2017年西安市碑林区西北工大附中中考三模数学试卷

这是一份2017年西安市碑林区西北工大附中中考三模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共9小题；共45分）
1. −12 的绝对值等于
A. −2B. 2C. −12D. 12

2. 如图所示的几何体的俯视图是
A. B.
C. D.

3. 下列计算正确的是
A. a2⋅a3=a6B. a6÷a3=a2
C. −2a23=−8a6D. 4x3−3x2=1

4. 将一副三角板如图放置，使点 A 在 DE 上，BC∥DE，∠C=45∘，∠D=30∘，则 ∠ABD 的度数为
A. 10∘B. 15∘C. 20∘D. 25∘

5. 正比例函数 y=2k+1x，若 y 的值随 x 值增大而增大，则 k 的取值范围是
A. k>−12B. k<−12C. k=−12D. k=0

6. 如图，DE 是 △ABC 的中位线，点 F 在 DE 上，且 ∠AFC=90∘，若 AC=10，BC=16，则 DF 的长为
A. 5B. 3C. 8D. 10

7. 一次函数 y=43x+bb>0 与 y=43x−1 图象之间的距离等于 3，则 b 的值为
A. 2B. 3C. 4D. 6

8. 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，DE 平分 ∠ODA 交 OA 于点 E，若 AB=4，则线段 OE 的长为
A. 432B. 4−22C. 2D. 2−2

9. 如图，⊙O 的半径 OD⊥弦AB 于点 C，连接 BO 并延长交 ⊙O 于点 E，连接 CE，若 AB=4，CD=1，则 CE 的长为
A. 13B. 4C. 10D. 15

二、填空题（共5小题；共25分）
10. 分解因式：a2b+2ab2+b3= ．

11. 若正多边形的一个外角是 45∘，则该正多边形的边数是 ．

12. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A=42∘，BC=36，则 AC 的长为 ．（用科学计算器计算，结果精确到 0.01）

13. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，点 B 在 x 轴上，且 B−12,0，A 点的横坐标是 1，AB=3BC，双曲线 y=4mxm>0 经过 A 点，双曲线 y=−2mx 经过 C 点，则 m 的值为 ．

14. 如图，△APB 中，AB=22，∠APB=90∘，在 AB 的同侧作正 △ABD 、正 △APE 和正 △BPC，则四边形 PCDE 面积的最大值是 ．

三、解答题（共11小题；共143分）
15. 计算：12+π−20150+12−1−6tan30∘．

16. 解方程 x+1x−1+41−x2=1 .

17. 如图，点 P 是 ⊙O 上一点，请用尺规过点 P 作 ⊙O 的切线（不写画法，保留作图痕迹）．

18. 某中学组织全体学生参加了“服务社会献爱心”的活动，为了了解九年级学生参加活动情况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行调查，统计了该天他们打扫街道，去敬老院服务和到社区文艺演出的人数，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图，其中到社区文艺演出的人数占所调查的九年级学生人数的 310，请根据两幅统计图中的信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名九年级学生?
（2）补全条形统计图．
（3）若该中学九年级共有 1400 名学生，请你估计该中学九年级去敬老院的学生 有多少名?

19. 如图，已知：在矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，点 F 在边 BC 上，且 BF=CE，EF⊥AF，求证：AB=CF．

20. 如图，在航线 l 的两侧分别有观测点 A 和 B，点 B 到航线 l 的距离 BD 为 4 km，点 A 位于点 B 北偏西 60∘ 方向且与 B 相距 20 km 处．现有一艘轮船从位于点 A 南偏东 74∘ 方向的 C 处，沿该航线自东向西航行至观测点 A 的正南方向 E 处．求这艘轮船的航行路程 CE 的长度．（结果精确到 0.1 km）（参考数据：3≈1.73，sin74∘≈0.96，cs74∘≈0.28，tan74∘≈3.49）

21. 小李是某服装厂的一名工人，负责加工A，B两种型号服装，他每月的工作时间为 22 天，月收入由底薪和计件工资两部分组成，其中底薪 900 元，加工A型服装 1 件可得 20 元，加工B型服装 1 件可得 12 元．已知小李每天可加工A型服装 4 件或B型服装 8 件，设他每月加工A型服装的时间为 x 天，月收入为 y 元．
（1）求 y 与 x 的函数关系式；
（2）根据服装厂要求，小李每月加工A型服装数量应不少于B型服装数量的 35，那么他的月收入最高能达到多少元?

