高中物理粤教版 (2019)必修 第二册第三章 万有引力定律本章综合与测试学案设计

这是一份高中物理粤教版 (2019)必修 第二册第三章 万有引力定律本章综合与测试学案设计，共16页。


一、人造卫星的变轨问题
导学探究 若飞船和空间站在同一轨道上，飞船加速能否追上前方的空间站？
答案 不能，因为飞船加速时，将做离心运动，从而离开这个轨道，不会追上空间站．
知识深化
1．变轨问题概述
(1)稳定运行
卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，即Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r).
(2)变轨运行
卫星变轨时，先是线速度大小v发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r发生变化．
①当卫星减速时，卫星所需的向心力F向＝meq \f(v2,r)减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变轨．
②当卫星加速时，卫星所需的向心力F向＝meq \f(v2,r)增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变轨．
2．实例分析：高轨道卫星的发射
(1)发射过程
如图1，发射卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道Ⅰ，在Q点点火加速做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ，在P点点火加速，使其满足eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)，进入圆轨道Ⅲ做圆周运动．
图1
(2)三个轨道上运行参量大小的比较
①速度：设轨道Ⅰ半径为r1，轨道Ⅲ半径为r3，卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在椭圆轨道Ⅱ上经过Q点和P点时的速率分别为vQ、vP，在Q点加速，则vQ>v1，在P点加速，则v3>vP，又因v1>v3，故有vQ>v1>v3>vP.
②加速度：无论在哪个位置，卫星均只受万有引力，由eq \f(GMm,r2)＝ma，得a＝eq \f(GM,r2)，同一位置加速度相同，所以不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过Q点，卫星的加速度都相同，同理，经过P点时的加速度也相同．
③周期：设卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运行的周期分别为T1、T2、T3，轨道Ⅰ半径为r1，轨道Ⅲ半径为r3，则椭圆轨道Ⅱ的半长轴a＝eq \f(r1＋r3,2)，r1(2019·启东中学高一下期中)2019年春节期间，中国科幻电影里程碑的作品《流浪地球》热播，影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程如图2所示，地球在椭圆轨道Ⅰ上运行到远日点B变轨，进入圆形轨道Ⅱ.在圆形轨道Ⅱ上运行到B点时再次加速变轨，从而最终摆脱太阳束缚．对于该过程，下列说法正确的是( )
图2
A．沿轨道Ⅰ运动至B点时，需向前喷气减速才能进入轨道Ⅱ
B．沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期
C．沿轨道Ⅰ运行时，在A点的加速度小于在B点的加速度
D．在轨道Ⅰ上由A点运行到B点的过程，速度逐渐增大
答案 B
解析 地球沿轨道Ⅰ运行至B点时，需向后喷气加速才能进入轨道Ⅱ，选项A错误；因轨道Ⅰ的半长轴小于轨道Ⅱ的半径，根据开普勒第三定律可知，地球沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期，选项B正确；根据a＝eq \f(GM,r2)可知，地球沿轨道Ⅰ运行时，在A点的加速度大于在B点的加速度，选项C错误；根据开普勒第二定律可知，地球在轨道Ⅰ上由A点运行到B点的过程中，地球逐渐远离太阳，速度逐渐减小，选项D错误．
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
1．判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断．
2．判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小．
3．判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据卫星做离心运动或近心运动的条件进行分析．
4．判断卫星的加速度大小时，可根据a＝eq \f(F万,m)＝Geq \f(M,r2)判断．
针对训练 如图3所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
图3
A．不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的速度都相同
B．不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同
C．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度
D．卫星在轨道2的任何位置都具有相同速度
答案 B
解析 在P点，沿轨道1运行时，地球对人造卫星的引力大于人造卫星做圆周运动需要的向心力，即F引>eq \f(mv\\al(12),r)，沿轨道2运行时，地球对人造卫星的引力刚好能提供人造卫星做圆周运动的向心力，即F引＝eq \f(mv\\al(22),r)，故v1二、双星或多星模型
1．双星模型
(1)如图4所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”．
图4
(2)特点
①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同．
②两星的质量分别为m1、m2，两者到圆心的距离分别为r1、r2，两者相距L，r1＋r2＝L，由牛顿第三定律得m1ω2r1＝m2ω2r2，得eq \f(r1,r2)＝eq \f(m2,m1)，即轨道半径与两者的质量成反比．
③两星之间的万有引力提供向心力
由eq \f(Gm1m2,L2)＝m1eq \f(4π2,T2)r1得m2＝eq \f(L2r14π2,GT2)
由eq \f(Gm1m2,L2)＝m2eq \f(4π2,T2)r2得m1＝eq \f(L2r24π2,GT2)
两星质量之和m1＋m2＝eq \f(4π2L2r1＋r2,GT2)＝eq \f(4π2L3,GT2)，形式上，类似于中心天体质量M＝eq \f(4π2r3,GT2).
