2021年河北省石家庄市九年级上学期数学期中试卷 (2)含答案

这是一份2021年河北省石家庄市九年级上学期数学期中试卷 (2)含答案，共21页。试卷主要包含了填空题，单项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 九年级上学期数学期中试卷
一、填空题
1. ，那么 ________．
2.如图，添加一个条件:________，使△ADE∽△ACB，〔写出一个即可〕

3.一元二次方程 的解是________．
4.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，那么∠AOC等于________

5.假设关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，那么m的值为       ．
6.如图，AB为⊙O的直径，∠CAB=30°，那么∠D= ________．

7.某种品牌的 经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3600元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x ， 根据题意列出的方程是________．
8.如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD=OA，CD的延长线交⊙O于点E，假设∠BOE=54°，那么∠C=________．

9.如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，EC//AB，EB//DC，假设△ABE面积为5 ， △ECD的面积为1，那么△BCE的面积是________．

10.关于 的方程 的解是 = ， = 〔 、 、 为常数， 0〕，那么方程 的解是________．
11.如图，ED为△ABC的中位线，点G是AD和CE的交点，过点G作GF∥BC交AC于点F，如果GF＝4，那么线段BC的长是________．

12.如图，⊙O 的半径为3，点A是⊙O 外一点，OA＝6，B是⊙O上的动点，线段AB的中点为P，连接 OA、OP．那么线段 OP的最大值是________．

二、单项选择题
13.一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为〔   〕

A. 〔x﹣3〕2=14                  B. 〔x﹣3〕2=4                  C. 〔x+3〕2=14                  D. 〔x+3〕2=4
14.如图A，B，C是 上的三个点，假设 ，那么 等于〔 〕

A. 50°                                     B. 80°                                     C. 100°                                     D. 130°
15.如图，小正方形的边长均为1，那么以下列图中的三角形〔阴影局部〕与 相似的是〔   〕

A.                    B.                    C.                    D. 
16.扬帆中学有一块长 ，宽 的矩形空地，方案在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如下列图，求花带的宽度．设花带的宽度为 ，那么可列方程为〔    〕

A.                           B. 
C.                              D. 
17.如图，⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，假设∠AOB与∠COD互补，弦CD=4，那么弦AB的长为〔   〕

A.                                      B.                                      C.                                      D. 
18.如图，在 中， ， ， .点P是边AC上一动点，过点P作 交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分 时，AP的长度为〔    〕

A.                                       B.                                       C.                                       D. 
三、解答题
19.解以下方程：
〔1〕
〔2〕
20.：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．

〔1〕求证：△ABC∽△DAE；
〔2〕假设AB=8，AD=6，AE=12，求BC的长．
21.如图，⊙O的弦AB，E，F是弧AB上两点，弧AE=弧BF，OE、OF分别交于AB于C、D两点，求证：AC=BD．

22.：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0

〔1〕不解方程，判别方程根的情况；

〔2〕假设方程有一个根为3，求m的值．

23.如图，在 网格图中， 与 是位似图形．

〔1〕假设在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为 ，点 的坐标为 ，写出点B的坐标；
〔2〕以点A为位似中心，在网格图中作 ，使 和 位似，且位似比为 1：2；
〔3〕在图上标出 与 的位似中心P ， 并写出点P的坐标，计算四边形ABCP的周长．
24.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．

〔1〕利用直尺和圆规按以下要求作图，并在图中标明相应的字母．〔保存作图痕迹，不写作法〕
①作AC的垂直平分线，交AB于点O，交AC于点D；②以O为圆心，OA为半径作圆，交OD的延长线于点E．
〔2〕在〔1〕所作的图形中，解答以下问题．①判断点B与⊙O的位置关系并说明理由；②假设DE=2，AC=8，求⊙O的半径．
25.山水旅行社的一那么广告如下：我社组团去A风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于550元，某公司组织一批员工到A风景区旅游，支付给旅行社28000元．
〔1〕该公司的人数________30人〔填“大于、小于或等于〞〕
〔2〕求该公司的人数．
26.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，王华的身高是1.5米．

〔1〕求路灯A的高度；
〔2〕当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是多少？
27.：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D〔BD > CD〕，在劣弧 上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H．

〔1〕求证：AC⊥BH；
〔2〕假设∠ABC＝45°，⊙O的直径等于 ，BC＝10，求CE的长．
28.在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，E是AD上的一点，且AE=2，M是AB上一点，射线ME交CD的延长线于点F，EG⊥ME交BC于点G，连接MG、FG，FG交AD于点N．

〔1〕当点M为AB中点时，求DF与EG的长；
〔2〕在整个运动过程中， 的值是否会变化，假设不变，求出它的值；假设变化，请说明理由；
〔3〕假设△EGN为等腰三角形时，请直接写出所有满足条件的AM的长度．

