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    数学九年级上册24.2 点和圆、直线和圆的位置关系综合与测试测试题

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    这是一份数学九年级上册24.2 点和圆、直线和圆的位置关系综合与测试测试题,共57页。试卷主要包含了切线的定义,构成切线的条件,圆的切线判断,切线的性质,切线的性质与判定综合,用切线长定理求解等内容,欢迎下载使用。

     24.2.3 直线和圆的位置关系(2)-切线长定理
    (同步练习1)
    一、 单选题
    知识点一、切线的定义
    1.下列命题是真命题的是( )
    A.顶点在圆上的角叫圆周角 B.三点确定一个圆
    C.圆的切线垂直于半径 D.三角形的内心到三角形三边的距离相等
    2.下列命题中的真命题是(  )
    ①相等的角是对顶角 ②矩形的对角线互相平分且相等 ③垂直于半径的直线是圆的切线 ④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形.
    A.①② B.②③ C.③④ D.②④
    3.如图,在四边形中,,,为的中点,以点为圆心、长为半径作圆,恰好点在上,连接,若,下列说法中不正确的是( )

    A. D是劣弧BE的中点 B.CD是⊙O的切线
    C.AE // OD D.∠DOB=∠EAD
    4.平面内,⊙的半径为,点到圆心的距离为,过点可作⊙的切线条数( )
    A.条 B.条 C.条 D.无数条
    知识点二、构成切线的条件
    5.已知⊙O 的半径为 5,直线 EF 经过⊙O 上一点 P(点 E,F 在点 P 的两旁),下列条件能判定直线 EF 与⊙O 相切的是( )

    A.OP=5 B.OE=OF
    C.O 到直线 EF 的距离是 4 D.OP⊥EF
    6.如图,是的内接三角形,下列选项中,能使过点A的直线EF与相切于点A的条件是( )

    A. B.
    C.AC是直径 D.且
    7.在中,,,,以C为圆心作与AB相切,则的半径长为( )
    A.8 B.4 C.9.6 D.4.8
    8.如图,AB是⊙O的直径,BC交⊙O于点D,DE⊥AC于点E,要使DE是⊙O的切线,还需补充一个条件,则补充的条件不正确的是(  )

    A.DE=DO B.AB=AC
    C.CD=DB D.AC∥OD
    知识点三、圆的切线判断
    9.如图,是的直径,是的切线,若,,则阴影部分的面积是( )

    A.2 B. C.1 D.
    10.已知⊙O及⊙O外一点P,过点P作出⊙O的一条切线(只有圆规和三角板这两种工具),以下是甲、乙两同学的作业:

    甲:①连接OP,作OP的垂直平分线l,交OP于点A;
    ②以点A为圆心、OA为半径画弧、交⊙O于点M;
    ③作直线PM,则直线PM即为所求(如图1).
    乙:①让直角三角板的一条直角边始终经过点P;
    ②调整直角三角板的位置,让它的另一条直角边过圆心O,直角顶点落在⊙O上,记这时直角顶点的位置为点M;
    ③作直线PM,则直线PM即为所求(如图2).
    对于两人的作业,下列说法正确的是( )
    A.甲乙都对 B.甲乙都不对
    C.甲对,乙不对 D.甲不对,已对
    11.如图,AB是⊙O的直径,下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是( )

    A.AB=4,AT=3,BT=5 B.∠B=45°,AB=AT
    C.∠B=55°,∠TAC=55° D.∠ATC=∠B
    12.如图,将直角三角板的直角顶点放在上,直角边经过圆心,则另一直角边与的位置关系为( )

    A.相交 B.相切
    C.相离 D.无法确定
    知识点四、切线的性质
    13.如图,AB是⊙O的弦,AC与⊙O相切于点A,连接OA,OB,若∠O=130°,则∠BAC的度数是(  )

    A.60° B.65° C.70° D.75°
    14.如图,.分别与相切于.两点,点为上一点,连接.,若,则的度数为( ).

    A.; B.; C.; D..
    15.如图,为的切线,切点为,连接,与交于点,延长与交于点,连接,若,则的度数为( )

    A. B. C. D.
    16.如图,内接于圆,,过点的切线交的延长线于点.则( )

    A. B. C. D.
    知识点五、切线的性质与判定综合
    17.如图,是的弦,点在过点的切线上,,交于点.若,则的度数等于( )

    A. B. C. D.
    18.如图,AB是⊙O的弦,AC是⊙O的切线,A为切点,BC经过圆心O.若∠B=20°,则∠C的大小等于( )

    A.20° B.25° C.40° D.50°
    19.如图,等边三角形的边长为8,以上一点为圆心的圆分别与边,相切,则的半径为(  )

    A. B.3 C.4 D.
    20.如图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周长为(  )

    A.44 B.42 C.46 D.47
    知识点六、用切线长定理求解
    21.如图,△ABC的内切圆⊙O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,且AD=2,BC=5,则△ABC的周长为(  )

    A.16 B.14 C.12 D.10
    22.如图,等腰的内切圆⊙与,,分别相切于点,,,且, ,则的长是(  )

    A. B. C. D.
    23.如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O外一点,CA、CD是⊙O的切线,A、D为切点,连接BD、AD.若∠ACD=48°,则∠DBA的大小是(  )

    A.32° B.48° C.60° D.66°
    24.如图,⊙O中,AC为直径,MA,MB分别切⊙O于点A,B,∠BAC=25°,则∠AMB的大小为(  )