2．多星系统
在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：
(1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同．
(2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的．
(3)常见模型(如图5所示)
A、B、C组成的三星
A、B、C、D组成的四星
图5
两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图6所示．已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，引力常量为G，求m1、m2的运行轨道半径r1和r2及运行周期T.
图6
答案 见解析
解析 双星间的万有引力提供了各自做匀速圆周运动的向心力，对m1：eq \f(Gm1m2,L2)＝m1r1ω2
对m2：eq \f(Gm1m2,L2)＝m2r2ω2，且r1＋r2＝L
解得r1＝eq \f(Lm2,m1＋m2)，r2＝eq \f(Lm1,m1＋m2)
由Geq \f(m1m2,L2)＝m1r1eq \f(4π2,T2)及r1＝eq \f(Lm2,m1＋m2)得
周期T＝2πLeq \r(\f(L,Gm1＋m2)).
宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图7所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，下列说法正确的是( )
图7
A．每颗星做圆周运动的角速度为eq \r(\f(Gm,L3))
B．每颗星做圆周运动的加速度大小与三星的质量无关
C．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则运动周期变为原来的2倍
D．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍
答案 C
解析 任意两星间的万有引力F＝Geq \f(m2,L2)，对任一星受力分析，如图所示，由图中几何关系知r＝eq \f(\r(3),3)L，F合＝2Fcs 30°＝eq \r(3)F，由牛顿第二定律可得F合＝mω2r，联立可得ω＝eq \r(\f(3Gm,L3))，a＝ω2r＝eq \f(\r(3)Gm,L2)，选项A、B错误；由周期公式可得T＝eq \f(2π,ω)＝2πeq \r(\f(L3,3Gm))，L和m都变为原来的2倍，则周期T′＝2T，选项C正确；由速度公式可得v＝ωr＝eq \r(\f(Gm,L))，L和m都变为原来的2倍，则线速度v′＝v，大小不变，选项D错误．
1.(卫星变轨问题)(多选)(2019·哈师大附中高一下月考)如图8所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，设卫星在轨道1和轨道3正常运行的速度和加速度分别为v1、v3和a1、a3，在轨道2经过P点时的速度和加速度为v2和a2，且当卫星在轨道1、2、3上正常运行时周期分别为T1、T2、T3，以下关系正确的是( )
图8
A．v1>v2>v3 B．v1>v3>v2
C．a1>a2>a3 D．T3>T2>T1
答案 BD
解析 卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，得线速度v＝eq \r(\f(GM,r))，所以v1>v3，沿椭圆轨道运行到远地点时，万有引力小于卫星所需向心力，所以应给卫星加速，增大所需的向心力，卫星在轨道3上经过P点的速率大于在轨道2上经过P点的速率，即v3>v2，则v1>v3>v2，故A错误，B正确；卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，得a＝eq \f(GM,r2)，所以a1>a3＝a2，故C错误；根据开普勒第三定律得eq \f(r3,T2)＝k，所以T12.(卫星、飞船的对接问题)如图9所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室于2016年10月19日自动交会对接成功．假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )
图9
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
答案 C
解析 飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室轨道半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室轨道半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误．