答案解析局部
一、填空题
1.【答案】
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
故答案为： ．

【分析】根据比例的性质求解即可。
2.【答案】 ∠ADE=∠ACB〔答案不唯一〕
【解析】【解答】相似三角形的判定有三种方法:①三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似。由此可得出可添加的条件:
由题意得，∠A=∠A〔公共角〕，
那么添加:∠ADE=∠ACB或∠AED=∠ABC，利用两角法可判定△ADE∽△ACB；
添加: ，利用两边及其夹角法可判定△ADE∽△ACB。
答案不唯一。

【分析】根据相似三角形的三种判定方法“①三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似〞可得出可添加的条件。
3.【答案】 x1＝3，x2＝﹣3
【解析】【解答】∵
∴ =9，
∴x=±3，
即x1＝3，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．

【分析】将常数项移到方程的右边，然后利用直接开平方法即可求出方程的解。
4.【答案】 100°
【解析】【解答】在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角等于圆周角度数的2倍.根据题意可得：∠AOC=2∠ABC=2×50°=100°.
【分析】根据圆周角的性质：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
5.【答案】 -1
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=0，
即：22﹣4〔﹣m〕=0，
解得：m=﹣1，
故答案为：答案为﹣1．
【分析】由一元二次方程有两个相等的 实数根，那么根的判别式等于0，从而得出方程，求解得出m的值。
6.【答案】 60°
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=30°，
∴∠B=60°，
∴∠D=60°，
故答案为：60°．

【分析】利用圆周角及三角形内角和定理求出∠B，再利用同弧所对圆周角相等求解。
7.【答案】 3600〔1-x〕2 =2500
【解析】【解答】解：四月份的售价为3600×〔1-x〕，
五月份的售价为3600〔1-x〕2 ，
∴方程为3600〔1-x〕2 =2500，
故答案为3600〔1-x〕2 =2500．

【分析】利用含x的表达式表示出两次下降后的价格，再列出等量关系式即可。
8.【答案】 18°
【解析】【解答】连接OD，

∵CD=OA=OD，
∴∠C=∠DOC，
∴∠ODE=∠C+∠DOC=2∠C，
∵OD=OE，
∴∠E=∠EDO=2∠C，
∴∠EOB=∠C+∠E=3∠C=54°，
∴∠C=18°，
故答案为：18°．

【分析】利用圆半径相等得到角相等，再利用三角形的外角求解即可。
9.【答案】
【解析】【解答】∵EC∥AB，
∴∠A=∠CED，
∵EB∥DC
∴∠AEB=∠D，
∴△ABE∽△ECD，
∴ ，
∴ ， ，
∵△ABE以AB为底边的高与△BCE以CE为底的高相等，
∴ ，

故答案为： ．

【分析】利用平行证出△ABE∽△ECD，再利用相似的性质，列出对应边成比例求解即可。
10.【答案】
【解析】【解答】把方程 看作关于 的一元二次方程，
而关于 的方程 的解是 = ， = ，
所以 或 ，
所以 ．
故答案为： ．

【分析】利用换元法求解一元二次方程，将x+1当作整体代入求解。
11.【答案】 12
【解析】【解答】解：∵ ED为△ABC的中位线
∴DE∥AC，BC=2DC，AC=2DE
∴△EDG∽△CAG
∴
∴AG=2DE，AD=3DG
∵ GF∥BC
∴△AGF∽△ADC
∴
∴
解之：DC=6
∴BC=2×6=12
故答案为：12
【分析】根据三角形中位线定理，就可得到DE∥AC，BC=2DC，AC=2DE，再证明△EDG∽△CAG，可得对应边成比例，可证得AG=2DE，AD=3DG，再由GF∥BC ，可证△AGF∽△ADC，利用相似三角形的性质，易证对应边成比例，就可求出DC的长，然后就可求出BC的长。
12.【答案】
【解析】【解答】如图，连接OB，设OA交⊙O于点T，连接PT．

∵OA=6，OT=3，
∴OT=TA，
∵AP=PB，
∴PT= OB= ，
∵OP≤PT+OT，
∴OP≤ ，
故答案为： ．

【分析】根据点到线的最短距离：垂线段最短求出最小值，再利用两点之间的距离公式求出最大距离即可。
二、单项选择题
13.【答案】 A
【解析】【解答】解：x2﹣6x﹣5=0，

x2﹣6x=5，
x2﹣6x+9=5+9，
〔x﹣3〕2=14，
应选：A．
【分析】先把方程的常数项移到右边，然前方程两边都加上32 ， 这样方程左边就为完全平方式．
14.【答案】 D
【解析】【解答】根据圆周的度数为360°，可知优弧AC的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．
故答案为：D

