2021年河北省石家庄市九年级上学期数学期中试题含答案

这是一份2021年河北省石家庄市九年级上学期数学期中试题含答案，共15页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 九年级上学期数学期中试卷
一、单项选择题
1.为筹备班级联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果做了民意调查，然后决定买什么水果，最值得关注的应该是统计调查数据的〔   〕
A. 中位数                                  B. 平均数                                  C. 众数                                  D. 方差
2.以下方程中，一定是关于 的一元二次方程的是〔   〕
A.              B.              C.              D. 
3.线段a＝4，b＝16，线段c是线段a ， b的比例中项，那么线段c的长为〔   〕
A. 10                                         B. 8                                         C. －8                                         D. ±8
4.数据 ， ，0，1，2的方差是〔   〕
A. 0                                          B.                                           C. 2                                          D. 4
5.如图，是一个简单的数值运算程序，那么输入x的值为〔   〕

A.                        B.                        C. 或                        D. 无法确定
6.用配方法解一元二次方程 时，原方程可变形为〔   〕
A.                      B.                      C.                      D. 
7.如图，在 中， ， ， ， ，那么 的长为〔   〕

A. 1                                           B. 2                                           C. 4                                           D. 6
8.如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是 ，堤高BC=10m，那么坡面AB的长度是〔 〕

A. 15m                                 B.                                  C. 20m                                 D. 
9.关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是〔   〕
A. k＞﹣1                               B. k≥﹣1                               C. k≠0                               D. k＜1且k≠0
10.如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，以下用线段比表示cosα的值，错误的选项是〔   〕

A.                                      B.                                      C.                                      D. 
11.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，假设S△DOE：S△COA=1：25，那么S△BDE与S△CDE的比是〔　　〕

A. 1：3                                   B. 1：4                                   C. 1：5                                   D. 1：25
12.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是〔  〕

A. 50〔1+x〕2=182                                              B. 50+50〔1+x〕+50〔1+x〕2=182
C. 50(1+2x)＝182                                                  D. 50+50〔1+x〕+50〔1+2x〕=182
13.如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，假设渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，那么B、C之间的距离为〔   〕

A. 20海里                           B. 10 海里                           C. 20 海里                           D. 30海里
14.如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处AB=8，BC=10，那么tan∠EFC的值为〔   〕

A.                                           B.                                           C.                                           D. 
15.在如下列图的象棋盘〔各个小正方形的边长均相等〕中，根据“马走日〞的规那么，“马〞应落在以下哪个位置处,能使“马〞、“车〞、“炮〞所在位置的格点构成的三角形与“帅〞、“相〞,“兵〞所在位置的格点构成的三角形相似〔  〕

A. ①处                                     B. ②处                                     C. ③处                                     D. ④处
16.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．斜坡的坡角为300 ， 同一时 刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，那么树的高度为〔   〕

A. 米                             B. 12米                             C. 米                             D. 10米
二、填空题
17. ，那么 的值为      
18.计算： ________．
19.如图，有－块形状为 的斜板余料． ， ， ，要把它加工成一个形状为 的工件，使 在 上， ， 两点分别在 ， 上，且 ，那么 的面积为________ ．

20.如下列图，在 中， ， ， ，点 从 开始沿 边向点 以 的速度移动；点 从 开始沿 边向点 以 的速度移动，如果 ， 同时出发，用 表示时间 ，那么当x=________s时，以 ， ， 为顶点的三角形与 相似．

三、解答题
21.解方程：
〔1〕；
〔2〕
22.某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型， ：4棵； ：5棵； ：6棵； ：7棵．将各类的人数绘制成扇形统计图和条形统计图〔如下列图〕，经确认扇形统计图是正确的，而条形统计图尚有一处错误．

答复以下问题：
〔1〕.写出条形统计图中存在的不符合题意，并说明理由；
〔2〕.写出这20名学生每人植树量的众数、中位数；
〔3〕.在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的：
第一步：求平均数的公式是 ；
第二步：在该问题中， ， ， ， ， ；
第三步： 〔棵〕．
①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？
②请你帮他计算出正确的平均数，并估这260名学生共植树多少棵．
23.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．

〔1〕.求证：△ADF∽△DEC；

〔2〕.假设AB=8，AD=6 ，AF=4 ，求AE的长．

24.一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购置力一批树苗，园林公司规定：如果购置树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购置树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购置了多少棵树苗？

25.去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路〔即图中的线段AB〕，经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问方案修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？〔 ≈1.732〕

26.如图

问题背景如图〔1〕， ，求证： ；
尝试应用如图〔2〕，在 和 中， ， ， 与 相交于点 ，点 在 边上， ，求 的值〔提示；连接 〕；
拓展创新如图〔3〕， 是 内一点， ， ， ， ，直接写出 的长．


