2017年西安市中考四模拟数学试卷

这是一份2017年西安市中考四模拟数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. PM2.5是指大气中直径 ≤0.0000025 米的颗粒物，将 0.0000025 用科学记数法表示为
A. 2.5×10−7B. 2.5×10−6C. 25×10−7D. 0.25×10−5

2. 如图是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其俯视图是

A. B.
C. D.

3. 已知正比例函数 y=kxk≠0 的图象经过点 1,−3，则此正比例函数的关系式为
A. y=3xB. y=−3xC. y=13xD. y=−13x

4. 下列计算正确的是
A. x4⋅x2=x8
B. −x23=x6
C. −a+b−a−b=a2−b2
D. a+b2=a2+b2

5. 以下四种沿 AB 折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线 a，b 互相平行的是
A. 如图1，展开后测得 ∠1=∠2
B. 如图2，展开后测得 ∠1=∠2 且 ∠3=∠4
C. 如图3，测得 ∠1=∠2
D. 如图4，展开后再沿 CD 折叠，两条折痕的交点为 O，测得 OA=OB，OC=OD

6. 如果 P2x+6,x−4 在平面直角坐标系的第四象限内，那么 x 的取值范围是
A. −3
7. 如图，已知 A，B，C，D，E 均在 ⊙O 上，且 AC 为直径，则 ∠A+∠B+∠C= 度．
A. 30B. 45C. 60D. 90

8. 如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，点 D 沿 BC 自 B 向 C 运动（点 D 与点 B，C 不重合），作 BE⊥AD 于点 E，CF⊥AD 于点 F，则 BE+CF 的值
A. 不变B. 增大C. 减小D. 先变大再变小

9. 如图，边长为 12 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1，S2，则 S1+S2 的值为
A. 60B. 64C. 68D. 72

10. 已知抛物线 y=ax2+bx+ca>0 的图象过 A0,3，B9,4，则对称轴的值可能是
A. 6B. 5C. 4.5D. 4

二、填空题（共5小题；共25分）
11. 因式分解：x2−4y2= ．

12. 如图，AD 是正五边形 ABCDE 的一条对角线，则 ∠BAD= ．

13. 用科学计算器计算：31+3tan56∘≈ ．（结果精确到 0.01）

14. 直线 y=−12x−1 与反比例函数 y=kxx<0 的图象交于点 A，与 x 轴相交于点 B，过点 B 作 x 轴垂线交双曲线于点 C，若 AB=AC，则 k 的值为 ．

15. 如图，把一个菱形绕着它的对角线的交点旋转 90∘，旋转前后的两个菱形构成一个“星形”（阴影部分）．若菱形的一个内角为 60∘，边长为 2，则该“星形”的面积是 ．

三、解答题（共11小题；共143分）
16. 计算 8−4sin45∘+12−1．

17. 解分式方程：1x−3+2x−1x+3=2．

18. 如图，已知 △ABC，请用尺规作图，在 BC 上找一点 M，使得 AM+MC=BC（保留作图痕迹，不写作法）．

19. 某校为了解九年级男生的体能情况，随机抽取部分男生进行引体向上测试，并根据抽测成绩绘制成如下两幅统计图．
（1）本次抽测的学生总人数为 ；请你补全图 2 的统计图；
（2）本次抽测成绩的众数为 ；中位数为 ．
（3）若规定引体向上 9 次以上（含 9 次）为体能达到优秀，则该校九年级男生 600 人中，估计有多少人体能达到优秀?

20. 已知，如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，点 E，F 为对角线 AC 上两点，且 AF=CE，DF∥BE．求证：四边形 ABCD 为平行四边形．

21. 如图所示，小明家小区空地上有两棵笔直的树 CD，EF．一天，他在 A 处测得树顶 D 的仰角 ∠DAC=30∘，在 B 处测得树顶 F 的仰角 ∠FBE=45∘，线段 BF 恰好经过树顶 D．已知 A，B 两处的距离为 2 米，两棵树之间的距离 CE=3 米，A，B，C，E 四点在一条直线上，求树 EF 的高度．（3≈1.7，2≈1.4，结果保留一位小数）

22. 新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售．某楼盘共 23 层，销售价格如下：第八层楼房售价为 4000 元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高 50 元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低 30 元，已知该楼盘每套楼房面积均为 120 米2．若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：
方案一：降价 8%，另外每套楼房赠送 a 元装修基金；
方案二：降价 10%，没有其他赠送．
（1）请写出售价 y元/米2 与楼层 x（1≤x≤23，x 取整数）之间的函数关系式；
（2）老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算．

