粤教版 (2019)必修 第一册第三章 相互作用第六节 共点力的平衡条件及其应用第1课时导学案及答案

第六节　共点力的平衡条件及其应用

第1课时　共点力的平衡条件　三力平衡问题

[学习目标]　1.知道什么是共点力，知道什么是平衡状态，掌握共点力的平衡条件.2.会利用合成或分解法分析三力平衡问题.

一、共点力的平衡

1.共点力：如果几个力作用在物体的同一点上，或者几个力的作用线相交于同一点，这几个力就称为共点力.

2.平衡状态：物体处于静止或者保持匀速直线运动的状态.

3.共点力的平衡：物体如果受到共点力的作用且处于平衡状态，就叫作共点力的平衡.

4.平衡条件的概念：为了使物体保持平衡状态，作用在物体上的力所必须满足的条件.

二、共点力的平衡条件

1.二力平衡：物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，其平衡条件是这两个力的大小相等、方向相反，作用在同一直线上.

2.多力平衡：物体受多个共点力的作用而处于平衡状态时，其平衡条件是所受合力为零.

1.判断下列说法的正误.

(1)作用在一个物体上的两个力，如果大小相等，方向相反，这两个力一定平衡.(　×　)

(2)某时刻物体的速度为零，物体一定处于平衡状态.(　×　)

(3)物体处于平衡状态时加速度一定为零.(　√　)

(4)如果一个物体受到三个力作用而保持静止状态，则其中任意两个力的合力与第三个力等大、反向.(　√　)

2.如图1，静止于倾角为30°的斜面上的物体，重力为10 N，则它受到的支持力为          N，摩擦力为         N.

图1

答案　5　5

一、共点力的平衡条件

1.平衡状态

(1)物体处于静止或保持匀速直线运动的状态.

(2)对平衡状态的理解

不管是静止还是匀速直线运动，速度保持不变，对应加速度为零，速度为零不代表a＝0.

[深度思考]　物体做竖直上抛运动，当运动到最高点时，速度为零，此时物体是否处于平衡状态？

答案　物体在最高点时速度为零，但加速度不为零，不是平衡状态.

2.共点力平衡的条件

(1)共点力平衡的条件是合力为0.

(2)表示为：F合＝0；或将各力分解到x轴和y轴上，满足Fx合＝0，且Fy合＝0.

①二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向、共线.

②三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线.

③多力平衡：若物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力与其余所有力的合力等大、反向、共线.

(3)若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，将表示这三个力的有向线段依次首尾相连，则会构成一个矢量三角形，表示合力为0.

[深度思考]　三个共点力大小分别为7 N、8 N和9 N，这三个力合力的最大值是多少？合力的最小值是多少？

答案　最大值是24 N，最小值是0.

物体在五个共点力的作用下保持平衡，如图2所示，其中F1大小为10 N，方向水平向右，求：

图2

(1)若撤去力F1，而保持其余四个力不变，其余四个力的合力的大小和方向；

(2)若将F1转过90°，物体所受的合力大小.

答案　(1)10 N　方向水平向左　(2)10 N

解析　(1)五个共点力平衡时合力为零，则其余四个力的合力与F1等大、反向，故其余四个力的合力大小为10 N，方向水平向左.

(2)若将F1转过90°得到F1′，则F1′与其余四个力的合力F垂直，F合＝＝ N＝10 N.

针对训练1　一个物体受到三个共点力的作用，如果三个力的大小为如下各组中的情况，那么有可能使物体处于平衡状态的是(　　)

A.1 N　4 N　7 N   B.2 N　6 N　9 N

C.2 N　5 N　8 N   D.6 N　8 N　6 N

答案　D

解析　能否使物体处于平衡状态，要看三个力的合力是否可以为零，方法是两个较小的力加起来是否大于或等于最大的那个力，如果是，物体就可能处于平衡状态，故D正确.

二、三力平衡问题

1.合成法：物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反，据此画出这两个力合成的平行四边形，利用几何知识求解.

2.正交分解法：物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解到相互垂直的x、y轴上，则x轴与y轴上各分力的合力均为零.

用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图3所示.已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，重力加速度为g，则ac绳和bc绳中的拉力大小分别为(　　)

图3

A.mg，mg   B.mg，mg

C.mg，mg   D.mg，mg

答案　A

解析　对结点c受力分析如图所示，设ac绳上的拉力为F1、bc绳上的拉力为F2，根据平衡条件知F1、F2的合力F与重力mg等大、反向，由几何知识得

F1＝Fcos 30°＝mg，F2＝Fsin 30°＝mg.选项A正确.

在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图4所示.仪器中一根轻质金属丝悬挂着一个金属球.无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度.风力越大，偏角越大.通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力.那么风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢？(重力加速度为g)

图4

答案　见解析

解析　选取金属球为研究对象，它受到三个力的作用，金属球处于平衡状态，这三个力的合力为零.