答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然是为筹备班级的初中毕业联欢会做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数．
故答案为：C．

【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的含义，分别判断得到答案即可。
2.【答案】 D
【解析】【解答】解：A、a=0时，是一元一次方程，故A不符合题意；
B、是二元二次方程，故B不符合题意；
C、是一元一次方程，故C不符合题意；
D、是一元二次方程方程，故D符合题意；
故答案为：D．

【分析】根据一元二次方程的含义，判断得到答案即可。
3.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵线段c是a、b的比例中项，
∴c2=ab=64，
解得c=±8，
又∵线段是正数，
∴c=8．
故答案为：B．

【分析】根据题意由比例中项的性质，计算得到c的平方，继而求出c的长度即可。
4.【答案】 C
【解析】【解答】解：平均数 = 〔-2-1+0+1+2〕=0，
那么方差S2= [〔-2-0〕2+〔-1-0〕2+〔0-0〕2+〔1-0〕2+〔2-0〕2]=2．
故答案为：C．

【分析】根据方差的含义，计算得到答案即可。
5.【答案】 C
【解析】【解答】由题意得： ，
，
，
，
即 或 ，
故答案为：C．

【分析】根据题意，将运算程序转化为方程，令方程的值为-9，求出x的值即可。
6.【答案】 B
【解析】【解答】 ， ， ．
故答案为：B．
【分析】一元二次方程移项后两边配上一次项系数一半的平方即可作答．
7.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，即 ，
解得：EC=2，
∴AC=AE+EC=4+2=6；
故答案为：D．

【分析】根据平行线分线段成比例，即可得到答案。
8.【答案】 C
【解析】【解答】∵Rt△ABC中，BC=10m，tanA= ，
∴AC=BC÷tanA= m．
∴AB=  m。
故答案为：C。
【分析】在直角△ABC中利用正切三角函数关系求出AC的长度，进而利用勾股定理求出AB的长。
9.【答案】 D
【解析】【解答】在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足以下条件：〔1〕二次项系数不为零；〔2〕在有不相等的实数根时，必须满足△=b2-4ac＞0
故：依题意列方程组
，
解得k＜1且k≠0．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根，可得判别式△=b2-4ac＞0且k≠0，据此解答即可.
10.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD，
∴∠α=∠ACD，
∴cosα=cos∠ACD= = = ，
只有选项C错误，符合题意．
应选：C．
【分析】利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
11.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，
∴ = ，
∴DE∥AC，
∴ = = ，
∴ = ，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，
应选：B．
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到 = ， = = ，结合图形得到 = ，得到答案．此题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
12.【答案】 B
【解析】【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×〔1+增长率)，如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．

【解答】依题意得五、六月份的产量为50〔1+x)、50〔1+x)2 ，
∴50+50〔1+x)+50〔1+x)2=182．
应选B．
【点评】增长率问题，一般形式为a〔1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
13.【答案】 C
【解析】【解答】如图，

∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE，
∴∠DAB=15°，
∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．
又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB，∠CBA+∠ABE=∠CBE，
∴∠CBA=45°．
∴在直角△ABC中，sin∠ABC= = = ，
∴BC=20 海里．
故答案为：C．
【分析】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意易求△ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度即可得到答案．
14.【答案】 A
【解析】【解答】解：根据题意可得：在Rt△ABF中，有AB=8，AF=AD=10，BF=6，
而Rt△ABF∽Rt△EFC，故有∠EFC=∠BAF，故tan∠EFC=tan∠BAF= = ．
应选A．
【分析】根据折叠的性质和锐角三角函数的概念来解决．
15.【答案】 B
【解析】【解答】解：“帅〞、“相〞、“兵〞所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为 ； 
“车〞、“炮〞之间的距离为1，“炮〞②之间的距离为 ，“车〞②之间的距离为2 ， 
∵
∴马应该落在②的位置，
故答案为：B
【分析】根据方格纸的特点及勾股定理可以算出“帅〞、“相〞、“兵〞所在位置的格点构成的三角形的三边的长及马走到②位置后， “马〞、“车〞、“炮〞所在位置的格点构成的三角形三边的长，根据三边对应成比例的三角形是相似三角形即可判断这两个三角形相似。
 
16.【答案】 A
【解析】【解答】延长AC交BF延长线于E点，那么∠CFE=30°．

作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，
∴CE=2，EF=4cos30°=2 ，
在Rt△CED中，CE=2，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4．
∴BD=BF+EF+ED=12+2 ．
∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2，
∴在Rt△ABD中，AB= BD= ．
故答案为：A．

【分析】延长AC交BF的延长线于点D，BD即为AB的影长，根据物长和影长的比值计算得到答案即可。
二、填空题
17.【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
∴y=3x，
∴ = ，
故答案是： ．