【分析】由题意，计算得到优弧AC的度数，根据圆周角定理，即可得到∠ABC的度数。
15.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图， ，AC=2， ,
A、三边依次为： ， ，1，
∵ ，∴A选项中的三角形与 不相似；
B、三边依次为： 、 、1，
∵ ，∴B选项中的三角形与 相似；
C、三边依次为：3、 、 ，
∵ ，∴C选项中的三角形与 不相似；
D、三边依次为： 、 、2，
∵ ，∴D选项中的三角形与 不相似；
故答案为：B.
【分析】求出△ABC的三边长，再分别求出选项A、B、C、D中各三角形的三边长，根据三组对应边的比相等判定两个三角形相似，由此得到答案.
16.【答案】 D
【解析】【解答】设花带的宽度为 ，那么可列方程为 ，
故答案为：D．
【分析】根据空白区域的面积 矩形空地的面积可得.
17.【答案】 C
【解析】【解答】解：如图，延长AO交⊙O于T，连接BT．

∵∠AOB+∠BOT=180°，∠AOB+∠COD=180°，
∴∠COD=∠BOT，
∴ ，
∴CD=BT=4，
∵AT是直径，AT=6，
∴∠ABT=90°，
∴AB= = ，
故答案为：C．
【分析】将两个扇形转换成一个直角三角形，再利用直角三角形的性质求解即可。
18.【答案】 B
【解析】【解答】解： ， ， ，
，
，
，又 ，
，
，
，
，
，
，即 ，
解得， ，
。
故答案为：B。
【分析】首先根据勾股定理算出AC的长，根据二直线平行，内错角相等得出，又 ，故， 根据等角对等边得出， 故根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出， 根据相似三角形对应边成比例得出， 根据比例式即可算出CP的长，进而根据AP=CA-CP即可算出答案。
三、解答题
19.【答案】 〔1〕解：∵ ，
∴ ，
那么 ，
∴ 或 ，
解得： ；

〔2〕解：方程整理，得： ，
∵ ， ， ，
∴ ，
那么 ，
即 ．
【解析】【分析】〔1〕利用因式分解，提取公因式解方程即可；〔2〕利用公式法求解即可。
20.【答案】 〔1〕证明： ∵  DE∥AB，
∴ ∠EDA=∠CAB，
∵ ∠B=∠DAE ，
∴ △ABC∽△DAE；

〔2〕解∵ △ABC∽△DAE，
∴ ，
即 ，
∴BC=16．
【解析】【分析】〔1〕利用平行线，证出角相等，进而证出三角形相似；〔2〕利用〔1〕的结论，结合相似三角形的性质列出比例式求解即可。
21.【答案】 解：连接OA、OB，

∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
∵ = ，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD．
【解析】【分析】利用圆的性质得到角、边相等，再利用好“ASA〞证出三角形全等，最后利用全等的性质即可证出边相等。
22.【答案】 〔1〕解答：〔1〕∵a=1，b=2m，c= m2-1，
∵△=b2-4ac=〔2m〕2-4×1×〔m2-1〕=4＞0，
∴方程x2+2mx+m2-1=0有两个不相等的实数根；

〔2〕解：∵x2+2mx+m2-1=0有一个根是3，
∴32+2m×3+ m2-1=0，
解得，m=-4或m=-2．
【解析】【分析】找出方程a ， b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；将x=3代入方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．

23.【答案】 〔1〕解：如图，点B的坐标为〔﹣5，2〕；


〔2〕如图，△AB2C2△为所作；


〔3〕如图，点P为所作，

P点坐标为〔1，2〕，AB= =4 ，BC= =2 ，PC= =2 ，AP= =2 ，所以四边形ABCP的周长=4 +2 +2 +2 =6 +4 ．
故答案为〔﹣5，2〕，〔1，2〕，6 +4 ．
【解析】【分析】〔1〕根据点A、的坐标构造直角坐标系，再写出点B的坐标即可；〔2〕根据位似中心的性质先写出点P的坐标，再利用勾股定理分别求出四边形的边长，进行相加即可。
24.【答案】 〔1〕解：如下列图；


〔2〕解：①点B在⊙O上，理由如下：
连结OC，如图，
∵OD垂直平分AC，
∴OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠A+∠B=90°，∠OCB+∠ACO=90°，
∴∠B=∠OCB，
∴OC=OB，
∴OB=OA，
∴点B在⊙O上；
②∵OD⊥AC，且点D是AC的中点，
∴AD= AC=4，
设⊙O的半径为r，
那么OA=OE=r，OD=OE-DE=r-2，
在Rt△AOD中，∵OA2=AD2+OD2 ，
即r2=42+(r-2)2 ，
解得r=5．
∴⊙O的半径为5．
【解析】【分析】〔1〕根据要求作线段AC的垂直平分线，再做圆即可；〔2〕①先算出点O和点B之间的距离，再跟圆半径比较大小，判断点和圆的位置关系；②利用勾股定理及垂径定理计算即可。
25.【答案】 〔1〕大于
〔2〕解：设该公司的人数为 人，那么人均旅游费为 ，
由题意得： ，
解得： ，
∵ ，
∴ ．
∴ 不合题意，舍去，
∴ ，
答：该公司的人数为40人．
【解析】【解答】解：〔1〕根据题意得30×800=24000＜28000，
所以该公司的人数大于30人，
故答案为：大于；