法一　力的合成法

如图甲所示，风力F和拉力T的合力与重力等大反向，由平行四边形定则可得F＝mgtan θ.

法二　正交分解法

以金属球为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立坐标系，如图乙所示.则水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合分别等于零，即

Fx合＝Tsin θ－F＝0

Fy合＝Tcos θ－mg＝0

解得F＝mgtan θ.

针对训练2　如图5所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心.一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点.设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，下列关系正确的是(　　)

图5

A.F＝   B.F＝mgtan θ

C.FN＝   D.FN＝mgtan θ

答案　A

解析　对小滑块进行受力分析，如图所示，将FN沿水平方向和竖直方向进行分解，根据平衡条件列方程.

水平方向有：FNcos θ＝F

竖直方向有：FNsin θ＝mg

联立解得F＝，FN＝.

分析平衡问题的基本思路

1.明确平衡状态(合力为零).

2.巧选研究对象.

3.受力分析(画出规范的受力分析图).

4.列平衡方程(灵活运用力的合成法、效果分解法、正交分解法).

5.求解或讨论(解的结果及物理意义).

考点一　平衡状态与平衡条件

1.(多选)下面关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是(　　)

A.如果物体的运动速度为零，则必处于平衡状态

B.如果物体的运动速度大小不变，则必处于平衡状态

C.如果物体处于平衡状态，则物体沿任意方向的合力都必为零

D.如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反

答案　CD

解析　物体运动速度为零时不一定处于平衡状态，A选项错误；物体运动速度大小不变、方向变化时，物体不做匀速直线运动，一定不处于平衡状态，B选项错误；物体处于平衡状态时，合力为零，物体沿任意方向的合力都必为零，C选项正确；物体受到三个共点力作用而处于平衡状态时，合力为零，则任意两个力的合力与第三个力等大反向，D选项正确.

2.光滑水平面上，某物体在水平方向两个力的作用下处于静止状态，将其中一个力F在大小不变的情况下，将方向在水平面内逆时针转过90°，保持另一个力的大小、方向都不变，则欲使物体仍能保持静止状态，必须再加上力的大小为(　　)

A.F  B.F  C.2F  D.3F

答案　B

解析　物体水平方向受到两个力的作用而处于静止状态，由物体的平衡条件可知，力F与另一个力一定等大反向，当力F转过90°时，力F与另一个力的合力大小为F，因此，欲使物体仍能保持静止状态，必须再加一个大小为F的力，故B项正确.

3.如图1所示，某个物体在F1、F2、F3、F4四个共点力的作用下处于平衡状态.若保持F4大小不变、方向改变180°，其余三个力的大小和方向均不变，则此时物体所受到的合力大小为(　　)

图1

A.F4   B.2F4

C.F4   D.F4

答案　B

4.如图2所示，一物体静止在斜面上，则斜面对物体的作用力方向(　　)

图2

A.沿斜面向上　　 B.垂直于斜面向上

C.竖直向上   D.无法判断

答案　C

解析　物体受三个力，重力、支持力和摩擦力，斜面对物体的作用力是支持力与摩擦力的合力，与重力等大反向.

考点二　三力平衡问题

5.(2020·梅河口市博文学校高一上期末)如图3所示，两根完全相同的轻弹簧a、b上端固定在竖直墙壁上，下端连接在小球上.小球静止时，弹簧a、b与竖直方向的夹角分别为53°和37°(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，则a、b两弹簧的伸长量之比为(　　)

图3

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　对小球受力分析，受到重力和两个弹簧的弹力，如图所示，

则有：＝＝

而Fa＝kxa，Fb＝kxb

解得＝

故A正确，B、C、D错误.

6.(2019·全国卷Ⅲ)用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如图4所示.两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°.重力加速度为g.当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2，则(　　)

图4

A.F1＝mg，F2＝mg   B.F1＝mg，F2＝mg

C.F1＝mg，F2＝mg   D.F1＝mg，F2＝mg

答案　D

解析　分析可知工件受力平衡，对工件受到的重力按照压紧斜面Ⅰ和Ⅱ的效果进行分解，如图所示，结合几何关系可知工件对斜面Ⅰ的压力大小为F1＝mgcos 30°＝mg，对斜面Ⅱ的压力大小为F2＝mgsin 30°＝mg，选项D正确，A、B、C错误.

7.如图5，屋檐下重为G的风铃被水平风力吹起，在偏离竖直方向θ角的位置保持静止，设风力为F，系风铃的轻绳对风铃的拉力为T，若F恒定，则下列说法正确的是(　　)

图5

A.T和G是一对平衡力

B.T一定小于F

C.T与F合力方向竖直向下

D.轻绳对风铃的拉力的大小为

答案　D

解析　以风铃为研究对象，受力分析如图所示，可知T与F的合力与重力是一对平衡力，A错误；由图可知，T一定大于F，B错误；T与F的合力与重力是一对平衡力，方向竖直向上，C错误；根据图中几何关系可得T＝，D正确.