    A.25° B.30° C.45° D.50°


    二、 填空题
    知识点一、切线的定义
    25.当点P在⊙O上时, 经过点P能作________条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O_________(填”上”或”外”或”内”)
    26.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_____.
    27.如图,点C在以AB为直径的半圆上,AB=4,∠CBA=30°,点D在AO上运动,点E与点D关于AC对称,DF⊥DE于点D,并交EC的延长线于点F,下列结论:
    ①CE=CF;②线段EF的最小值为;③当AD=1时,EF与半圆相切;
    ④当点D从点A运动到点O时,线段EF扫过的面积是4.其中正确的序号是____

    28. 已知在平面直角坐标系中,点的坐标为是抛物线对称轴上的一个动点.小明经探究发现:当的值确定时,抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定.若抛物线的对称轴上存在3个不同的点,使为直角三角形,则的值是____.
    知识点二、构成切线的条件
    29.如图,△ABC内接于⊙O,要使过点A的直线EF与⊙O相切于A点,则图中的角应满足的条件是________(只填一个即可).    

    30.如图,、是上的两点,是过点的一条直线,如果,那么当的度数等于________度时,才能成为的切线.

    31.如图,已知∠ABC=30°,以O为圆心、2cm为半径作⊙O, 使圆心O在BC边上移动, 则当OB=____________cm时, ⊙O与AB相切

    32.如图,是的直径,交于D,,垂足为E,请你添加一个条件,使是的切线,你所添加的条件是________.

    知识点三、证明直线为圆的切线
    33.在数学课上,老师请同学思考如下问题:

    小轩的主要作法如下:

    老师说:“小轩的作法正确.”
    请回答:⊙P与BC相切的依据是______________________________ .
    34.如图,⊙O的半径为4 cm,BC是直径,若AB=10 cm,则AC=_____cm时,AC是⊙O的切线.

    35.如图,⊙O的半径为4 cm,BC是直径,若AB=10 cm,则AC=_______cm时,AC是⊙O的切线

    36.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D是AB的中点,以CD为直径作⊙O,⊙O分别与AC,BC交于点E,F,过点F作⊙O的切线FG,交AB于点G,则FG的长为_____.

    知识点四、切线的性质
    37.如图,与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D,则劣弧所对的圆心角的大小为_____度.

    38.如图,⊙O分别切∠BAC的两边AB,AC于点E,F,点P在优弧上.若∠BAC=66°,则∠EPF等于___________度.

    39.如图,已知是的直径,是的切线,连接交于点,连接.若,则的度数是_________.

    40.如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作当与正方形ABCD的边相切时,BP的长为______.

    知识点五、切线的性质与判定综合
    41.如图,⊙O切△ABC的BC于D,切AB、AC的延长线于E、F,△ABC的周长为18,则AE=____.

    42.如图,Rt△ABC中,∠ABC=Rt∠,点D是BC边上一点,以BD为直径的半圆与边AC相切于点E.若AB=3,BC=4,则BD=_____.

    43.如图,AB是⊙O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P,已知∠OAB=22°,则∠OCB=__________.

    知识点六、用切线长定理求解
    44.如图,在中,的半径为点是边上的动点,过点作的一条切线(其中点为切点),则线段长度的最小值为____.

    45.如图,⊙O是△ABC的内切圆,⊙O切BC于点D,BD=3,CD=2,△ABC的周长为14,则AB=__.

    46.如图,一圆内切于四边形ABCD,且AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长为________.

    47.如图,中,,,,则的内切圆半径为________.

    48.如图:PA、PB切⊙O于A、B,过点C的切线交PA、PB于D、E,PA=8cm,则△PDE的周长为____cm.


    三、 解答题
    知识点一、构成切线的条件
    49.如图,在中,,点在边上,经过点和点且与边相交于点.
    (1)求证:是的切线;
    (2)若,求的半径.



    知识点二、证明直线为圆的切线
    50.如图,⊙O的直径AB为10cm,弦BC为5cm,D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O,AB的交点,P为AB延长线上一点,且PC=PE.
    (1)求AC、AD的长;
    (2)试判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由.



    知识点三、切线的性质
    51.如图,已知⊙O为Rt△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,且∠C=90°,AB=13,BC=12.
    (1)求BF的长;
    (2)求⊙O的半径r.









    知识点四、切线的性质与判定综合
    52.已知:如图,、是的切线,切点分别是、,为上一点,过点作的切线,交、于、点,已知,求的周长.




    知识点五、用切线长定理求解
    53.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线.交BC于点E.
    (1)求证:BE=EC
    (2)填空:①若∠B=30°,AC=2,则DE=______;
    ②当∠B=______度时,以O,D,E,C为顶点的四边形是正方形.