23. 图 1 是一个可以自由转动的转盘，被分成了面积相等的三个扇形，分别标有数 −1，−2，−3，甲转动一次转盘，转盘停止后指针指向的扇形内的数记为 A（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形为止）．图 2 背面完全一样、牌面数字分别是 2，3，4，5 的四张扑克牌，把四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上，乙随机抽出一张牌面数字记为 B．计算 A+B 的值．
（1）用树状图或列表法求 A+B=0 的概率；
（2）甲乙两人玩游戏，规定：当 A+B 是正数时，甲胜；否则乙胜．你认为这个游戏规则对甲乙双方公平吗?请说明理由．

24. 已知在 △ABC 中，∠ABC=90∘，以 AB 上的一点 O 为圆心，以 OA 为半径的圆交 AC 于点 D，交 AB 于点 E．
（1）求证：AC⋅AD=AB⋅AE；
（2）如果 BD 是 ⊙O 的切线，D 是切点，E 是 OB 的中点，当 BC=2 时，求 AC 的长．

25. 如图，抛物线 C1：y=x2+bx+c 经过原点，与 x 轴的另一个交点为 2,0，将抛物线 C1 向右平移 mm>0 个单位得到抛物线 C2，C2 交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），交 y 轴于点 C．
（1）求抛物线 C1 的解析式及顶点坐标．
（2）以 AC 为斜边向上作等腰直角三角形 ACD，当点 D 落在抛物线 C2 的对称轴上时，求抛物线 C2 的解析式．
（3）若抛物线 C2 的对称轴存在点 P，使 △PAC 为等边三角形，求 m 的值．

