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    高中人教A版 (2019)5.1 导数的概念及其意义教案

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    这是一份高中人教A版 (2019)5.1 导数的概念及其意义教案,共13页。教案主要包含了学习目标,要点梳理,典型例题,思路点拨等内容,欢迎下载使用。

    导数的概念及几何意义

    【学习目标】

    1.知识与技能

    (1)理解导数的概念,知识瞬时变化率就是导数,能解释具体函数在这一点的导数的实际意义

    (2)通过函数图象直观的理解导数的实际意义,理解曲线在某一点处切线的意义,会求一些简单的初等函数在某点的切线方程.

    2.过程与方法

    经历导数概念的形成过程,掌握通过逼近无限的数学研究方法;经历由割线得到切线的形成过程,体会导数的思想及其内涵,完善对切线的理解和认识.

    3.情感、态度与价值观

    领悟导数的概念、切线的定义形成过程所体现的具体与抽象、特殊与一般、无限与有限、静止到运动的形成过程,体会导学的思想及其内涵,完善对切线的理解和认识.

    【要点梳理】

    要点一:导数的概念

    1导数的概念

    设函数,当自变量时,函数值从变到,函数值关于的平均变化率为

    趋于,即趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数点的导数,通常用符号表示,记作

    要点诠释:

    1)导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限,即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率.

    2)对于不同的实际问题,平均变化率富于不同的实际意义.如位移运动中,位移从时间的平均变化率即为这段时间的平均速度.

    3)增量可以是正数,也可以是负,但是不可以等于0的意义:0之间距离要多近有多近,即可以小于给定的任意小的正数.

    4时,Δy在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数.即存在一个常数与无限接近.

    5)函数点的导数还可以用符号表示

    要点二:导数的几何意义

    已知点是曲线上一定点,点是曲线上的动点,我们知道平均变化率表示割线的斜率.如图所示:

    当点无限接近于点,即时,割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线.也就是:当时,割线斜率的极限,就是切线的斜率.即:

    要点诠释:

    1)曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关.

    2)关于切线有两种不同的说法,求法也不同,具体求法与步骤参考类型二:

    ①曲线在点处的切线:点在曲线上,在点处作曲线的切线(是切点),此时数量唯一如图1

    ②曲线经过点处的切线:点位置不确定(在曲线上或曲线外),过点作曲线上任意位置的切线(只要切线经过点即可),数量不唯一如图2,无论点在曲线上还是曲线外, 过点都可以作两条直线与曲线相切

    3)直线与曲线相切直线和曲线有1个公共点;

    有别于直线和圆,如图,直线2与曲线有唯一公共点,但我们不能说直线2与曲线相切;而直线1尽管与曲线相切,却有不止一个公共点.

    这也是我们用割线的极限位置来定义切线,而不说与曲线只有一个公共点的直线叫做切线的原因.

    要点三:导数的物理意义

    在物理学中,如图物体运动的规律是,那么该物体在时刻的瞬时速度就是时的导数,即

    如果物体运动的速度随时间变化的规律是,那么物体在时刻的瞬时加速度就是时的导数,即

    要点诠释:表示函数处的瞬时变化率,而在很多物理量中都是借助变化率来定义的.比如,瞬时角速度是角度对时间的变化率;瞬时电流是电量对时间的变化率;瞬时功率是功对时间的变化率;瞬时电动势是磁通量对时间的变化率.最常用的是瞬时速度与瞬时加速度.

    【典型例题】

    类型一:导数定义的应用

    1用导数的定义,求函数x=1处的导数.

    【思路点拨】三步法求函数在某点处的导数值

    【解析】先求增量:

    再求平均变化率:

    求极限,得导数:

    【变式1】已知函数的图象上的一点及临近一点                 

    【解析】

    【变式2求函数 x=1处的导数

    【解析】

     

    ∴函数处的导数为6

    【变式3】求函数附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.

    【解析】∵

    2已知函数,求

    【解析】先求增量:

    再求平均变化率:

    求极限,得导数:

    【变式1】求函数内的导函数.

    【解析】∵

      

           

           

    【变式2】已知,求

    【解析】∵,所以

    时,

    3 ,则________

    【解析】根据导数定义:(这时增量),

    所以

    【变式1函数满足,则当无限趋近于0时,

    1                      

    2                      

    【答案】(1

           2

    【变式2

    1)求的值;

    2)求的值.

    【答案】

    【变式3设函数在点x0处可导,则________

    【答案】 原式

                    

                     

                    

    类型二:求曲线的切线方程

    4求曲线在点处的切线方程

    【解析】

    先求切线的斜率

    由条件可知

    由点斜式可得,过点的切线方程为:

    ,即

    【变式】求曲线上一点处的切线方程.

    【答案】先求

    再求

    由点斜式得切线方程:

    ,即

    5求曲线经过点的切线方程

    【思路点拨】本题要分点是切点和不是切点两类进行求解

    【解析】第一步:先求导函数

    第二步:验证点是否在曲线上

    由于,所以在曲线上

    第三步:分类讨论

    ①若点是切点,

    则切线的斜率为,于是切线方程为,即

    ②若点不是切点,设切点为

    则切线的斜率为,于是切线方程为:

    由于切线经过点,于是有,整理得:

    ,解得(舍去)

    所以切线方程是,即

    综上所述,所求切线方程为

    【变式1 已知函数,过点作函数图象的切线求切线方程.

    【解析】先求导函数:

    再验证:

    ,所以点在函数图象上

    最后讨论:

    1)当点是切点时,切线的斜率为,则切线方程为:

    2)当点不是切点时,设切点坐标为

    则切线的斜率为),所以切线方程为

    代入点得:

    整理得:

    此时切线方程为

    综上所述,所求的切线方程为

     

    【变式2已知曲线

    1)求曲线过点的切线方程;

    2)求满足斜率为的曲线的切线方程.

    【解析】

    1)由于点不在曲线上,设切点坐标为

    则切线的斜率为,切线方程为

    代入,得.所以所求的切线方程为.

    2)令,解得

    所以斜率为的切线的切点为

    所以所求的切线方程为

    【变式3】设函数(其中为常数)已知曲线在点(20)处有相同的切线的值,并写出切线的方程

    【答案】

                     

        

    由条件可知:

    所以切线的方程:

    类型三:导数的实际应用

    6蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系为,其中为体温(单位:℃)为太阳落山后的时间(单位:min)计算,并解释它的实际意

    【解析】

              

     

    表示太阳落山后2分钟蜥蜴的体温以的速度下降

    【变式1】设一个物体的运动方程是:,其中是初速度(单位:m),是时间(单位:s求:时的瞬时速度(函数s(t)的瞬时变化率).

    【解析】  

            的瞬时速度是

    【变式2】质点按规律做直线运动(位移单位:m,时间单位:s).若质点在时的瞬时速度为8 m / s,求常数的值.

    【答案】质点时的瞬时速度为

    .∴

     

    所以,即=2

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