    参考答案
    1.D
    【分析】根据圆周角的定义、圆的定义、切线的定义,以及三角形内心的性质,分别进行判断,即可得到答案.
    【详解】
    解:A、顶点在圆上,并且角的两边与圆相交的角叫圆周角,故A错误;
    B、不在同一条直线上的三点确定一个圆,故B错误;
    C、圆的切线垂直于过切点的半径,故C错误;
    D、三角形的内心到三角形三边的距离相等,故D正确;
    故选:D.
    【点拨】本题考查了判断命题的真假,圆周角的定义、圆的定义、切线的定义,以及三角形内心的性质,解题的关键是熟练掌握所学的知识进行判断.
    2.D
    【分析】根据对顶角、矩形的性质、切线的判定、中点四边形有知识逐一进行判断即可得.
    【详解】
    ①相等的角不一定是对顶角,故①错误;
    ②矩形的对角线互相平分且相等,故②正确;
    ③经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线,故③错误;
    ④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形,故④正确,
    所以正确的是②④,
    故选D.
    【点拨】本题考查了真命题与假命题,熟练掌握切线判定、矩形的性质、中点四边形等相关知识是解决此题的关键.
    3.D
    【解析】
    【分析】直接利用圆周角定理以及结合圆心角、弧、弦的关系、切线的判定方法、平行线的判定方法分别分析得出答案.
    【详解】
    A、∵∠BAD=25°,∠EAD=25°,
    ∴∠DAB=∠EAD,
    ∴,故此选项正确,不合题意;
    B、∵∠BAD=25°,
    ∴∠ADO=25°,
    ∵∠ADC=115°,
    ∴∠ODC=90°,
    ∴CD是⊙O的切线,故此选项正确,不合题意;
    C、∵∠EAD=∠ADO,
    ∴AE∥DO,故此选项正确,不合题意;
    D、无法得出∠DOB=50°,∠EAD=25°,故此选项错误,符合题意.
    故选D.
    【点拨】此题主要考查了切线的判定以及圆心角、弧、弦的关系、切线的判定方法、平行线的判定方法等知识,正确掌握相关判定方法是解题关键.
    4.A
    【分析】先确定点与圆的位置关系,再根据切线的定义即可得到答案.
    【详解】
    ⊙的半径为,点到圆心的距离为,
    ,
    点与⊙的位置关系是:点在⊙的内部,
    过点可以作⊙的条切线.
    故选:A.
    【点拨】本题考查了点与圆的位置关系,切线的定义,切线是圆与直线有且只有一个公共点的直线,正确的理解定义是解题的关键.
    5.D
    【解析】
    【分析】根据切线的证明方法进行求解,即可得到答案.
    【详解】
    ∵点 P 在⊙O 上,∴只需要 OP⊥EF 即可, 故选:D.
    【点拨】本题考查切线的证明,解题的关键是掌握切线的证明方法.
    6.D
    【分析】根据切线的判定定理对各个选项进行判断即可.
    【详解】
    解:A.当,则AC为的直径,但EF不一定垂直AC,所以不能判断EF直线EF与相切;
    B.AC不一定是的直径,所以不能判断EF直线EF与相切;
    C. AC为的直径,但EF不一定垂直AC,所以不能判断EF直线EF与相切;
    D. 当,则AC为的直径,且,所以EF直线EF与相切.
    故选D.
    【点拨】本题主要考查切线的判定定理:经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
    7.D
    【分析】过点C作CD⊥AB于点D,先利用勾股定理求得BC的长,再利用三角形的面积公式求得CD的长即可.
    【详解】
    解:如图,过点C作CD⊥AB于点D,
    ∵,,,
    ∴,
    ∵S△ABC,
    ∴,
    则以C为圆心CD为半径作与AB相切.
    故选D.

    【点拨】本题主要考查切线的判定,勾股定理,三角形的面积公式,解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
    8.A
    【详解】
    :根据AB=AC,连接AD,利用圆周角定理可以得到点D是BC的中点,OD是△ABC的中位线,OD∥AC,然后由DE⊥AC,得到∠ODE=90°,可以证明DE是⊙O的切线.
    根据CD=BD,AO=BO,得到OD是△ABC的中位线,同上可以证明DE是⊙O的切线.
    根据AC∥OD,AC⊥DE,得到∠EDO=90°,可以证明DE是⊙O的切线.故选A.
    9.C
    【详解】
    试题分析:根据BT是的切线,可知∠ABT=90°,则△ABT是等腰直角三角形,然后根据直径做对圆周角是直角,可利用割补法可知阴影部分的面积为△ABT面积的一半,因此可知阴影部分的面积为.
    故选C

    考点:1、圆的切线,2、圆周角定理,3、等腰直角三角形
    10.A
    【分析】(1)连接OM,OA,连接OP,作OP的垂直平分线l可得OA=MA=AP,进而得到∠O=∠AMO,∠AMP=∠MPA,所以∠OMA+∠AMP=∠O+∠MPA=90°,得出MP是⊙O的切线,(2)直角三角板的一条直角边始终经过点P,它的另一条直角边过圆心O,直角顶点落在⊙O上,所以∠OMP=90°,得到MP是⊙O的切线.
    【详解】
    证明:(1)如图1,连接OM,OA.
    ∵连接OP,作OP的垂直平分线l,交OP于点A,∴OA=AP.
    ∵以点A为圆心、OA为半径画弧、交⊙O于点M;
    ∴OA=MA=AP,∴∠O=∠AMO,∠AMP=∠MPA,∴∠OMA+∠AMP=∠O+∠MPA=90°,∴OM⊥MP,∴MP是⊙O的切线;
    (2)如图2.
    ∵直角三角板的一条直角边始终经过点P,它的另一条直角边过圆心O,直角顶点落在⊙O上,∴∠OMP=90°,∴MP是⊙O的切线.
    故两位同学的作法都正确.
    故选A.