26. 观察思考：如图，A，B 是直线 a 上的两个定点，点 C，D 在直线 b 上运动（点 C 在点 D 的左侧），AB=CD=4 cm．已知 a∥b，a，b 间的距离为 3 cm，连接 AC，BD，BC，把 △ABC 沿 BC 折叠得 △A1BC．
（1）当 A1，D 两点重合时，则 AC= cm．
（2）当 A1，D 两点不重合时．
①连接 A1D，探究 A1D 与 BC 的位置关系，并说明理由．
②若以 A1，C，B，D 为顶点的四边形是矩形，画出示意图并直接写出 AC 的长．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. B【解析】∵ 正比例函数 y=kx 的图象经过点 1,−3，
∴−3=k 即 k=−3，
∴ 该正比例函数的解析式为：y=−3x．
4. C【解析】A．原式=x6，不符合题意；
B．原式=−x6，不符合题意；
C．原式=a2−b2，符合题意；
D．原式=a2+2ab+b2，不符合题意．
5. C
6. A【解析】根据题意得：2x+6>0, ⋯⋯①x−4<0, ⋯⋯②
由 ① 得：x>−3；
由 ② 得：x<4，
则不等式组的解集为 −37. D【解析】连接 AB，BC，
∵AC 为直径，
∴∠ABC=90∘，
∵∠CBD=∠CAD，∠ABE=∠ACE，
∴∠CAD+∠EBD+∠ACE=∠CBD+∠EBD+∠ABE=∠ABC=90∘.
8. C【解析】∵BE⊥AD 于点 E，CF⊥AD 于点 F，
∴CF∥BE，
∴∠DCF=∠DBE，
设 ∠DCF=∠DBE=α，
∴CF=DC⋅csα，BE=DB⋅csα，
∴BE+CF=DB+DCcsα=BC⋅csα，
∵∠ABC=90∘，
∴O<α<90∘，
当点 D 从 B→D 运动时，α 是逐渐增大的，
∴csα 的值是逐渐减小的，
∴BE+CF=BC⋅csα 的值是逐渐减小的．
面积法：
S△ABC=12⋅AD⋅CF+12⋅AD⋅BE=12⋅ADCF+BE，
∴ CF+BE=2S△ABCAD，
∵ 点 D 沿 BC 自 B 向 C 运动时，AD 是增加的，
∴ CF+BE 的值是逐渐减小的．
9. C【解析】如图，
设正方形 S2 的边长为 x，
根据等腰直角三角形的性质知，AC=2x，x=2CD，
∴ AC=2CD，CD=4，
∴ EC2=42+42，即 EC=42，
∴ S2 的面积为 EC2=32，
∵ S1 的边长为 6，S1 的面积为 6×6=36，
∴ S1+S2=32+36=68．
10. D
【解析】∵ 抛物线 y=ax2+bx+ca>0 的图象过 A0,3，B9,4，
∴ 当 y=3 时，则 x1=0，x2<9，
∵ 对称轴为直线 x=x1+x22<4.5，
∴ 对称轴的值可能是 4．
第二部分
11. x+2yx−2y
12. 72∘
【解析】∵ 正五边形 ABCDE 的内角和为 5−2×180∘=540∘，
∴∠E=15×540∘=108∘，∠BAE=108∘，
又 ∵EA=ED，
∴∠EAD=12×180∘−108∘=36∘，
∴∠BAD=∠BAE−∠EAD=72∘．
13. 10.02
14. −4
【解析】过 A 作 AD⊥BC 于点 D，如图，
∵y=−12x−1，
令 y=0，则 −12x−1=0，解得 x=−2，
∴B 点坐标为 −2,0，
∵CB⊥x 轴，
∴C 点的横坐标为 −2，
∵y=kx，令 x=−2，则 y=−k2，
∴C 点坐标为 −2,−k2，
∵AC=AB，AD⊥BC，
∴DC=DB，
∴D 点坐标为 −2,−k4，
∴A 点的纵坐标为 −k4，
而点 A 在函数 y=kx 的图象上，
把 y=−k4 代入 y=kx，得 x=−4，
∴ 点 A 的坐标为 −4,−k4，
把 A−4,−k4 代入 y=−12x−1，得 −k4=−12×−4−1，
∴k=−4．
15. 63−6
第三部分
16. 8−4sin45∘+12−1=22−4×22+2=22−22+2=2.
17. 方程两边同时乘以 x+3x−3，得：
x+3+2x−1x−3=2x+3x−3.
整理得：
−6x=−24.
解得：
x=4.
经检验：x=4 是原分式方程的解，
因此，原方程的解为：x=4．
18. 如图，点 M 即为所作．
19. （1） 50 人
【解析】本次抽测的学生总人数为 10÷20%=50（人），
做 9 次的人数 50−10−14−12−3=11（人），
补全的统计图如图所示：
（2） 7；8
【解析】7 出现的次数最多，故本次抽测成绩的众数是 7，
正中间的 2 个数都是 8，故本次抽测成绩的中位数是 8．
（3） 体能达到优秀的人数为：600×11+350=168（人）．
故有 168 人体能达到优秀．
20. ∵ AD∥BC，
∴ ∠DAF=∠BCE，
∵ DF∥BE，
∴ ∠DFA=∠BEC，
在 △ADF 和 △CBE 中，
∠DAF=∠BCE,AF=CE,∠DFA=∠BEC,
∴ △ADF≌△CBE，
∴ AD=CB，
∵ AD∥BC，
∴ 四边形 ABCD 为平行四边形．
21. 设 CD=x m，
在 Rt△BCD 中，
∵ ∠DBC=45∘，
∴ BC=CD=x，
在 Rt△DAC 中，
∵ ∠DAC=30∘，tan∠DAC=CDAC，
∴ x+2=3x，解得 x=3+1，
∴ BC=CD=3+1，
在 Rt△FBE 中，
∵ ∠DBC=45∘，
∴ FE=BE=BC+CE=3+1+3≈5.7．
答：树 EF 的高度约为 5.7 m．
22. （1） 当 1≤x≤8 时，y=4000−308−x=4000−240+30x=30x+3760；
当 8 ∴ 所求函数关系式为 y=30x+37601≤x≤8,x为整数,50x+36008 （2） 当 x=16 时，
