2020-2021学年第六节 共点力的平衡条件及其应用导学案及答案

　动态平衡问题

[学习目标]　1.进一步熟练掌握平衡问题的解法.2.会利用解析法、图解法和相似三角形法分析动态平衡问题.

1.动态平衡：平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向缓慢变化，所以叫动态平衡，这是共点力平衡问题中的一类题型.

2.基本方法：解析法、图解法和相似三角形法.

一、解析法

解题步骤：

(1)列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式.

(2)根据已知量的变化情况确定未知量的变化情况.

质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上.用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图1所示.用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中(　　)

图1

A.F逐渐变大，T逐渐变大

B.F逐渐变大，T逐渐变小

C.F逐渐变小，T逐渐变大

D.F逐渐变小，T逐渐变小

答案　A

解析　以O点为研究对象，受力如图所示，当用水平向左的力缓慢拉动O点时，绳OA与竖直方向的夹角θ变大，由共点力的平衡条件知：T＝，F＝mgtan θ，所以F逐渐变大，T逐渐变大，选项A正确.

(多选)如图2，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态.若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则(　　)

图2

A.绳OO′的张力也在一定范围内变化

B.物块b所受到的支持力也在一定范围内变化

C.连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化

D.物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化

答案　BD

解析　由于物块a、b均保持静止，各绳角度保持不变，对a受力分析得，绳对a的拉力T′＝mag，所以物块a所受绳的拉力保持不变.滑轮两侧绳的拉力大小相等，所以b所受绳的拉力大小、方向均保持不变，C选项错误；a、b所受绳的拉力大小、方向均不变，所以OO′的张力不变，A选项错误；对b进行受力分析，如图所示.由平衡条件得：Tcos β＋f＝Fcos α，Fsin α＋FN＋Tsin β＝mbg，其中T、mbg、β和α始终不变，当F大小在一定范围内变化时，支持力在一定范围内变化，摩擦力也在一定范围内变化，B、D选项正确.

二、图解法

1.适用情况：物体只受三个力作用，且其中一个力的大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化.

2.一般步骤：首先对物体进行受力分析，根据三角形定则将表示三个力的有向线段依次画出，构成一个三角形(先画出大小、方向均不变的力，再画方向不变的力，最后画大小、方向均变化的力)，由题意改变方向变化的力的方向.由动态图解可知力的大小变化情况.

(多选)用绳AO、BO悬挂一个重物，BO水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架上.悬点A固定不动，将悬点B从图3所示位置沿支架逐渐移动到C点的过程中，绳OA和绳OB上的拉力大小的变化情况是(　　)

图3

A.OA绳上的拉力逐渐减小

B.OA绳上的拉力先减小后增大

C.OB绳上的拉力逐渐增大

D.OB绳上的拉力先减小后增大

答案　AD

解析　将AO绳、BO绳的拉力合成，其合力与重物重力等大反向，逐渐改变OB绳拉力的方向，使FB与竖直方向的夹角变小，得到多个平行四边形，如图所示，由图可知FA逐渐减小，且方向不变，而FB先减小后增大，且方向不断改变，当FB与FA垂直时，FB最小，故A、D正确.

针对训练　如图4所示，在倾角为θ的光滑斜面上有一光滑挡板A，在挡板和斜面之间夹一质量为m的重球B，开始板A处于竖直位置，现使其下端绕O沿逆时针方向缓慢转至水平位置，斜面对重球B的支持力和挡板对重球B的弹力的变化情况是(　　)

图4

A.斜面对B的支持力逐渐减小，挡板对B的弹力也逐渐减小

B.斜面对B的支持力逐渐变大，挡板对B的弹力逐渐减小

C.斜面对B的支持力逐渐减小，挡板对B的弹力先变小后变大

D.斜面对B的支持力逐渐减小，挡板对B的弹力先变大后变小

答案　C

解析　分析球的受力，受到重力mg、挡板对球的弹力FA及斜面对球的支持力FB，如图所示，球处于平衡状态，弹力FA与FB的合力F的大小等于重力大小，方向竖直向上.当挡板下端绕O沿逆时针方向缓慢转至水平位置的过程中，可以看出表示弹力FA的边的长度先变小后变大，即弹力FA先变小后变大；表示支持力FB的边的长度一直变短，说明FB一直变小，选项C正确.

三、相似三角形法

1.适用情况：在物体所受的三个力中，一个力是恒力，大小、方向均不变；另外两个力是变力，大小、方向均改变，且方向不总是相互垂直；

2.解题技巧：找到物体受力变化过程中的几何关系，利用力的矢量三角形与几何三角形相似，相似三角形对应边成比例，通过分析几何三角形边长的变化得到表示力的边长的变化，从而得到力的变化.

如图5所示，光滑半球面上的小球(可视为质点)被一绕过光滑小定滑轮的轻绳在力F的作用下由底端缓慢拉到顶端的过程中，试分析F及半球面对小球的支持力FN的变化情况.

图5

答案　见解析

解析　如图所示，作出小球的受力示意图，注意弹力FN总与球面垂直，从图中可得到相似三角形.