    【点拨】本题考查了复杂的作图,重点是运用切线的判定来说明作法的正确性.
    11.D
    【分析】分别利用切线的判定进而得出∠BAT=90°,得出答案即可.
    【详解】
    A.
    ∵AB=4,AT=3,BT=5,∴AB2+AT2=BT2,∴△BAT是直角三角形,∴∠BAT=90°,∴直线AT是⊙O的切线,故此选项错误;
    B.∵∠B=45°,AB=AT,∴∠T=45°,∴∠BAT=90°,∴直线AT是⊙O的切线,故此选项错误;
    C.∵AB为直径,∴∠BAC=90°.
    ∵∠B=55°,∴∠BAC=35°.
    ∵∠TAC=55°,∴∠CAT=90°,∴直线AT是⊙O的切线,故此选项错误;
    D.∠ATC=∠B,无法得出直线AT是⊙O的切线,故此选项正确.
    故选D.

    【点拨】本题考查了切线的判定,正确把握判定方法得出∠BAT=90°是解题的关键.
    12.B
    【分析】根据圆的切线的判定定理即可得到BC与⊙O相切.
    【详解】
    解:相切,
    ∵AB,BC是直角三角板的两条直角边,
    ∴AB⊥BC,
    ∵AB经过圆心O,
    ∴OB⊥BC,
    ∵点B在⊙O上,
    ∴BC与⊙O相切,
    故选:B.
    【点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系,熟练掌握圆的切线的判定定理是解决问题的关键.
    13.B
    【分析】利用切线的性质及等腰三角形的性质求出∠OAC及∠OAB即可解决问题.
    【详解】
    解:∵AC与⊙O相切于点A,
    ∴AC⊥OA,
    ∴∠OAC=90°,
    ∵OA=OB,
    ∴∠OAB=∠OBA.
    ∵∠O=130°,
    ∴∠OAB==25°,
    ∴∠BAC=∠OAC﹣∠OAB=90°﹣25°=65°.
    故选:B.
    【点拨】本题考查的是切线的性质,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,掌握以上知识是解题的关键.
    14.D
    【分析】连接.,由切线的性质可知,由四边形内角和可求出的度数,根据圆周角定理(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)可知的度数.
    【详解】
    解:连接.,
    ∵.分别与相切于.两点,
    ∴,,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    故选D.

    【点拨】本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理,灵活应用切线性质及圆周角定理是解题的关键.
    15.D
    【分析】由切线性质得到,再由等腰三角形性质得到,然后用三角形外角性质得出
    【详解】
    切线性质得到





    故选D
    【点拨】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等,掌握基础定义是解题关键
    16.B
    【分析】连接OC,根据切线的性质得出∠OCP=90°,再由∠P=28°得出∠COP,最后根据外角的性质得出∠CAB.
    【详解】
    解:连接OC,
    ∵CP与圆O相切,
    ∴OC⊥CP,
    ∵∠ACB=90°,
    ∴AB为直径,
    ∵∠P=28°,
    ∴∠COP=180°-90°-28°=62°,
    而OC=OA,
    ∴∠OCA=∠OAC=2∠CAB=∠COP,
    即∠CAB=31°,
    故选B.

    【点拨】本题考查了切线的性质,三角形内角和,外角,解题的关键是根据切线的性质得出∠COP.
    17.B
    【分析】根据题意可求出∠APO、∠A的度数,进一步可得∠ABO度数,从而推出答案.
    【详解】
    ∵,
    ∴∠APO=70°,
    ∵,
    ∴∠AOP=90°,∴∠A=20°,
    又∵OA=OB,
    ∴∠ABO=20°,
    又∵点C在过点B的切线上,
    ∴∠OBC=90°,
    ∴∠ABC=∠OBC−∠ABO=90°−20°=70°,
    故答案为:B.
    【点拨】本题考查的是圆切线的运用,熟练掌握运算方法是关键.
    18.D
    【详解】
    如图,连接OA,

    ∵AC是⊙O的切线,
    ∴∠OAC=90°,
    ∵OA=OB,
    ∴∠B=∠OAB=20°,
    ∴∠AOC=40°,
    ∴∠C=50°.
    故选D.
    考点:切线的性质.
    19.A
    【分析】连接,,根据等边三角形的性质及含30°的直角三角形的性质即可求解.
    【详解】
    设与的切点为,
    连接,,
    ∵等边三角形的边长为8,
    ∴,,
    ∵圆分别与边,相切,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴的半径为,
    故选A.

    【点拨】此题主要考查圆的半径,解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.
    20.A
    【分析】根据圆的切线的性质求解即可.
    【详解】
    解:∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形,
    ∴AD+BC=AB+CD=22,
    ∴四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=44,
    故选:A.
    【点拨】本题考查了圆的外切四边形的周长问题,掌握圆的切线的性质是解题的关键.
    21.B
    【分析】根据切线长定理进行求解即可.
    【详解】
    ∵△ABC的内切圆⊙O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,
    ∴AF=AD=2,BD=BE,CE=CF,
    ∵BE+CE=BC=5,
    ∴BD+CF=BC=5,
    ∴△ABC的周长=2+2+5+5=14,
    故选B.
    【点拨】本题考查了三角形的内切圆以及切线长定理,熟练掌握切线长定理是解题的关键.
    22.D
    【分析】如图,连接、、,交于,先证明点、、共线,即,从而可得,在中,利用勾股定理求出AE长,再由切线长定理求得BD长,进而得AD长,设⊙的半径为,则, ,
    在中,利用勾股定理求得,在中,求得,再证明OB垂直平分,利用面积法可得,求得HE长即可求得答案.
    【详解】
    连接、、,交于,如图,
    等腰的内切圆⊙与,,分别相切于点,,
    平分, , ,,


