2023年陕西省西安市蓝田县、莲湖区中考数学二模试卷（含解析）

2023年陕西省西安市蓝田县、莲湖区中考数学二模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，把一块三角板的直角顶点放在直线上，，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在下列条件中，能判定平行四边形为菱形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在中，，，，点为的中点，于点，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于，的方程组的解为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，内接于，是的直径，若，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知二次函数为常数，且的图象上有三点，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  比较大小： ______ 填“”“”或“”．

10.  一个正多边形的一个内角是它的外角的倍，则 ______ ．

11.  在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示的是一位古人记录的当天捕鱼的条数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，这位古人当天捕鱼的条数是______ ．

12.  如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，与反比例函数的图象在第二象限交于点，若，则的值为______ ．

13.  如图，矩形中，，，点是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
解不等式组：．

16.  本小题分
解分式方程：．

17.  本小题分
如图，在中，，，在边上求作一点，使得要求：不写作法，保留作图痕迹

18.  本小题分
如图，，，求证：≌．

19.  本小题分
袁隆平，“共和国勋章”获得者，中国科学院院士，“中国杂交水稻之父”，一生致力于对水稻的研究，现有、两块试验田各亩，块试验田种植普通水稻，块试验田种植杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的倍，两块试验田单次共收获水稻千克，求杂交水稻的亩产量是多少千克？

20.  本小题分
古城西安历史文化悠久，旅游资源丰富，共有十六个朝代在这里建都，这也使西安成为世界著名的文化旅游城市寒假期间，小欣邀请她的好友小颖来西安游玩，她为好友推荐了四个游览地，分别是：大雁塔，钟楼，陕西省历史博物馆，西安城墙，小欣将、、、这四个字母分别写在张完全相同的不透明卡片的正面上，把这张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上小颖先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小欣从中随机抽取一张卡片．
小颖抽到卡片的概率是______ ；
请用列表法或画树状图法求小欣和小颖两人抽取到同一个景点的概率．

21.  本小题分
如图，小明想测量建筑物的高度，已知斜坡米，斜坡的坡度为，建筑物底端和斜坡的底端在同一水平线上，小明从坡顶处沿水平方向前行若干米后至点处，在点处用仪器测得该建筑物的顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为，点、、、、在同一平面内，你能帮小明计算出建筑物的高度吗？结果保留根号

22.  本小题分
甲、乙两个商场出售相同品牌的运动衣，每件售价均为元，并且多买都有一定的优惠甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠某学校运动队需要购买运动衣件，甲商场收费元乙商场收费元
分别求出、与之间的关系式；
当购买件运动衣时，应选择哪个商场购买更优惠？请说明理由．

23.  本小题分
为进一步推进“双减”政策，提升学校课后服务水平，某校增设以下拓展课程丰富学生的课余生活分别有编程，厨艺，园艺，礼仪，学校就“我最喜欢的拓展课程”从以上、、、四个类别进行了抽样调查每位同学只选一类，并将调查情况制成了条形统计图和扇形统计图请根据图中信息，回答下列问题：

共调查了______ 名学生；选项所对应的圆心角度数为______ ；请补全条形统计图；
请你估计该校名学生中，有多少名学生喜欢厨艺拓展课程．

24.  本小题分
如图，是的直径，点是半圆的中点，点是上一点，连接交于，点是延长线上一点，且．
求证：是的切线；
连接、、，若，，求的半径．

25.  本小题分
有一张轴对称纸片，曲线部分为抛物线，如图，以抛物线对称轴所在直线为轴建立平面直角坐标系，其中点，在轴上，点在轴上，且．

求该抛物线的函数关系式；
在纸片中裁剪出一个正方形，如图，其中点，在该抛物线上，点，在轴上求点的坐标．

26.  本小题分
现有一个三角形广场，如图所示，经测量，的长度为米，点到线段的距离为米，，均为锐角点为边上的一动点点不与点，重合，点为边上一动点点不与点，重合，且．
当的长为米时，的面积为______ 平方米；
设点关于的对称点为，与四边形的重叠部分的面积记为平方米，现准备在该重叠部分内种花请问重叠部分的面积是否存在最大值？若存在，请求出的最大值及此时的长；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查的是倒数的定义，乘积是的两数互为倒数．
根据倒数的定义解答即可．
【解答】
解：的倒数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故选：．
先根据平行线的性质求出的度数，再根据平角的定义即可得出结论．
此题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】
解：：，故A不符合题意；
：，故B不符合题意；
：，故C符合题意；
：，故D不符合题意．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：、，
，
平行四边形为矩形，故选项A不符合题意；
B、，
平行四边形为矩形，故选项B不符合题意；
C、，
平行四边形为菱形，故选项C符合题意；
D、由，不能判定平行四边形为菱形，故选项D不符合题意；
故选：．
由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
此题考查了菱形的判定、平行四边形的性质以及矩形的判定．熟记菱形的判定是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，点为的中点，
，
，
，
是等边三角形，
于点，
．
故选：．
由直角三角形的性质，得到，由等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，因此是等边三角形，由等腰三角形的性质即可求出的长．
本题考查含角的直角三角形，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：把代入得，
点坐标为，
直线与相交于点，
关于，的方程组的解．
故选：．
先利用直线确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．
本题考查了一次函数与二元一次方程：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，