3．(双星问题)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，冥王星与星体卡戎的质量之比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O点运动的( )
A．轨道半径约为卡戎的eq \f(1,7)
B．角速度约为卡戎的eq \f(1,7)
C．线速度大小约为卡戎的7倍
D．向心力大小约为卡戎的7倍
答案 A
解析 双星系统内的两颗星运动的角速度相等，B错误；双星的向心力为二者间的万有引力，所以向心力大小相等，D错误；根据m1ω2r1＝m2ω2r2，得eq \f(r1,r2)＝eq \f(m2,m1)＝eq \f(1,7)，A正确；根据v＝ωr，得eq \f(v1,v2)＝eq \f(r1,r2)＝eq \f(1,7)，C错误．
4.(双星问题)如图10所示，两个星球A、B组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上O点做周期相同的匀速圆周运动．已知A、B星球质量分别为mA、mB，引力常量为G，求eq \f(L3,T2)(其中L为两星中心距离，T为两星的运动周期)．
图10
答案 eq \f(GmA＋mB,4π2)
解析 设A、B两个星球做匀速圆周运动的轨道半径分别为rA、rB，则rA＋rB＝L，
对星球A：Geq \f(mAmB,L2)＝mArAeq \f(4π2,T2)
对星球B：Geq \f(mAmB,L2)＝mBrBeq \f(4π2,T2)
联立以上三式求得eq \f(L3,T2)＝eq \f(GmA＋mB,4π2).
考点一 人造卫星的变轨问题
1.(多选)如图1所示，“嫦娥一号”探月卫星被月球捕获后，首先稳定在椭圆轨道Ⅰ上运动，其中P、Q两点分别是轨道Ⅰ的近月点和远月点，Ⅱ是卫星绕月做圆周运动的轨道，轨道Ⅰ和Ⅱ在P点相切，则( )
图1
A．卫星在轨道Ⅰ上运动时，在P点的线速度大于在Q点的线速度
B．卫星在轨道Ⅰ上运动时，在P点的加速度小于在Q点的加速度
C．卫星沿轨道Ⅰ运动到P点时的加速度大于沿轨道Ⅱ运动到P点时的加速度
D．卫星要从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，需在P点减速
答案 AD
解析 根据开普勒第二定律知，“嫦娥一号”卫星在轨道Ⅰ上运动时，在P点的线速度大于在Q点的线速度，故A正确；根据万有引力定律和牛顿第二定律得Geq \f(Mm,r2)＝ma，卫星的加速度a＝eq \f(GM,r2)，则知卫星在轨道Ⅰ上运动时，在P点的加速度大于在Q点的加速度，故B错误；卫星在轨道Ⅱ上运动到P点所受的万有引力等于在轨道Ⅰ上运动到P点所受的万有引力，根据牛顿第二定律知，C错误；卫星在轨道Ⅰ上到达P点时必须减速，使其受到的万有引力等于做圆周运动所需要的向心力，从而进入轨道Ⅱ，故D正确．
2.(2019·南通市期中)“嫦娥二号”卫星已成功发射，如图2所示，这次发射后卫星直接进入近地点在地面附近、远地点高度约38万公里的地月转移椭圆轨道，地球的球心位于该椭圆的一个焦点上，A、B两点分别是卫星运行轨道上的近地点和远地点．若卫星所受的阻力忽略不计，则( )
图2
A．运动到A点时其速率可能大于11.2 km/s
B．运动到B点时的速率大于运动到A点时的速率
C．若要卫星在A点所在的高度做匀速圆周运动，需在A点加速
D．若要卫星在B点所在的高度做匀速圆周运动，需在B点加速
答案 D
解析 11.2 km/s为第二宇宙速度，如果运动到A点时其速率大于11.2 km/s，将会摆脱地球引力的束缚，A错误；根据开普勒第二定律知，卫星在椭圆轨道近地点A的速率大于在远地点B的速率，B错误；因为由低轨道变轨到高轨道需要加速，由高轨道变轨到低轨道需要减速，所以，若要卫星在A点所在的高度做匀速圆周运动，需在A点减速，若要卫星在B点所在的高度做匀速圆周运动，需在B点加速，故C错误，D正确．
3.我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间实验室．如图3所示，关闭发动机的航天飞机仅在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆轨道的近月点B处与空间实验室对接．已知空间实验室C绕月轨道半径为r，运动周期为T，引力常量为G，月球的半径为R，忽略月球自转．那么以下选项正确的是( )
图3
A．月球的质量为eq \f(4π2r3,GT2)
B．航天飞机到达B处由椭圆轨道进入空间实验室圆轨道时必须加速
C．航天飞机从A处到B处做减速运动