    点、、共线,
    即,

    在中, ,


    设⊙的半径为,则, ,
    在中,,解得,
    在中,,
    ,,
    垂直平分,
    ,,



    故选D.
    【点拨】本题考查了三角形的内切圆,三角形的内心,等腰三角形的性质,勾股定理,面积法等,正确添加辅助线,灵活运用相关知识是解题的关键.
    23.D
    【分析】根据切线长定理可知CA=CD,求出∠CAD,再证明∠DBA=∠CAD即可解决问题.
    【详解】
    解:∵CA、CD是⊙O的切线,
    ∴CA=CD,
    ∵∠ACD=48°,
    ∴∠CAD=∠CDA=66°,
    ∵CA⊥AB,AB是直径,
    ∴∠ADB=∠CAB=90°,
    ∴∠DBA+∠DAB=90°,∠CAD+∠DAB=90°,
    ∴∠DBA=∠CAD=66°,
    故选D.
    【点拨】本题考查切线长定理和切线的性质、等腰三角形的性质、直径所对的圆周角是直角等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
    24.D
    【解析】
    【分析】由AM与圆O相切,根据切线的性质得到AM垂直于AC,可得出∠MAC为直角,再由∠BAC的度数,用∠MAC﹣∠BAC求出∠MAB的度数,又MA,MB为圆O的切线,根据切线长定理得到MA=MB,利用等边对等角可得出∠MAB=∠MBA,由底角的度数,利用三角形的内角和定理即可求出∠AMB的度数.
    【详解】
    解:∵MA切⊙O于点A,AC为直径,
    ∴∠MAC=90°,又∠BAC=25°,
    ∴∠MAB=∠MAC﹣∠BAC=65°,
    ∵MA、MB分别切⊙O于点A、B,
    ∴MA=MB,
    ∴∠MAB=∠MBA=65°,
    ∴∠AMB=180°﹣(∠MAB+∠MBA)=50°,
    故选:D.
    【点拨】此题考查了切线的性质,圆周角定理,等腰三角形的判定与性质,切线长定理以及三角形内角和定理,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
    25.一 外
    【解析】
    【分析】根据切线的定义求解即可.
    【详解】
    如图,

    当点P在⊙O上时, 经过点P能作一条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O外.
    故答案为:一;外.
    【点拨】本题考查了切线的定义,经过半径的外端,且与半径垂直的直线是圆的切线,熟练掌握切线的定义是解答本题的关键.
    26.切线.
    【分析】根据圆的切线判定定理内容即可判断.
    【详解】
    经过半径的外端点,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
    故答案为:切线.
    【点拨】本题直接考查圆的切线判定定理内容,理解定理满足的条件是解答此题的关键.
    27.①③ 
    【详解】
    试题分析:
    ①连接CD,如图1所示.
    ∵点E与点D关于AC对称,
    ∴CE=CD.
    ∴∠E=∠CDE.
    ∵DF⊥DE,
    ∴∠EDF=90°.
    ∴∠E+∠F=90°,∠CDE+∠CDF=90°.
    ∴∠F=∠CDF.
    ∴CD=CF,
    ∴CE=CD=CF.故①正确.
    ②当CD⊥AB时,如图所示.
    ∵AB是半圆的直径,
    ∴∠ACB=90°.
    ∵AB=4,∠CBA=30°,
    ∴∠CAB=60°,AC=2,BC=2.
    ∵CD⊥AB,∠CBA=30°,
    ∴CD=BC=.
    根据“点到直线之间,垂线段最短”可得:
    点D在线段AB上运动时,CD的最小值为.
    ∵CE=CD=CF,
    ∴EF=2CD.
    ∴线段EF的最小值为2.故②错误.
    ③当AD=1时,连接OC,如图所示.
    ∵OA=OC,∠CAB=60°,
    ∴△OAC是等边三角形.
    ∴CA=CO,∠ACO=60°.
    ∵AO=2,AD=1,
    ∴DO=1.
    ∴AD=DO,
    ∴∠ACD=∠OCD=30°,
    ∵点E与点D关于AC对称,
    ∴∠ECA=∠DCA,
    ∴∠ECA=30°,
    ∴∠ECO=90°,
    ∴OC⊥EF,
    ∵EF经过半径OC的外端,且OC⊥EF,
    ∴EF与半圆相切.故③正确.

    ④∵点D与点E关于AC对称,
    点D与点F关于BC对称,
    ∴当点D从点A运动到点O时,
    点E的运动路径AM与AO关于AC对称,
    点F的运动路径NG与AO关于BC对称.
    ∴EF扫过的图形就是图中阴影部分.
    ∴S阴影=2S△AOC=2×ACBC=2.故④错误.