方案一每套楼房总费用：w1=12050×16+3600×92%−a=485760−a；
方案二每套楼房总费用：w2=12050×16+3600×90%=475200．
∴ 当 w110560；
当 w1=w2 时，即 485760−a=475200 时，a=10560；
当 w1>w2 时，即 485760−a>475200 时，a<10560．
因此，当每套 赠送装修基金多于 10560 元时，选择方案一合算；
当每套赠送装修基金等于 10560 元时，两种方案一样；
当每套赠送装修基金少于 10560 元时，选择方案二合算．
23. （1） 由题意可得，A+B 的所有可能性是：−1+2=1，−1+3=2，−1+4=3，−1+5=4，−2+2=0，−2+3=1，−2+4=2，−2+5=3，−3+2=−1，−3+3=0，−3+4=1，−3+5=2，
列表得：
共有 12 种等可能的结果，其中 A+B=0 的有 2 种，
∴A+B=0 的概率是：212=16，即 A+B=0 的概率是 16．
（2） 这个游戏规则对甲乙双方不公平．
理由：由题意可得，A+B 的所有可能性是：−1+2=1，−1+3=2，−1+4=3，−1+5=4，−2+2=0，−2+3=1，−2+4=2，−2+5=3，−3+2=−1，−3+3=0，−3+4=1，−3+5=2，
由（1）中列表可知，
∴A+B 的和为正数的概率是：912=34，
∴ 甲获胜的概率为 34，乙获胜的概率为 14，
∵34≠14，
∴ 这个游戏规则对甲乙双方不公平．
24. （1） 连接 DE，
∵AE 是直径，
∴∠ADE=90∘，
∴∠ADE=∠ABC，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC，
∴AC⋅AD=AB⋅AE．
（2） 连接 OD，
∵BD 是 ⊙O 的切线，
∴OD⊥BD，
在 Rt△OBD 中，OE=BE=OD，
∴OB=2OD，
∴∠OBD=30∘，
同理 ∠BAC=30∘，
在 Rt△ABC 中，AC=2BC=2×2=4．
25. （1） 因为抛物线 C1 经过原点，与 x 轴的另一个交点为 2,0，
所以 c=0,4+2b+c=0.
解得 b=−2,c=0.
所以抛物线 C1 的解析式为 y=x2−2x .
所以抛物线 C1 的顶点坐标为 1,−1．
（2） 因为抛物线 C1 向右平移 mm>0 个单位得到抛物线 C2，
所以 C2 的解析式为 y=x−m−12−1．
所以 Am,0，Bm+2,0，C0,m2+2m .
过点 C 作 CH⊥ 对称轴 DE，垂足为 H .
因为 △ACD 为等腰直角三角形，
所以 AD=CD，∠ADC=90∘ .
所以 ∠CDH+∠ADE=90∘．
所以 ∠HCD=∠ADE．
因为 ∠DEA=90∘，
所以 △CHD≌△DEA .
所以 AE=HD=1，CH=DE=m+1 .
所以 EH=HD+DE=1+m+1=m+2 .
由 OC=EH 得 m2+2m=m+2，解得 m1=1，m2=−2（舍去），
所以抛物线 C2 的解析式为：y=x−22−1．
（3） 连接 BC，BP .
由抛物线对称性可知 AP=BP，
因为 △PAC 为等边三角形，
所以 AP=BP=CP，∠APC=60∘ .
所以 C，A，B 三点在以点 P 为圆心，PA 为半径的圆上．
所以 ∠CBO=12∠CPA=30∘ .
所以 BC=2OC .
由勾股定理，得 OB=BC2−OC2=3OC，
所以 3m2+2m=m+2．
解得 m1=33，m2=−2（舍去），
所以 m=33．
26. （1） 4
【解析】当 A1，D 两点重合时，如图 1 ①和图 1 ②，
∵CD∥AB，CD=AB，
∴ 四边形 ACDB 是平行四边形．
∵△ABC 沿 BC 折叠得 △A1BC，A1，D 两点重合，
∴AC=A1C=DC．
∴ 平行四边形 ACDB 是菱形．
∴AC=AB=4cm．
（2） 当 A1，D 两点不重合时，
① A1D∥BC．
证明：过点 A1 作 A1E⊥BC，垂足为 E，过点 D 作 DF⊥BC，垂足为 F，如图 2，
∵CD∥AB，CD=AB，
∴ 四边形 ACDB 是平行四边形．
∴S△ABC=S△DBC．
∵△ABC 沿 BC 折叠得 △A1BC，
∴S△ABC=S△A1BC．
∴S△DBC=S△A1BC．
∴12BC⋅DF=12BC⋅A1E．
∴DF=A1E．
∵A1E⊥BC，DF⊥BC，
∴∠A1EB=∠DFB=90∘．
∴A1E∥DF．
∴ 四边形 A1DFE 是平行四边形．
∴A1D∥EF．
∴A1D∥BC．
②（i）如图 3 ①，过点 C 作 CH⊥AB，垂足为 H，
此时 AH ∵ 四边形 A1DBC 是矩形，
∴∠A1CB=90∘．
∵△ABC 沿 BC 折叠得 △A1BC，
∴∠ACB=∠A1CB．
∴∠ACB=90∘．
∵CH⊥AB，
∴∠AHC=∠CHB=90∘．
∴∠ACH=90∘−∠HCB=∠CBH．
∴△AHC∽△CHB．
∴AHCH=CHBH．
∴CH2=AH⋅BH．
∵AB=4，CH=3，
∴3=AH⋅4−AH．
解得：AH=1 或 AH=3．
∵AH ∴AH=1．
∴AC2=CH2+AH2=3+1=4．
∴AC=2cm．
（ii）如图 3 ②，过点 C 作 CH⊥AB，垂足为 H，
此时 AH>BH．
同理可得：AH=3．
∴AC2=CH2+AH2=3+9=12．
∴AC=23cm．
（iii）如图 3 ③，
∵ 四边形 A1DCB 是矩形，
∴∠A1BC=90∘．
∵△ABC 沿 BC 折叠得 △A1BC，
∴∠ABC=∠A1BC．
∴∠ABC=90∘．
∴AC2=BC2+AB2=3+16=19．
∴AC=19cm．
综上所述；当以 A1，C，B，D 为顶点的四边形是矩形时，AC 的长为 2 cm 或 23 cm 或 19 cm．