D．月球表面的重力加速度为eq \f(4π2R,T2)
答案 A
解析 设空间实验室质量为m，月球质量为M，在圆轨道上，由Geq \f(mM,r2)＝meq \f(4π2r,T2)，得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，A正确；要使航天飞机在椭圆轨道的近月点B处与空间实验室C对接，必须在B点时减速，B错误；航天飞机飞向B处，根据开普勒第二定律可知，向近月点靠近做加速运动，C错误；月球表面物体所受的重力等于月球对物体的引力，则有mg月＝Geq \f(Mm,R2)，可得g月＝eq \f(GM,R2)＝eq \f(4π2r3,R2T2)，D错误．
考点二 双星、多星问题
4.(多选)(2019·启东中学高一下期中)科学家通过欧航局天文望远镜在一个河外星系中，发现了一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图4所示．这也是天文学家首次在正常星系中发现超大质量双黑洞，这对验证宇宙学与星系演化模型、广义相对论在极端条件下的适应性等都具有十分重要的意义．若图中双黑洞的质量分别为M1和M2，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动．根据所学知识，下列选项正确的是( )
图4
A．双黑洞的角速度大小之比ω1∶ω2＝M2∶M1
B．双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1
C．双黑洞的线速度大小之比v1∶v2＝M1∶M2
D．双黑洞的向心加速度大小之比a1∶a2＝M2∶M1
答案 BD
解析 双黑洞绕二者连线上的某一点做匀速圆周运动，周期相等，角速度大小也相等，故A错误；双黑洞做匀速圆周运动的向心力由它们间的万有引力提供，向心力大小相等，设双黑洞间的距离为L，由Geq \f(M1M2,L2)＝M1r1ω2＝M2r2ω2，解得双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1，故B正确；由v＝ωr得双黑洞的线速度大小之比v1∶v2＝r1∶r2＝M2∶M1，故C错误；由a＝ω2r得双黑洞的向心加速度大小之比a1∶a2＝r1∶r2＝M2∶M1，故D正确．
5．(多选)(2020·通辽实验中学高一下期中)宇宙中两颗靠得比较近且质量相差不大的星体，只受到彼此之间的万有引力而互相绕转，称为双星系统．设某双星系统中的A、B两星球绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图5所示．若AO>OB，则( )
图5
A．星球A的角速度一定大于星球B的角速度
B．星球A的质量一定小于星球B的质量
C．若双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越大
D．若双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
答案 BD
解析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，故A错误；根据万有引力提供向心力得eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2，因为AO>OB，即r1>r2，所以m16．(2019·信阳高级中学期中)2015年是爱因斯坦的广义相对论诞生100周年．广义相对论预言了黑洞、引力波、水星进动、光线偏折等七大天文现象．北京时间2016年2月11日23：40左右，激光干涉引力波天文台(LIGO)负责人宣布，人类首次发现了引力波．它来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞 (甲黑洞的质量为太阳质量的26倍，乙黑洞的质量为太阳质量的39倍)互相绕转最后合并的过程．合并前两个黑洞互相绕转形成一个双星系统，关于此双星系统，下列说法正确的是( )
A．甲、乙两个黑洞绕行的线速度大小之比为2∶3
B．甲、乙两个黑洞绕行的向心加速度大小之比为2∶3
C．质量大的黑洞旋转半径大
D．若已知两黑洞的绕行周期和太阳质量，可以估算出两黑洞之间的距离
答案 D
解析 两个黑洞相互绕转形成一个双星系统，双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度大小相等．根据万有引力提供向心力，有Geq \f(m1m2,L2)＝m1r1ω2＝m2r2ω2，L＝r1＋r2，T＝eq \f(2π,ω)，v1＝ωr1，v2＝ωr2，解得甲、乙两个黑洞绕行的线速度大小之比为3∶2，选项A错误；由a＝rω2可知甲、乙两个黑洞绕行的向心加速度大小之比为3∶2，选项B错误；因为m1r1＝m2r2，可知质量大的黑洞旋转半径小，选项C错误；根据T＝2πeq \r(\f(L3,Gm1＋m2))，若已知两黑洞的绕行周期和太阳质量，可以估算出两黑洞之间的距离，选项D正确．