    故答案为①③.
    考点:等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质
    28.2或
    【分析】分,和 确定点M的运动范围,结合抛物线的对称轴与,,共有三个不同的交点,确定对称轴的位置即可得出结论.
    【详解】
    解:由题意得:O(0,0),A(3,4)
    ∵为直角三角形,则有:
    ①当时,
    ∴点M在与OA垂直的直线上运动 (不含点O);如图,

    ②当时,,
    ∴点M在与OA垂直的直线上运动 (不含点A);
    ③当时,,
    ∴点M在与OA为直径的圆上运动,圆心为点P,
    ∴点P为OA的中点,

    ∴半径r=
    ∵抛物线的对称轴与x轴垂直
    由题意得,抛物线的对称轴与,,共有三个不同的交点,
    ∴抛物线的对称轴为的两条切线,
    而点P到切线,的距离 ,

    ∴直线的解析式为:;直线的解析式为:;
    ∴或4
    ∴或-8
    故答案为:2或-8
    【点拨】本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有圆的切线的判定,直角三角形的判定,综合性较强,有一定难度.运用数形结合、分类讨论是解题的关键.
    29.∠BAE=∠C或∠CAF=∠B
    【解析】
    所填写的条件只需要使EF垂直于过点A的半径即可.
    故答案为∠BAE=∠C或∠CAF=∠B.
    30.60
    【解析】
    【分析】由已知可求得∠OAB的度数,因为OA⊥AC,AC才能成为⊙O的切线,从而可求得∠CAB的度数.
    【详解】
    ∵△AOB中,OA=OB,∠AOB=120°,
    ∴∠OAB=30°,
    ∴当∠CAB的度数等于60°时,OA⊥AC,AC才能成为⊙O的切线.
    故答案为:60
    【点拨】本题考查了切线的判定,掌握切线的判定定理是解答此题的关键.
    31.4
    【解析】试题解析:如图,设切点为M,连接OM,
    ∴OM⊥AB,∵OM=2,∠B=30°,∴OB=4.【点拨】本题主要考查切线的性质、含30度角的直角三角形,关键在于根据题意画出图形,然后作出辅助线OM.
    32.或
    【详解】
    结合,只需,根据是的中点,只需即可;或要使,则连接,只需,根据等腰三角形的三线合一即可.

    33.经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
    【解析】
    作PD⊥BC,如图所示:

    ∵BF平分∠ABC,∠A=90°
    ∴PA=PD,
    ∴PD是⊙P的半径,
    ∴D在⊙P上,
    ∴BC是⊙P的切线.
    故答案是:经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
    【点拨】复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了切线的判定.
    34.6
    【解析】
    【分析】根据切线的判定定理当∠BCA=90°时,AC是⊙O的切线,然后根据勾股定理计算AC.
    【详解】
    ∵⊙O的半径为4 cm,
    ∴BC=8cm,
    ∵BC是直径,
    ∴∠BCA=90°时,AC是⊙O的切线,
    ∴.
    故答案为6.
    【点拨】本题考查了切线的判定:过半径的外端点与半径垂直的性质为圆的切线.也考查了勾股定理.
    35.6
    【解析】
    【分析】若AC是是⊙O的切线,则∠C=90°,然后根据勾股定理即可求出AC的长.
    【详解】
    ∵⊙O的半径为4 cm,
    ∴BC=10 cm,
    若AC是是⊙O的切线,则∠C=90°,
    ∴.
    故答案为:6.
    【点拨】本题考查了切线的判定方法,如果直线与圆只有一个公共点,这时直线与圆的位置关系叫做相切,这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点;经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
    36..
    【分析】先利用勾股定理求出AB=10,进而求出CD=BD=5,再求出CF=4,进而求出DF=3,再判断出FG⊥BD,利用面积即可得出结论.
    【详解】
    如图,

    在Rt△ABC中,根据勾股定理得,AB=10,
    ∴点D是AB中点,
    ∴CD=BD=AB=5,
    连接DF,
    ∵CD是⊙O的直径,
    ∴∠CFD=90°,
    ∴BF=CF=BC=4,
    ∴DF==3,
    连接OF,
    ∵OC=OD,CF=BF,
    ∴OF∥AB,
    ∴∠OFC=∠B,
    ∵FG是⊙O的切线,
    ∴∠OFG=90°,
    ∴∠OFC+∠BFG=90°,
    ∴∠BFG+∠B=90°,
    ∴FG⊥AB,
    ∴S△BDF=DF×BF=BD×FG,
    ∴FG=,
    故答案为.
    【点拨】此题主要考查了直角三角形的性质,勾股定理,切线的性质,三角形的中位线定理,三角形的面积公式,判断出FG⊥AB是解本题的关键.
    37.144
    【分析】根据正多边形内角和公式可求出、,根据切线的性质可求出、,从而可求出,然后根据圆弧长公式即可解决问题.
    【详解】
    解:五边形ABCDE是正五边形,

    AB、DE与相切,


    故答案为144.
    【点拨】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键.
    38.57
    【分析】连接OE,OF,由切线的性质可得OE⊥AB,OF⊥AC,由四边形内角和定理可求∠EOF=114°,即可求∠EPF的度数.
    【详解】
    解:连接OE,OF,
    ∵⊙O分别切∠BAC的两边AB,AC于点E,F
    ∴OE⊥AB,OF⊥AC
    又∵∠BAC=66°
    ∴∠EOF=114°
    ∵∠EOF=2∠EPF
    ∴∠EPF=57°
    故答案为57.