8.(多选)如图6所示，两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上，两绳与竖直方向的夹角都为45°，日光灯保持水平，所受重力为G.则(　　)

图6

A.两绳对日光灯拉力的合力大小等于G

B.两绳的拉力和重力不是共点力

C.两绳的拉力大小均为G

D.两绳的拉力大小均为

答案　AC

解析　对日光灯受力分析如图，两绳拉力的作用线与重力作用线的延长线交于一点，这三个力是共点力，B选项错误；由于日光灯在两绳拉力和重力作用下处于静止状态，所以两绳的拉力的合力与重力G等大反向，A选项正确；由于两个拉力的夹角为直角，且都与竖直方向成45°角，则由力的平行四边形定则可知G＝，且F1＝F2，故F1＝F2＝G，C选项正确，D选项错误.

9.(2020·宿州市十三所重点中学高一第一学期期末)如图7所示，一只小鸟沿着较粗的均匀树枝从右向左缓慢爬行，在小鸟从A运动到B的过程中(　　)

图7

A.树枝对小鸟的合力先减小后增大

B.树枝对小鸟的摩擦力先减小后增大

C.树枝对小鸟的弹力先减小后增大

D.树枝对小鸟的弹力保持不变

答案　B

解析　树枝对小鸟的合力是支持力和摩擦力的合力，由二力平衡得，合力与小鸟所受的重力等大反向，因小鸟所受重力不变，所以树枝对小鸟的合力不变，A项错误.对小鸟进行受力分析如图所示，则树枝对小鸟的摩擦力先减小后增大，对小鸟的弹力先增大后减小，B项正确，C、D项错误.

10.(多选)(2021·华中师大一附中期中)如图8甲所示，笔记本电脑底座一般设置四个卡位用来调节角度.某同学将电脑放在底座上，为了获得更好的舒适度，由原卡位1调至卡位4(如图乙)，电脑始终处于静止状态，则(　　)

图8

A.电脑受到的支持力变大

B.电脑受到的摩擦力变大

C.底座对电脑的合力不变

D.电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和等于其重力

答案　AC

解析　对电脑进行受力分析，如图所示，电脑受到的支持力FN＝mgcos θ，由原卡位1调至卡位4，θ减小，FN增大，故A正确；电脑受到的摩擦力f＝mgsin θ，θ减小，f减小，故B错误；由平衡条件知，底座对电脑的作用力的合力与电脑重力等大反向，保持不变，故C正确；电脑受到的支持力与摩擦力两力矢量和与其重力大小相等，根据平行四边形定则，电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和大于其重力，故D错误.

11.在杂技表演中，A、B、C、D四人造型如图9所示，B演员两臂与竖直方向夹角均为30°，A演员两臂水平.已知C、D两演员的质量均为m，当地重力加速度为g.求：

图9

(1)B演员手臂的拉力大小；

(2)A演员手臂的推力大小.

答案　(1)mg　(2)mg

解析　以C演员为研究对象，将其视为质点，其受力如图所示，建立直角坐标系，将FB正交分解.

(1)竖直方向由平衡条件得

FBcos 30°＝mg

解得FB＝mg

(2)水平方向由平衡条件得

FBsin 30°＝FA

解得FA＝mg.

12.如图10所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为m2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，物体甲及人均处于静止状态.已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.g取10 m/s2.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.求：

图10

(1)轻绳OA、OB中的张力分别是多大？

(2)人受到的摩擦力是多大？方向如何？

(3)若人的质量m2＝60 kg，人与水平面之间的动摩擦因数为μ＝0.3，欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量m1最大不能超过多少？

答案　(1)m1g　m1g　(2)m1g　水平向左　(3)24 kg

解析　(1)以结点O为研究对象，进行受力分析如图，根据共点力的平衡条件：FOA与FOB的合力与重力等大反向，由几何关系得：

FOA＝＝m1g

FOB＝m1gtan θ＝m1g

(2)人在水平方向仅受绳OB的拉力FOB和地面的摩擦力f作用，根据平衡条件有

f＝FOB＝m1g，方向水平向左.

(3)人在竖直方向上受重力m2g和地面的支持力FN作用，因此有

FN＝m2g

要使人不滑动，需满足f≤Fmax＝μFN

联立以上各式解得m1≤24 kg.

13.(2020·聊城市高一上期末)如图11所示，质量均为m的A、B两球，用一根劲度系数为k的轻弹簧连接，静止于半径为R的光滑半球形碗中，弹簧水平，两球间距为R，且球的半径远小于碗的半径.则弹簧的原长为(　　)

图11

A.＋R   B.＋R

C.＋R   D.＋R

答案　D

解析　以A球为研究对象进行受力分析，小球受重力、弹簧弹力和碗的支持力，如图所示，由平衡条件得tan θ＝，

解得x＝，

根据几何关系得cos θ＝＝，故θ＝60°，

则tan θ＝，

所以x＝＝，

故弹簧原长x0＝x＋R＝＋R，

故D正确.