【分析】〔1〕用30乘以800跟28000比较大小即可；〔2〕根据等量关系式列出方程求解即可。
26.【答案】 〔1〕解：由题可知AB//MC//NE，
∴ , ，而MC=NE
∴
∵CD=1米，EF=2米，BF=BD+4，∴BD=4米，∴AB= =6米
所以路灯A有6米高

〔2〕解：依题意，设影长为x，那么 解得 米
答：王华的影子长 米．
【解析】【分析】〔1〕根据平行线分线段成比例，列出比例式求解即可；〔2〕根据〔1〕的方法列出比例式求解即可。
27.【答案】 〔1〕证明：连接AD

∵AC是⊙O的直径
∴∠ADC=90°
即∠DAC+∠DCA=90°
∵∠EBC＝∠DEC，∠DAC＝∠DEC
∴∠EBC＝∠DAC
∴∠EBC+∠DCA=90°
∴∠BGC=90°
∴AC⊥BH

〔2〕解：∵∠ABC＝45°，∠ADB=90°
∴∠BAD=45°
∴∠BAD=∠ABD
∴AD=BD
设AD=BD=x，CD=10-x，那么
x1=4〔舍〕，x2=6
∴BD=6，CD=4
∵∠EBC＝∠DEC，∠BCE＝∠ECD
∴△CDE∽△CEB
∴
即 ，
∴
【解析】【分析】〔1〕连接AD，利用直径得到直角，再通过角的转化得到结论；〔2〕此题的关键是先证出△CDE∽△CEB，再利用相似的性质得到对应边成比例求解即可。
28.【答案】 〔1〕解：如图，过G作GH⊥AD于H，

∵点M为AB中点，AB=4，
∴AM=2，
∵AE=2，
∴AE=AM=2，
∴DE=10-2=8，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠CDA=90°，
∴∠AEM=∠DEF=45°，
∴DF=DE=8，
∵EG⊥ME，
∴∠MEG=90°，
∴∠HEG=∠EGH=45°，
∴GH=EH=4，
∴EG= GH=4 ，
故答案为：8，4 ；

〔2〕解：在整个运动过程中 的值的值不会变化，理由是：
如图，过点G作GH⊥AD于点H，

∵ME⊥EG，
∴∠AEM+∠GEH=90°，∠HGE+∠GEH=90°，∠AEM=∠FEG，
∴∠AEM=∠HGE，∠HGE=∠FEG，
∴△AME∽△HEG，△FDE∽△EHG，
∴ ， ，
∴tan∠EGM= ，tan∠EFG= ，
∴∠EGM=∠EFG，
∵∠EGF+∠EFG=90°，
∴∠EGF+∠EGM=90°，即∠MGF=90°，
∴tan∠EFG= ；

〔3〕解：设AM=m，那么BM= ，DF= ，
∴CF= ．
由〔2〕得∠MGF=90°，
∴△MBG∽△GCF，
∴ ，
∴ ，
∴CG= ，BG= ．
分三种情况：
ⅰ〕当EG=NG时，如图，过点G作GW⊥AD于点W，
 
同理，△AME∽△WEG，
∴EW=WN=2m，
∴DN= ．
∵DN∥CG，
∴ ，即 ，
解得： 或 (舍去)，
∴AM= ；
ⅱ〕 当EN=NG时，∠NEG=∠NGE．
∵AD∥BC，
∴∠NEG=∠EGB，
∴∠EGB=∠NGE．
如图，过点E作EK⊥BC于点K，那么KG=CK-CG ，

∴tan∠EGK tan∠EGF 2，
∴ 2，
∴ ；
∴AM= ；
ⅲ〕当EN=EG时，如图，∠ENG=∠EGN．

∵AD∥BC，
∴∠ENG=∠NGC，
∴∠EGN=∠NGC．
∴tan∠EGN= =tan∠FGC= =2，
∴ ，
∴ ，
∴AM= ；
综上所述：当AM= 或 或 时，△EGN为等腰三角形．
【解析】【分析】〔1〕过点G作AD的垂线，利用矩形的性质求出DF，再根据等腰直角三角形的性质求解EG即可；〔2〕利用矩形的性质，证明三角形相似，再利用三角形相似的性质求正切值；〔3〕分类讨论，利用△EGN为等腰三角形的性质，求AM的值。