22. 某化妆品专卖店，为了吸引顾客，在“母亲节”当天举办了某种品牌化妆品有奖酬宾活动，凡购物满 188 元者，有两种奖励方案供选择，一是直接获得 18 元的礼金券，二是得到一次摇奖的机会．已知在摇奖机内装有 2 个红球和 2 个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机内一次连续摇出两个球，根据球的颜色决定送礼金券的多少（如表）．
（1）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率．
（2）如果一名顾客当天在本店购物满 188 元，若只考虑获得最多的礼金券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠．

23. 如图，PB 为 ⊙O 的切线，B 为切点，过 B 作 OP 的垂线 BA，垂足为 C，交 ⊙O 于点 A，连接 PA，AO，并延长 AO 交 ⊙O 于点 E，与 PB 的延长线交于点 D．
（1）求证：PA 是 ⊙O 的切线；
（2）若 tanD=512，DE=16，求 PD 的长．

24. 如图，抛物线 y=−x2+x+6 与 x 轴交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的左侧，抛物线与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D，直线 l 过点 C 交 x 轴于 E6,0．
（1）写出顶点 D 的坐标和直线 l 的解析式；
（2）点 Q 在 x 轴的正半轴上运动，过 Q 作 y 轴的平行线，交直线 l 于点 M，交抛物线于点 N，连接 CN，将 △CMN 沿 CN 翻转，M 的对应点为 Mʹ．探究：是否存在点 Q，使得 Mʹ 恰好落在 y 轴上?若存在，请求出 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