7．(2019·深圳外国语学校月考)美国宇航局利用开普勒太空望远镜发现了一个新的双星系统，命名为“开普勒－47”，该系统位于天鹅座内，距离地球大约5 000光年．这一新的系统有一对互相围绕运行的恒星，运行周期为T，其中大恒星的质量为M，小恒星的质量只有大恒星质量的三分之一．已知引力常量为G，则下列判断正确的是( )
A．小恒星、大恒星的转动半径之比为1∶1
B．小恒星、大恒星的转动半径之比为1∶2
C．两颗恒星相距eq \r(3,\f(GMT2,3π2))
D．两颗恒星相距eq \r(3,\f(GMT2,4π2))
答案 C
解析 设两恒星间的距离为L，小恒星、大恒星的轨道半径分别为r1、r2，小恒星质量为M1，则3M1＝M，两恒星运动的周期相同，向心力来源于万有引力，有Geq \f(M1M,L2)＝M1r1eq \f(4π2,T2)＝Mr2eq \f(4π2,T2)，得轨道半径之比eq \f(r1,r2)＝eq \f(M,M1)＝3，而r1＋r2＝L，解得L＝eq \r(3,\f(GMT2,3π2))，选项C正确．
8．(2019·江苏卷)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图6所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G.则( )
图6
A．v1＞v2，v1＝eq \r(\f(GM,r)) B．v1＞v2，v1＞eq \r(\f(GM,r))
C．v1＜v2，v1＝eq \r(\f(GM,r)) D．v1＜v2，v1＞eq \r(\f(GM,r))
答案 B
解析 根据开普勒第二定律知，v1>v2，在近地点画出近地圆轨道，由eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)可知，过近地点做匀速圆周运动的速度v＝eq \r(\f(GM,r))，由于“东方红一号”在椭圆轨道上运动，所以v1> eq \r(\f(GM,r))，故B正确．
9．(多选)“嫦娥三号”卫星从地球发射到月球过程的路线示意图如图7所示．关于“嫦娥三号”的说法正确的是( )
图7
A．在P点由a轨道转变到b轨道时，速度必须变小
B．在Q点由d轨道转变到c轨道时，要加速才能实现(不计“嫦娥三号”的质量变化)
C．在b轨道上，卫星在P点的速度比在R点的速度大
D．“嫦娥三号”在a、b轨道上正常运行时，通过同一点P时，加速度大小相等
答案 CD
解析 卫星在轨道a上的P点进入轨道b，需加速，使万有引力小于需要的向心力而做离心运动，选项A错误；在Q点由d轨道转变到c轨道时，必须减速，使万有引力大于需要的向心力，选项B错误；根据开普勒第二定律知，在b轨道上，卫星在P点的速度比在R点的速度大，选项C正确；根据牛顿第二定律得eq \f(Gm地m,r2)＝ma，卫星在a、b轨道上正常运行时，通过同一点P时，加速度大小相等，选项D正确．
10．(多选)(2018·全国卷Ⅰ)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
答案 BC
解析 两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示
每秒转动12圈，角速度已知，
中子星运动时，由万有引力提供向心力得
eq \f(Gm1m2,l2)＝m1ω2r1①
eq \f(Gm1m2,l2)＝m2ω2r2②
l＝r1＋r2③
由①②③式得eq \f(Gm1＋m2,l2)＝ω2l，所以m1＋m2＝eq \f(ω2l3,G)，
质量之和可以估算．
由线速度与角速度的关系v＝ωr得
v1＝ωr1④
v2＝ωr2⑤
由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．
质量之积和各自的自转角速度无法求解．
11.(多选)(2019·雅安中学高一下期中)国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图8所示，此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，被吸食星体的质量远大于吸食星体的质量．假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中( )
图8
A．它们做圆周运动的万有引力保持不变
B．它们做圆周运动的角速度不断变大
C．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大