    【点拨】本题考查了切线的性质,圆周角定理,四边形内角和定理,熟练运用切线的性质是本题的关键.
    39.25
    【分析】先由切线的性质可得∠OAC=90°,再根据三角形的内角和定理可求出∠AOD=50°,最后根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”即可求出∠B的度数.
    【详解】
    解:∵是的切线,
    ∴∠OAC=90°
    ∵,
    ∴∠AOD=50°,
    ∴∠B=∠AOD=25°
    故答案为:25.
    【点拨】本题考查了切线的性质和圆周角定理,掌握圆周角定理是解题的关键.
    40. 3或
    【分析】分两种情况:与直线CD相切、与直线AD相切,分别画出图形进行求解即可得.
    解:如图1中,当与直线CD相切时,设,

    在中,,


    ,;
    如图2中当与直线AD相切时,设切点为K,连接PK,则,四边形PKDC是矩形,


    ,,
    在中,,
    综上所述,BP的长为3或.
    【点拨】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识,会用分类讨论的思想思考问题,会利用参数构建方程解决问题是关键.
    41.9.
    【分析】根据切线的性质得出BE=BD,DC=CF,进而解答即可.
    【详解】
    解:∵⊙O切△ABC的BC于D,切AB、AC的延长线于E、F,
    ∴BE=BD,DC=CF,AF=AE,
    ∵△ABC的周长为18,
    即AC+BC+AB=AB+DB+DC+AC=AB+BE+AC+CF=18,
    ∴AE+AF=18,
    ∴AE=9,
    故答案为:9.
    【点拨】本题考查的知识点是切线的性质,根据切线的性质得出BE=BD,DC=CF,AF=AE是解此题的关键.
    42.3
    【分析】根据勾股定理求得AC=5,证得AB是切线,根据切线长定理得出AE=AB=3,即可求得EC=2,然后根据切割线定理即可求得CD,进而求得BD.
    【详解】
    ∵Rt△ABC中,∠ABC=Rt∠,AB=3,BC=4,
    ∴AC==5,
    ∵BD为直径,BD⊥AB,
    ∴AB是圆的切线,
    ∴AE=AB=3,
    ∴CE=2,
    ∵CE2=CD•BC,即22=CD•4,
    ∴CD=1,
    ∴BD=3,
    故答案为3.
    【点拨】本题考查了切线的性质,勾股定理的应用,切割线定理,熟练掌握性质定理是解题的关键.
    43.44°
    【分析】首先连接OB,由点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,根据等角的余角相等,易证得∠CBP=∠CPB,利用等腰三角形的性质解答即可.
    【详解】
    连接OB,

    ∵BC是⊙O的切线,
    ∴OB⊥BC,
    ∴∠OBA+∠CBP=90°,
    ∵OC⊥OA,
    ∴∠A+∠APO=90°,
    ∵OA=OB,∠OAB=22°,
    ∴∠OAB=∠OBA=22°,
    ∴∠APO=∠CBP=68°,
    ∵∠APO=∠CPB,
    ∴∠CPB=∠ABP=68°,
    ∴∠OCB=180°-68°-68°=44°,
    故答案为44°
    【点拨】此题考查了切线的性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
    44.
    【分析】如图:连接OP、OQ,根据,可得当OP⊥AB时,PQ最短;在中运用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求得AB、AQ的长,然后再运用等面积法求得OP的长,最后运用勾股定理解答即可.
    【详解】
    解:如图:连接OP、OQ,
    ∵是的一条切线
    ∴PQ⊥OQ

    ∴当OP⊥AB时,如图OP′,PQ最短
    在Rt△ABC中,
    ∴AB=2OB=,AO=cos∠A·AB=
    ∵S△AOB=
    ∴,即OP=3
    在Rt△OPQ中,OP=3,OQ=1
    ∴PQ=.
    故答案为.

    【点拨】本题考查了切线的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点,此正确作出辅助线、根据勾股定理确定当PO⊥AB时、线段PQ最短是解答本题的关键.
    45.5
    【解析】
    【分析】如图所示:由切线长定理可知:BE=BD=3,CD=CF=2,AE=AF,然后根据△ABC的周长为14求解即可.
    【详解】
    解:如图所示:

    由切线长定理可知:BE=BD=3,CD=CF=2,AE=AF.
    设AE=AF=x.
    根据题意得:2x+3+3+2+2=14.
    解得:x=2.
    ∴AE=2.
    ∴AB=BE+AE=3+2=5.
    故答案为;5.
    【点拨】本题主要考查的是三角形的内切圆,利用切线长定理得到BE=BD=3,CD=CF=2,AE=AF是解题的关键.
    46.52
    【解析】
    【分析】利用圆外切四边形的性质定理可以得出,四边形的周长是对边和的2倍,即可得.
    【详解】
    根据圆外切四边形的性质定理可以得出,四边形的周长是对边和的2倍,
    ∴AB+BC+CD+AD=52
    故填:52
    【点拨】此题主要考查了圆外切四边形的性质,对边和相等.
    47.
    【分析】先由勾股定理求出AB的长,再根据切线性质和正方形的判定这证得四边形OECF是正方形,然后利用切线长定理求得半径r即可.
    【详解】
    如图,

    ∵在,,,
    ∴由勾股定理得:,
    ∵圆O为的内切圆,
    ∴,;
    四边形是正方形;
    由切线长定理,得:,,;

    即:,
    故答案为:2.
    【点拨】本题考查了切线的性质、正方形的判定与性质、切线长定理、勾股定理,熟练掌握切线性质和切线长定理是解答的关键.
    48.16
    【分析】根据切线长定理,即可得到PA=PB,CD=AD,CE=BE,从而求得三角形的周长.
    【详解】
    解:∵PA、PB切⊙O于A、B,DE切⊙O于C,
    ∴PA=PB=8,CD=AD,CE=BE;
    ∴△PDE的周长=PD+PE+CD+CE=2PA=16(cm).
    故填:16.
    【点拨】此题主要是考查了切线长定理,解题的关键是熟知切线长定理的运用.
    49.(1)见解析;(2)
    【分析】(1)连接,根据等腰三角形的性质得到,求得,根据三角形的内角和得到,于是得到是的切线;
    (2)连接,推出是等边三角形,得到,求得,得到,于是得到结论.
    【详解】
    (1)证明:连接,
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴是的切线;
    (2)解:连接,
    ∵,
    ∴是等边三角形,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴的半径.

