
第三部分
16. 原式=9+2−3−23+33=11.
17. 去分母得：
x2−3x+2+3x+9=x2+x−6.
解得：
x=17.
经检验 x=17 是分式方程的解．
18. 如图所示：P 点即为所求．
19. （1） 由题意和统计图中的数据可得，
等级为 A 的学生有：50×20%=10（名），
等级为 C 的学生有：50×24%=12（名），
补全的条形统计图如图所示，
扇形统计图中，表示成绩为 B 等级的扇形所对的圆心角的度数是：360∘×2050=144∘．
（2） B
【解析】由图可得，被调查学生在这次模拟考试中，数学成绩的中位数落在 B 等级．
（3） 由题意可得，数学成绩在 B 等级以上（含 B 等级）的学生可达：1000×3050=600（名），即数学成绩在 B 等级以上（含 B 等级）的学生可达 600 名．
20. （1） ∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E 是 AD 的中点，AD 是 BC 边上的中线，
∴ AE=DE，BD=CD，
在 △AFE 和 △DBE 中，
∠AFE=∠DBE,∠FEA=∠BED,AE=DE,
∴△AFE≌△DBEAAS，
∴BD=AF；
（2） 四边形 ADCF 是菱形；理由如下：
由（1）知，AF=DB．
∵DB=DC，
∴AF=CD，
∵AF∥BC，
∴ 四边形 ADCF 是平行四边形，
∵∠BAC=90∘，D 是 BC 的中点，
∴ AD=DC=12BC，
∴ 四边形 ADCF 是菱形．
21. 过点 C 作 CN⊥AM 于点 N，
则点 C，E，N 在同一直线上，
设 BN=x 米，则 AN=x+3（米），
在 Rt△AEN 中，∠AEN=45∘，
所以 EN=AN=x+3（米），
所以 CN=CE+EN=5+x+3=x+8（米），
在 Rt△BCN 中，∠BCN=35∘，
所以 tan∠BCN=BNCN，
则 xx+8=tan35∘，
解得 x≈18.7，
所以 BM=BN+NM=18.7+1.3=20.0（米）．
故这座大楼的高度 BM 大约是 20.0 米．
22. （1） ∵ 工厂每月生产 x 件产品，每月利润为 y 元，由题意得：
选择方案一时，月利润为 y1=70−25x−3x+24000=42x−24000，
选择方案二时，月利润为 y2=70−25x−15x=30x．
（2） 当 x=1000 时，y1=42x−24000=18000，y2=30x=30000，
∵ y1 ∴ 选择方案一更划算．
23. （1） 画树状图如下：
可见，共有 12 种等可能的情况，其中和小于 10 的有 6 种；
∴ 小丽获胜的概率为 612=12．
（2） 该游戏规则不公平．
由（1）可知，共有 12 种等可能的情况，其和大于 10 的情况有 3 种，
∴ 小铭获胜的概率为 312=14，显然 14<12，故该游戏规则不公平．
24. （1） 连接 OC，如图 1
∵AC 是 ∠EAB 的平分线，
∴∠DAC=∠OAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴∠OCP=∠D=90∘，
∴DC 为 ⊙O 切线；
（2） 连接 BC，如图 2，
∵∠D=90∘，DC=1，AC=5，
∴AD=AC2−CD2=2，
∵∠OAC=∠OCA，∠ACB=∠D，
∴△ADC∽△ACB，
∴ADAC=ACAB，即 AC2=AD⋅AB，
则 AB=AC2AD=52，
∴⊙O 的半径长为 54．
25. （1） 当 y=0 时，−x2−2x+3=0，
解得 x1=−3，x2=1，
∴ A−3,0，B1,0，
∵ 将抛物线 C1 向右平移 2 个单位后得到抛物线 C2，
∴ C−1,0，D3,0，
∴ 抛物线 C2 对应的函数表达式 y=−x+1x−3，
即 y=−x2+2x+3；
（2） 存在，
如图，
①对抛物线 C1，令 x=0，得 y=3，
∴ M0,3，
∵ 抛物线 C2 是 C1 向右平移 2 个单位得到的，
∴ 点 N2,3 在 C2 上，且 MN=2，MN∥AC．
∵ AC=2，
∴ MN=AC．
∴ 四边形 ACNM 为平行四边形，
②对抛物线 C2，令 x=0，得 y=3，
∴ M0,3，
∵ 抛物线 C1 向右平移 2 个单位得到 C2，
∴ 点 Nʹ−2,3 在 C1 上，且 MNʹ=2，MNʹ∥AC．
∵ AC=2，
∴ MNʹ=AC，
∴ 四边形 ACMNʹ 为平行四边形，
综上所述，存在点 N2,3 或 −2,3，使得以 A，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形．
26. （1） （1）如图 1，过 O 作 KO⊥MN，交 ⊙O 于点 K，连接 KM，KN，则 △KMN 即为所求，
S△KMN=12MN⋅OK=12⋅2R⋅R=R2；
（2）如图 2，过 O 作 ⊙O 的任一直径 HG，再过点 O 作 PQ⊥HG，交 ⊙O 于点 P，Q，连接 HP，PG，HQ，GQ，则矩形 HPGQ 即为所求，
∴ S矩形HPGQ=S△HPG+S△HGQ=12⋅2R⋅R+12⋅2R⋅R=2R2．
（2） 存在面积最大的四边形 ABCD，理由如下：
如图 3，过点 A 作 AE⊥BC，交 CB 的延长线于点 E，
∵ ∠ABC=120∘，
∴ ∠ABE=180∘−120∘=60∘，
∵ AB=20，sin60∘=AEAB，
∴ AE=AB⋅sin60∘=20×32=103，EB=10，
∴ S△ABC=12BC⋅AE=12×30×103=1503，
∵ EC=EB+BC=10+30=40，
∴ AC=1032+402=1019，
在 △ACD 中，AC 是定值，∠D=30∘ 是定值，
故如图 3，A，C，D 三点在同一圆 O 上（作 AC，CD 的中垂线，交点即为圆心 O），
∵ AC 的长度不变，
∴ 当 D 点与 AC 的距离最大时，△ADC 的面积最大，
设 AC 的中垂线交 ⊙O 于点 Dʹ，交 AC 于点 F，
则 DʹF 即为 D 点与 AC 的最大距离，
∵ ∠ADʹC=∠D=30∘，
连接 OA，OC，则 ∠AOC=2∠ADʹC=60∘，
∴ △AOC 是等边三角形，
∴ ∠OAC=60∘，OA=AC=1019，AF=FC=519，
∴ ODʹ=OA=1019，
在 Rt△AFO 中，tan∠OAF=tan60∘=OFAF，
∴ OF=3×519=557，
∴ DʹF=OF+ODʹ=557+1019，
∴ S△ADʹC=12AC⋅DʹF=12×1019×557+1019=950+4753，
∴ S四边形ABCD=S△ABC+S△ADʹC=1503+950+4753=950+6253，
则四边形 ABCD 的最大面积是 950+6253．