D．体积较大星体做圆周运动的线速度变大
答案 CD
解析 设体积较小者质量为m1，轨迹半径为r1，体积较大者质量为m2，轨迹半径为r2，两者球心之间的距离为L，由F＝eq \f(Gm1m2,L2)知F增大，A错误；由eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ω2r2得ω＝eq \r(\f(Gm1＋m2,L3))，因(m1＋m2)及L不变，故ω不变，B错误；半径r2＝eq \f(Gm1,ω2L2)，因m1增大，故r2变大，C正确；线速度大小v2＝ωr2，因r2变大，故v2变大，D正确．
12．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做匀速圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时匀速圆周运动的周期为( )
A.eq \r(\f(n3,k2))T B.eq \r(\f(n3,k))T C.eq \r(\f(n2,k))T D.eq \r(\f(n,k))T
答案 B
解析 设两恒星的质量分别为m1、m2，距离为L，
双星靠彼此的引力提供向心力，则有
Geq \f(m1m2,L2)＝m1r1eq \f(4π2,T2)
Geq \f(m1m2,L2)＝m2r2eq \f(4π2,T2)
并且r1＋r2＝L
解得T＝2πeq \r(\f(L3,Gm1＋m2))
当两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍时
T′＝2πeq \r(\f(n3L3,Gkm1＋m2))＝eq \r(\f(n3,k))T
故选项B正确．
13．(2019·扬州中学模拟)进行科学研究有时需要大胆的想象，假设宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统(忽略其他星体对它们的引力作用)，这四颗星恰好位于正方形的四个顶点上，并沿外接于正方形的圆形轨道运行，若此正方形边长变为原来的一半，要使此系统依然稳定存在，星体的角速度应变为原来的( )
A．1倍 B．2倍 C.eq \f(1,2) D．2eq \r(2)倍
答案 D
解析 设正方形边长为L，则每颗星的轨道半径为r＝eq \f(\r(2),2)L，对其中一颗星受力分析，如图所示，由合力提供向心力：
2×eq \f(Gm2,L2)cs 45°＋eq \f(Gm2,2L2)＝mω2r
得ω＝eq \f(\r(2＋\f(\r(2),2)Gm),L\r(L))，所以当边长变为原来的一半时，星体的角速度应变为原来的2eq \r(2)倍，故D项正确．
14．(2019·厦门一中模拟)如图9所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B中心之间的距离为L.已知星球A、B的中心和O三点始终共线，星球A和B分别在O的两侧，引力常量为G.
图9
(1)求两星球做圆周运动的周期；
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做匀速圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg.求T2与T1的平方之比．(计算结果保留四位有效数字)
答案 (1)2πLeq \r(\f(L,GM＋m)) (2)1.012
解析 (1)两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，其角速度相同，周期也相同，其所需向心力由两者间的万有引力提供，设A、B的轨道半径分别为r1、r2，由牛顿第二定律知：
对B有：Geq \f(Mm,L2)＝Meq \f(4π2,T2)r2
对A有：Geq \f(Mm,L2)＝meq \f(4π2,T2)r1
又r1＋r2＝L
联立解得T＝2πLeq \r(\f(L,GM＋m)).
(2)若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，根据题意可知m地＝5.98×1024 kg，m月＝7.35×1022 kg，地月距离设为L′，由(1)可知地球和月球绕其轨道中心的运行周期T1＝2πeq \r(\f(L′3,Gm地＋m月))
若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得
eq \f(Gm地m月,L′2)＝m月eq \f(4π2,T\\al(22))L′
解得T2＝2πeq \r(\f(L′3,Gm地))
则eq \f(T2,T1)＝eq \r(\f(m地＋m月,m地))
故eq \f(T\\al(22),T\\al(12))＝eq \f(m地＋m月,m地)≈1.012.