25. （1）如图 ①，点 A 、点 B 在直线 l 的同侧，请你在直线 l 上找一点 P，使得 AP+BP 的值最小（不需要说明理由）；
（2）如图 ②，菱形 ABCD 的边长为 6，对角线 AC=63，点 E，F 在 AC 上，且 EF=2，求 DE+BF 的最小值；
（3）如图 ③，四边形 ABCD 中，AB=AD=6，∠BAD=60∘，∠BCD=120∘，四边形 ABCD 的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. D
2. D
3. C【解析】A、 原式=a5，不符合题意；
B、 原式=a3，不符合题意；
C、 原式=−8a6，符合题意；
D、原式不能合并，不符合题意．
4. B【解析】∵Rt△ABC 中，∠C=45∘，
∴∠ABC=45∘，
∵BC∥DE，∠D=30∘，
∴∠DBC=30∘，
∴∠ABD=45∘−30∘=15∘．
5. A
【解析】根据 y 随 x 的增大而增大，知：2k+1>0，即 k>−12．
6. B【解析】∵DE 是 △ABC 的中位线，
∴DE=12BC=8，
∵∠AFC=90∘，E 是 AC 的中点，
∴EF=12AC=5，
∴DF=DE−EF=3．
7. C【解析】设直线 y=43x−1 与 x 轴交点为 C，与 y 轴交点为 A，过点 A 作 AD⊥直线y=43x+b 于点 D，如图所示．
∵ 直线 y=43x−1 与 x 轴交点为 C，与 y 轴交点为 A，
∴A0,−1，C34,0，
∴OA=1，OC=34，AC=OA2+OC2=54，
∴cs∠ACO=OCAC=35．
∵∠BAD 与 ∠CAO 互余，∠ACO 与 ∠CAO 互余，
∴∠BAD=∠ACO．
∵AD=3，cs∠BAD=ADAB=35，
∴AB=5．
∵ 直线 y=43x+b 与 y 轴的交点为 B0,b，
∴AB=∣b−−1∣=5，解得：b=4 或 b=−6．
∵b>0，
∴b=4．
8. B【解析】如图，过 E 作 EF⊥AD 于点 H，
则 △AEH 是等腰直角三角形，
∵AB=4，△AOB 是等腰直角三角形，
∴AO=AB×cs45∘=4×22=22，
∵DE 平分 ∠ODA，EO⊥DO，EH⊥DH，
∴OE=HE，
设 OE=x，则 EH=AH=x，AE=22−x，
∵Rt△AEH 中，AH2+EH2=AE2，
∴x2+x2=22−x2，
解得 x=4−22（负值已舍去），
∴ 线段 OE 的长为 4−22．
9. A【解析】连接 AE，设 ⊙O 的半径为 R，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=12AB=12×4=2，
在 Rt△AOC 中，OA=R，OC=R−CD=R−1，
∵OC2+BC2=OB2，
∴R−12+22=R2，解得 R=2.5，
∴OC=2.5−1=1.5，
∴AE=2OC=3，
∵BE 为直径，
∴∠BAE=90∘，
在 Rt△ACE 中，CE=AC2+AE2=32+22=13．
第二部分
10. ba+b2
11. 8
【解析】因为多边形外角和是 360 度，正多边形的一个外角是 45∘，
所以 360∘÷45∘=8．
即该正多边形的边数是 8．
12. 8.16
【解析】tan42∘≈0.9004，
36AC=0.9004，
AC≈8.16．
13. 316
【解析】过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E，过点 C 作 CF⊥x 轴于点 F，
∵A 点的横坐标是 1，且在双曲线 y=4mx 上，
∴A1,4m，
∵∠ABC=90∘，
∴∠ABE+∠CBF=∠BCF+∠CBF=90∘，∠ABE=∠BCF，
∴△ABE∽△BCF，
∴CFBE=BFAE=BCAB=13，
∴CF=12，BF=4m3，
∴C−12−4m3,12，
∵ 双曲线 y=−2mx 经过 C 点，
∴12−12−4m3=−2m，
∴m=316．
14. 2
【解析】如图，延长 EP 交 BC 于点 F，
∵∠APB=90∘，∠APE=∠BPC=60∘，
∴∠EPC=150∘，
∴∠CPF=180∘−150∘=30∘，
∴PF 平分 ∠BPC，
又 ∵PB=PC，
∴PF⊥BC，
设 Rt△ABP 中，AP=a，BP=b，则 CF=12CP=12b，a2+b2=8，
∵△APE 和 △ABD 都是等边三角形，
∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60∘，
∴∠EAD=∠PAB，
在 △EAD 和 △PAB 中，
AE=AP,∠EAD=∠PAB,AD=AB,
∴△EAD≌△PABSAS，
∴ED=PB=CP，
同理可得：△APB≌△DCBSAS，
∴EP=AP=CD，
∴ 四边形 CDEP 是平行四边形，
∴S四边形CDEP=EP×CF=a×12b=12ab，
又 ∵a−b2=a2−2ab+b2≥0，
∴2ab≤a2+b2=8，
∴12ab≤2，即四边形 PCDE 面积的最大值为 2．
第三部分
15. 原式=23+1+2−6×33=3.
16. 原方程可变为：
x+1x−1−4x+1x−1=1.
两边同时乘以 x+1x−1 ，得：
x+12−4=x+1x−1.
解得：
x=1.
检验：把 x=1 代入 x+1x−1 得：
x+1x−1=0.
所以 x=1 不是方程的解，即原方程无解．
17. 连接 OP 并延长，过 P 作 OP 的垂线，即为 ⊙O 的切线，如图所示：
18. （1） 根据题意得：15÷310=50（名），
则本次共抽取了 50 名九年级学生．
（2） 去敬老院服务的学生有 50−25+15=10（名）．
（3） 根据题意得：1400×1050=280（名），
则该中学九年级去敬老院的学生约有 280 名．