【分析】根据题意，用x表示y，代入代数式，计算得到答案即可。
18.【答案】
【解析】【解答】解： ．
故答案为： ．

【分析】根据特殊角的锐角三角函数值，化简式子，运算得到答案即可。
19.【答案】 12
【解析】【解答】如图示，作 交BC于H点，交DE于I点，

∵
∴
∵ ， ，
∴ 是 中线，
∴ ，
又∵ ，
即有 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：12

【分析】根据勾股定理求出BC的长度，继而利用相似三角形的判定和性质得到平行四边形DGFE的高，进而求出答案即可。
20.【答案】 或3
【解析】【解答】∵在 中， ， ， ，
∴OB2＝AB2−OA2 ，
∴OB＝6，
当△OPQ∽△OAB时， ，即 ，解得x＝3；
当△OPQ∽△OBA时， ，即 ，解得x＝
综上所述，当x＝3或 时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似．
故答案为： 或3．

【分析】根据题意，由△OPQ∽△OAB和△OPQ∽△OBA两种情况进行分类讨论，得到答案即可。
三、解答题
21.【答案】 〔1〕解：



∴

〔2〕解：



∴
【解析】【分析】〔1〕利用配方法解一元二次方程即可；
〔2〕利用提公因式法解一元二次方程即可。
22.【答案】 〔1〕解：类型 错误，理由如下：
 〔名〕，而条形统计图中，类型 的人数是3名，故类型 不符合题意；

〔2〕解：众数为5棵，中位数为5棵．
〔3〕解：①第二步．
② 〔棵〕．
〔棵〕．
故估计这260名学生共植树1378棵．
【解析】【分析】〔1〕根据题意可知，条形统计图中D的人数错误；
〔2〕根据条形和扇形统计图即可得到众数和中位数；
〔3〕①由题意可知，小宇的分析第二步开始出现错误；
②求出正确的平均数，乘以260即可得到答案。
23.【答案】 〔1〕证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C．
在△ADF与△DEC中，

∴△ADF∽△DEC

〔2〕解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．由〔1〕知△ADF∽△DEC，∴ ，∴DE= = =12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE= = =6
【解析】【分析】〔1〕由平行四边形得出两组对边分别平行证出AB∥CD，AD∥BC，得出∠ADF=∠DEC。及∠C+∠B=180°，再由∠AFE=∠B．证明∠AFD=∠C．可证得△ADF∽△DEC 。
〔1〕由△ADF∽△DEC，得出对应边成比例，即可求出DE的长，，再利用勾股定理求出AE的长。
24.【答案】 解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元< 8800元，
所以该校购置树苗超过60棵，设该校共购置了x棵树苗，由题意得:
x[120-0.5〔x-60〕]=8800，
解得: x1=220 , x2=80.
当x=220时, 120-0.5× ( 220-60) =40< 100 ,
∴x=220〔不合题意，舍去〕;
当x=80时, 120-0.5× ( 80-60) =110> 100 ,
∴x=80 .
答：该校共购置了80棵树苗.
【解析】【分析】根据设该校共购置了x棵树苗，由题意得：x[120﹣0.5〔x﹣60〕]=8800，解出即可.
 

25.【答案】 解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．因为∠B＝45°，所以∠BCD＝45°．所以CD＝BD．

设CD＝BD＝x，因为∠A＝30°，所以AC＝ ＝2x．
由勾股定理，得AD＝ = ．
由AD＋BD＝2，得 x＋x＝2，
所以x＝ －1．
所以CD＝ －1≈0.732＞0.7．
所以公路不会穿过公园．
【解析】【分析】根据题意，判断公路是否穿过公园，只要求出点C到AB的的垂线段的长度，和半径进行比较求出答案即可。
26.【答案】 解：问题背景
证明：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
尝试应用
解：如图1，连接 ，

∵ ， ，
∴ ，
由〔1〕知 ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
拓展创新
如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，

∵∠BAD=30°，
∴∠DAM=60°，
∴∠AMD=30°，
∴∠AMD=∠DBC，
又∵∠ADM=∠BDC=90°，
∴△BDC∽△MDA，
,
又∠BDC=∠ADM，
∴∠BDC+∠CDM=∠ADM+∠CDM，
即∠BDM=∠CDA，
∴△BDM∽△CDA，
=
∵AC=2 ，
∴BM=2 × =6，
∴AM= = =2 ,
．
【解析】【分析】〔1〕根据相似三角形的判定定理，结合题意，证明得到答案即可；
〔2〕根据题目，证明得到△ABC∽△ADE，根据〔1〕中相似三角形的结论，求出答案即可；
〔3〕证明△BDC∽△MDA，由相似三角形的性质，求出BM=6，继而由直角三角形的性质求出AD的长度即可。