    【点拨】本题考查了切线的判定和性质,等腰三角形的性质,等边三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
    50.(1)AC=5,AD=5;(2)直线PC与⊙O相切
    【分析】(1)、连接BD,根据AB为直径,则∠ACB=∠ADB=90°,根据Rt△ABC的勾股定理求出AC的长度,根据CD平分∠ACB得出Rt△ABD是等腰直角三角形,从而得出AD的长度;(2)、连接OC,根据OA=OC得出∠CAO=∠OCA,根据PC=PE得出∠PCE=∠PEC,然后结合CD平分∠ACB得出∠ACE=∠ECB,从而得出∠PCB=∠ACO,根据∠ACB=90°得出∠OCP=90°,从而说明切线.
    【详解】
    解:(1)、①如图,连接BD, ∵AB是直径
    ∴∠ACB=∠ADB=90°,
    在RT△ABC中,AC=
    ②∵CD平分∠ACB, ∴AD=BD,∴Rt△ABD是直角等腰三角形
    ∴AD=AB=×10=5cm;
    (2)、直线PC与⊙O相切,
    理由:连接OC, ∵OC=OA
    ∴∠CAO=∠OCA
    ∵PC=PE
    ∴∠PCE=∠PEC,
    ∵∠PEC=∠CAE+∠ACE
    ∵CD平分∠ACB
    ∴∠ACE=∠ECB
    ∴∠PCB=∠ACO
    ∵∠ACB=90°,
    ∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°, OC⊥PC,
    ∴直线PC与⊙O相切.

    考点:(1)、勾股定理;(2)、直线与圆的位置关系.
    51.(1)BF=10;(2)r=2.
    【分析】(1)设BF=BD=x,利用切线长定理,构建方程解决问题即可.
    (2)证明四边形OECF是矩形,推出OE=CF即可解决问题.
    【详解】
    解:(1)在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AB=13,BC=12,
    ∴AC===5,
    ∵⊙O为Rt△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,
    ∴BD=BF,AD=AE,CF=CE,
    设BF=BD=x,则AD=AE=13﹣x,CFCE=12﹣x,
    ∵AE+EC=5,
    ∴13﹣x+12﹣x=5,
    ∴x=10,
    ∴BF=10.
    (2)连接OE,OF,
    ∵OE⊥AC,OF⊥BC,
    ∴∠OEC=∠C=∠OFC=90°,
    ∴四边形OECF是矩形,
    ∴OE=CF=BC﹣BF=12﹣10=2.
    即r=2.

    【点拨】本题考查三角形的内心,勾股定理,切线长定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
    52.的周长是.
    【分析】根据切线长定理得出PA=PB,EB=EQ,FQ=FA,代入PE+EF+PF=PE+EQ+FQ+PF即可求出答案.
    【详解】
    ∵PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A、B,
    ∴PA=PB=12cm,
    ∵过Q点作⊙O的切线,交PA、PB于E、F点,
    ∴EB=EQ,FQ=FA,
    ∴△PEF的周长是:PE+EF+PF=PE+EQ+FQ+PF,
    =PE+EB+PF+FA=PB+PA=12+12=24,
    答:△PEF的周长是24cm.
    【点拨】本题主要考查对切线长定理的理解和掌握,能根据切线长定理得出PA=PB、EB=EQ、FQ=FA是解此题的关键.
    53.(1)见解析;(2)①3;②45.
    【分析】(1)证出EC为⊙O的切线;由切线长定理得出EC=ED,再求得EB=ED,即可得出结论;
    (2)①由含30°角的直角三角形的性质得出AB,由勾股定理求出BC,再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出DE;
    ②由等腰三角形的性质,得到∠ODA=∠A=45°,于是∠DOC=90°然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形,即可得到结论.
    【详解】
    (1)证明:连接DO.

    ∵∠ACB=90°,AC为直径,
    ∴EC为⊙O的切线;
    又∵ED也为⊙O的切线,
    ∴EC=ED,
    又∵∠EDO=90°,
    ∴∠BDE+∠ADO=90°,
    ∴∠BDE+∠A=90°
    又∵∠B+∠A=90°,
    ∴∠BDE=∠B,
    ∴BE=ED,
    ∴BE=EC;
    (2)解:①∵∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,
    ∴AB=2AC=4,
    ∴BC==6,
    ∵AC为直径,
    ∴∠BDC=∠ADC=90°,
    由(1)得:BE=EC,
    ∴DE=BC=3,
    故答案为3;
    ②当∠B=45°时,四边形ODEC是正方形,理由如下:
    ∵∠ACB=90°,
    ∴∠A=45°,
    ∵OA=OD,
    ∴∠ADO=45°,
    ∴∠AOD=90°,
    ∴∠DOC=90°,
    ∵∠ODE=90°,
    ∴四边形DECO是矩形,
    ∵OD=OC,
    ∴矩形DECO是正方形.
    故答案为45.
    【点拨】本题考查了圆的切线性质、解直角三角形的知识、切线长定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.



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