设半球面半径为R，定滑轮到球面最高点的距离为h，定滑轮与小球间绳长为L，根据三角形相似得＝＝

联立得绳的拉力F＝mg

半球面对小球的支持力FN＝mg

由于在拉动过程中h、R不变，L变小，故F减小，FN不变.

1.(2020·鹤岗一中高一上学期期末)如图1所示，用绳索将重球挂在竖直墙上，不考虑墙的摩擦，如果把绳的长度增加一些，则绳对球的拉力F1和墙对球的支持力F2的变化情况是(　　)

图1

A.F1增大，F2减小

B.F1减小，F2增大

C.F1和F2都减小

D.F1和F2都增大

答案　C

解析　由图解法可知F1减小，墙对球的支持力F2减小，故选C.

2.如图2所示，一光滑小球静止放置在固定的光滑半球面底端，用竖直放置的光滑挡板水平向右缓慢推动小球，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面)，挡板对小球的推力F1、半球面对小球的支持力F2的变化情况正确的是(　　)

图2

A.F1增大，F2增大  B.F1减小，F2减小

C.F1增大，F2减小   D.F1减小，F2增大

答案　A

3.(2020·辽宁辽河油田第二高级中学高一上期末)如图3所示，小球放在光滑的竖直墙与装有铰链的光滑薄板之间，在墙与薄板之间的夹角θ缓慢地增大到90°的过程中(　　)

图3

A.墙对小球的支持力减小

B.薄板对小球的支持力增大

C.墙对小球的支持力先减小后增大

D.薄板对小球的支持力可能小于球的重力

答案　A

解析　以小球为研究对象，受力分析如图所示.F1为薄板对小球的支持力，F2为墙对小球的支持力.

由图可知，在墙与薄板之间的夹角θ缓慢地增大到90°的过程中，墙对球的支持力F2逐渐减小，薄板对球的支持力F1逐渐减小，由图可知薄板对球的支持力大于或等于球的重力，故A正确，B、C、D错误.

4.如图4所示器材为一秋千，用两根等长轻绳将一座椅悬挂在竖直支架上等高的两点，由于长期使用，导致两根支架向内发生了微小倾斜，如图中虚线所示，但两悬挂点仍等高，座椅静止时所受合力的大小用F表示，F1表示单根轻绳对座椅拉力的大小，则(　　)

图4

A.F不变，F1变小   B.F不变，F1变大

C.F变小，F1变小   D.F变大，F1变大

答案　A

解析　对座椅受力分析，如图所示，座椅静止，受重力和两拉力而平衡，故三个力的合力为零，即F＝0不变，因两悬挂点等高，则F2＝F1＝，支架内倾，θ变小，则F1变小，故选A.

5.(2021·吉林高二期中)如图5所示，光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内，A端与水平面相切.穿在轨道上的小球在拉力F作用下，缓慢地由A向B运动，F始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹力为FN.在运动过程中(　　)

图5

A.F增大，FN增大   B.F减小，FN减小

C.F增大，FN减小   D.F减小，FN增大

答案　C

解析　对小球进行受力分析，它受到重力、支持力和拉力的作用，如图所示：

根据共点力平衡条件有：

FN＝mgcos θ，

F＝mgsin θ，

其中θ为支持力FN与竖直方向的夹角，当小球向上移动时，θ变大，故FN减小，F增大，故选C.

6.(多选)一盏电灯重力为G，悬于天花板上的B点，在电线O处系一细线OA，使电线OB与竖直方向的夹角为β＝30°，OA与水平方向成α角，如图6所示.现保持O点位置不变，使α角由0°缓慢增加到90°，在此过程中(　　)

图6

A.电线OB上的拉力逐渐减小

B.细线OA上的拉力先减小后增大

C.细线OA上拉力的最小值为G

D.细线OA上拉力的最小值为G

答案　ABC

解析　对结点O受力分析，由平衡条件可知，细线OA和电线OB的拉力的合力F′一定竖直向上，与T平衡.当α角由0缓慢增加到90°的过程中，画出动态分析图如图所示.由图可看出，细线OA上的拉力先减小后增大，且当α＝30°时，FA最小，最小值为，而电线OB上的拉力一直减小，故A、B、C正确，D错误.

7.如图7所示，轻杆A端用铰链固定在竖直墙上，B端吊一重物.通过轻绳跨过定滑轮O用拉力F将B端缓慢上拉，滑轮O在A点正上方(滑轮大小及摩擦均不计)，且OA＞AB，在轻杆达到竖直位置前(　　)

图7

A.拉力F增大

B.拉力F大小不变

C.轻杆的弹力增大

D.轻杆的弹力大小不变

答案　D

解析　以B端为研究对象，受力分析：受重物的拉力T(等于重物所受的重力G)、轻杆的弹力FN和轻绳的拉力F，作出受力分析图如图所示.由平衡条件知，FN和F的合力与T大小相等，方向相反，根据三角形相似可得＝＝，又T′＝T＝G，解得FN＝G，F＝G；拉力F将B端缓慢上拉，∠BAO缓慢变小，AB、AO保持不变，BO变小，则轻杆弹力FN保持不变，拉力F变小，故D正确，A、B、C错误.