19. 因为四边形 ABCD 为矩形，
所以 ∠B=∠C=90∘，
因为 EF⊥AF，
所以 ∠AFE=90∘，
所以 ∠BAF+∠BFA=∠BFA+∠CFE=90∘，
所以 ∠BAF=∠CFE，
在 △ABF 和 △FCE 中，
∠BAF=∠CFE,∠B=∠C,BF=CE.
所以 △ABF≌△FCE，
所以 AB=CF．
20. 如图，
在 Rt△BDF 中，
∵ ∠DBF=60∘，BD=4 km，
∴ BF=BDcs60∘=8 km，
∵ AB=20 km，
∴ AF=12 km，
∵ ∠AEF=∠BDF，∠AFE=∠BFD，
∴ △AEF∽△BDF，
∴ AEAF=BDBF，
∴ AE=6 km，
在 Rt△AEC 中，CE=AE⋅tan74∘≈20.9km．
故这艘轮船的航行路程 CE 的长度是 20.9km．
21. （1） 依题意得 y=20×4x+12×822−x+900,
即 y 与 x 的函数关系式为 y=−16x+3012.
（2） 依题意得 4x≥35×822−x, ∴x≥12．
在 y=−16x+3012 中，−16<0，
∴y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 x=12 时，y 取得最大值，
此时 y=−16×12+3012=2820．
答：他月收入最高能达到 2820 元．
22. （1） 树状图为：
∴ 一共有 6 种等可能的情况，摇出一红一白的情况共有 4 种，摇出一红一白的概率 =23．
（2） ∵ 两红的概率 P=16，两白的概率 P=16，一红一白的概率 P=23，
∴ 摇奖的平均收益是：16×12+23×24+16×12=20（元）．
∵20>18，
∴ 顾客应该选择摇奖．
23. （1） 连接 OB，则 OA=OB，
∵OP⊥AB，
∴AC=BC，
∴OP 是 AB 的垂直平分线，
∴PA=PB，
在 △PAO 和 △PBO 中，
∵AP=PB,OP=PO,OA=OB,
∴△PAO≌△PBO，
∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，
∵PB 为 ⊙O 的切线，B 为切点，
∴∠PBO=90∘，
∴∠PAO=90∘，即 PA⊥OA，
∴PA 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵tanD=512，
∴ 设 AP=5x，AD=12x，则 PD=13x，
∴BD=8x，由切割线定理得，BD2=DE⋅AD，即 8x2=16×12x，
∴x=3，
∴PD=39．
24. （1） 当 x=0 时，y=−x2+x+6=6，则 C0,6，y=−x2+x+6=−x−122+234，
则 D 点坐标为 12,234，
设直线 l 的解析式为 y=kx+b，
把 C0,6，E6,0 代入得 6k+b=0,b=6, 解得 k=−1,b=6,
∴ 直线 l 的解析式为 y=−x+6．
（2） 存在．直线 CN 交 x 轴于点 P，作 PH⊥l 于点 H，如图，
利用折叠的性质得 CN 平分 ∠MCMʹ，
则根据角平分线的性质得 PO=PH，
设 OP=t，则 PH=t，PE=6−t，
∵OC=OE，
∴△OCE 为等腰直角三角形，
∴∠PEH=45∘，
∴△PEH 为等腰直角三角形，
∴PE=2PH，即 6−t=2t，解得 t=62−1，
∴P62−1,0，
设直线 PC 的解析式为 y=mx+n，
C0,6，P62−1,0 代入得 n=6,62−1m+n=0, 解得 m=−2+1,n=6,
∴ 直线 PC 的解析式为 y=−2+1x+6，
解方程组 y=−x2+x+6,y=−2+1x+6, 得 x=0,y=6 或 x=2+2,y=2−32,
∴N2+2,2−32，
∵QN⊥x 轴，
∴Q2+2,0．
25. （1） 如图 ① 中，作点 A 关于直线 l 的对称点 Aʹ，连接 AʹB 交直线 l 于点 P，连接 PA，则点 P 即为所求的点．
（2） 如图 ② 中，作 DM∥AC，使得 DM=EF=2，连接 BM 交 AC 于点 F，
∵DM=EF，DM∥EF，
∴ 四边形 DEFM 是平行四边形，
∴DE=FM，
∴DE+BF=FM+FB=BM，
根据两点之间线段最短可知，此时 DE+FB 最短，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=33，
在 Rt△ADO 中，OD=AD2−OA2=3，
∴BD=6，
∵DM∥AC，
∴∠MDB=∠BOC=90∘，
∴BM=BD2+DM2=62+22=210．
∴DE+BF 的最小值为 210．
（3） 四边形 ABCD 的周长存在最大值．
如图 ③ 中，连接 AC，BD，在 AC 上取一点，使得 DM=DC．
∵∠DAB=60∘，∠DCB=120∘，
∴∠DAB+∠DCB=180∘，
∴A，B，C，D 四点共圆，
∵AD=AB，∠DAB=60∘，
∴△ADB 是等边三角形，
∴∠ABD=∠ACD=60∘，
∵DM=DC，
∴△DMC 是等边三角形，
∴∠ADB=∠MDC=60∘，CM=DC，
∴∠ADM=∠BDC，
在 △ADM 和 △BDC 中，
DM=DC,∠ADM=∠BDC,AD=BD,
∴△ADM≌△BDC，
∴AM=BC，
∴AC=AM+MC=BC+CD，
∵ 四边形 ABCD 的周长 =AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC，
∵AD=AB=6，
∴ 当 AC 最大时，四边形 ABCD 的周长最大，
∴ 当 AC 为 △ABC 的外接圆的直径时，四边形 ABCD 的周长最大，易知 AC 的最大值 =43，
∴ 四边形 ABCD 的周长最大值为 12+43．