是的直径，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据同弧所对的圆周角相等可得，即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：二次函数为常数，且，
开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，
当与的函数值相同，
即抛物线经过，
，
．
故选：．
先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的对称性和增减性解答即可．
本题主要考查了抛物线上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据算术平方根的性质解决此题．
本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较的方法是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设这个正边形的一个外角为，则其内角为，
此正边形的一个内角是它的外角的倍，
，
解得：，
它的外角为：，
．
故答案为：．
首先设这个正边形的一个外角为，则其内角为，由一个正边形的一个内角是它的外角的倍，即可得方程，解此方程求出它的外角的度数，继而求得答案．
本题考查了多边形的内角与外角的性质．注意方程思想的应用是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据“满五进一”得：
．
故答案为：．
根据满五进一，仿照十进制求解．
本题主要考查了进位制，解题的关键是会将五进制转化成十进制．
 

12.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点．

直线与轴，轴分别交于点，，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
点在的图象上，
，
故答案为：．
过点作轴于点求出点的坐标，可得结论．
本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用三角形中位线定理解决问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图：作交于，
作关于的对称点，连接，
在矩形中，有，
四边形为平行四边形，
，

则，
，
即：的最小值为：．
先根据轴对称找出最短路径，再根据勾股定理求解．
本题考查了最短路径问题，理解转化思想是解题的关键．
 

14.【答案】解：

． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

15.【答案】解：，
解不等式得：，
，
，
解不等式得：，
，
，
，
，
原不等式组的解集为：． 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
，
解得：
检验：当时，，
是原方程的根． 

【解析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
 

17.【答案】解：如图：点即为所求．
 

【解析】作的垂直平分线与的交点即为所求．
本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌． 

【解析】由，得到，由即可证明≌．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
 

19.【答案】解：设普通水稻的亩产量是千克，则杂交水稻的亩产量是千克，
根据题意得：，
即，
解得：，
．
答：杂交水稻的亩产量是千克． 

【解析】设普通水稻的亩产量是千克，则杂交水稻的亩产量是千克，根据两块试验田单次共收获水稻千克，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：小颖抽到卡片的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小欣和小颖两人抽取到同一景点的结果有种，
小欣和小颖两人抽取到同一个景点．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小欣和小颖两人抽取到同一景点的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：过点作于点，延长交于点，

由题意得：，
四边形为矩形，
，
斜坡的坡度为，
，
设米，米
在中，米，
米，
，
，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，

答：建筑物的高度为． 

【解析】过点作于点，延长交于点，根据题意可得：，从而可得四边形为矩形，进而可得，然后根据已知斜坡的坡度为，设米，米，在中，利用勾股定理进行计算可求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：，
．
当时，；．
，
当购买件运动衣时，应选乙商场更优惠． 

【解析】根据两家商场的优惠方案分别列式整理即可；
根据函数解析式分别求出时的函数值，即可得解．
本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家商场的优惠方案是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：由题意得，样本容量为：，
故B的人数为：，
的人数为：，
补全条形统计图如下：

选项所对应的圆心角度数为：；
故答案为：；；
名，
答：大约有名学生喜欢厨艺拓展课程．
用等级的人数除以占比得出总人数，用样本容量乘可得的人数，进而得出的人数，并补充统计图；用乘所占比例可得选项所对应的圆心角度数；
用样本估计总体，用乘以的人数的占比即可求解．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

24.【答案】证明：连接，，如图，
点是半圆的中点，
，
．
，
．
，
，
．
，
，
，
即，
．
为的半径，
是的切线；
解：，，
，
是的直径，
，
，
．
，，
∽，
，
，
．
设的半径为，则，
，
，
解得：．
的半径为． 

【解析】连接，，利用圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和等量代换求得，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
利用圆周角定理得到，则，利用直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质得到的长，设的半径为，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆的切线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，弦切角定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 

25.【答案】解：由题意得，，，
设抛物线的表达式为，
将代入得：
，
解得，
，
抛物线的函数关系式；
设正方形的边长为，则，
点在抛物线上，
，
解得或，
，
，
 

【解析】设抛物线的表达式为，用待定系数法可得答案；
设正方形的边长为，则，代入可解得或，又，故F
本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，正方形性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
 

26.【答案】 

【解析】解：不妨设点到线段，的距离分别为，，
，
∽，
，
，
解得，
，
故答案为：；
存在．由题意得，
设的长度为米，
，
，，
∽，
，即，
，
分两种情况讨论：
当点落在四边形内或边上时，
如右图，此时，

所以当时，的最大值为；
当落在四边形外时，，
如图，连接，与交于点，与交于点，

连接，与交于点，连接，与交于点，
，
即，
，
，
，
，
即，
，
，
当时，最大，最大值为．
综上所述，当时，最大，最大值为．
不妨设点到线段的距离分别为，，根据，得到，求出，即可求解；
由题意得，设的长度为米，证明出∽，得到，再进行分类讨论当点落在四边形内或边上时，；当落在四边形外时，．
本题考查了三角形的相似，二次函数的应用，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解．