数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试课时作业

第一章《集合与常用逻辑用语》单元质量测评

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列语句是命题的是(　　)

A．2x2＋3x－1>0   B．比较两数大小

C．撸起袖子加油干！   D．cos45°＝

答案　D

解析　A项不能判断真假，不是命题；B，C两项不是陈述句，不是命题；D项是命题．

2．下面所给三个命题中真命题的个数是(　　)

①若ac2>bc2，则a>b；

②若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；

③若二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该二次函数的图象与x轴有公共点．

A．0   B．1 

C．2   D．3

答案　C

解析　①该命题为真命题，由ac2>bc2，得c2>0，则有a>b.②该命题为真命题，根据圆内接四边形的定义可进行判定．③该命题为假命题，因为当b2－4ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数的图象与x轴无公共点．综上所述，故选C.

3．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)

A．∀x∈R，|x|＋x2<0

B．∀x∈R，|x|＋x2≤0

C．∃x∈R，|x|＋x2<0

D．∃x∈R，|x|＋x2≥0

答案　C

解析　“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“∃x∈R，|x|＋x2<0”．

4．已知x1，x2∈R，则“x1>1且x2>1”是“x1＋x2>2且x1x2>1”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由x1＞1且x2＞1得x1＋x2＞1＋1＝2，x1x2＞1×1＝1，所以“x1＞1且x2＞1”是“x1＋x2＞2且x1x2＞1”的充分条件；设x1＝3，x2＝，则x1＋x2＝＞2且x1x2＝＞1，但x2＜1，所以不满足必要性．故选A.

5．下列命题中，真命题有(　　)

①mx2＋2x－1＝0是关于x的一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．

A．1个   B．2个 

C．3个   D．4个

答案　A

解析　对于①来说，当m＝0时，mx2＋2x－1＝0是一元一次方程；对于②来说，抛物线y＝ax2＋2x－1对应的一元二次方程的判别式Δ＝4＋4a，当a<－1时，方程无实数根，此时抛物线与x轴无交点；③正确，A⊆B，B⊆A⇔A＝B；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故④错误．

6．“a2＋(b－1)2＝0”是“a(b－1)＝0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　a2＋(b－1)2＝0⇒a＝0且b＝1，而a(b－1)＝0⇒a＝0或b＝1，故“a2＋(b－1)2＝0”是“a(b－1)＝0”的充分不必要条件．

7．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为(　　)

A．3   B．6 

C．8   D．10

答案　D

解析　当x＝5时，y＝1,2,3,4；当x＝4时，y＝1,2,3；当x＝3时，y＝1,2；当x＝2时，y＝1，共10个．故选D.

8．在下列命题中，真命题的个数是(　　)

①∀x∈R，x2＋x＋3>0；

②∀x∈Q，x2＋1是有理数；

③关于x的方程x2＋|x|－6＝0有四个实数根；

④∃x，y∈Z,3x－2y＝10.

A．1   B．2 

C．3   D．4

答案　C

解析　①中，x2＋x＋3＝2＋>0，故①是真命题；②中，∵x∈Q，∴x2＋1是有理数，故②是真命题；③中，由x2＋|x|－6＝0，得|x|＝2，∴x＝±2，方程有两个实数根，故③是假命题；④中，当x＝4，y＝1时，结论成立，故④是真命题．由以上可知，正确选项为C.

9．给出下列四个命题：

①设集合X＝{x|x>－1}，则{0}∈X；

②空集是任何集合的真子集；

③集合A＝{y|y＝}，B＝{x|y＝}表示同一集合；

④集合P＝{a，b}，集合Q＝{b，a}，则P＝Q.

其中正确的命题是(　　)

A．①②   B．①③ 

C．③④   D．④

答案　D

解析　①中{0}与X均表示集合，不能用∈来表示集合与集合之间的关系，①不正确；②中空集是任何非空集合的真子集，②不正确；③中A＝{y|y≥0}，B＝{x|x≥1或x≤－1}，故不是同一集合，③不正确；④中根据集合中元素的无序性知④正确．故选D.

10．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是(　　)

A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0

B．菱形的两条对角线相等

C．∀x∈R，＝x

D．正方形是矩形

答案　D

解析　A中的命题是全称量词命题，但a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称量词命题，但是假命题；C中的命题是全称量词命题，但＝|x|，故是假命题；D中的命题是全称量词命题且是真命题，故选D.

11．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的(　　)

A．充分而不必要的条件

B．必要而不充分的条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要的条件

答案　C

解析　

若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，则可以推出A∩B＝∅；若A∩B＝∅，由Venn图可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁UC.故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件．

12．已知△ABC的边长为a，b，c，定义它的等腰判别式为D＝max{a－b，b－c，c－a}＋min{a－b，b－c，c－a}，则“D＝0”是“△ABC为等腰三角形”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　充分性：若“D＝0”，设c≥b≥a，则D＝max{a－b，b－c，c－a}＋min{a－b，b－c，c－a}＝c－a＋b－c＝0或c－a＋a－b＝0，∴a＝b或b＝c，

则△ABC一定为等腰三角形，所以充分性成立．

必要性：若△ABC为等腰三角形，设a＝b，当c≠a时，则b－c与c－a中必然有一个为最大值，另一个为最小值，则D＝b－c＋c－a＝b－a＝0；当c＝a时，D＝0＋0＝0，所以必要性成立．故选C.

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)

13．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这四句诗中，可作为命题的是________________．

答案　红豆生南国

解析　“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐代是事实，故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．

14．设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的________条件．

答案　充要

解析　因为x∈R，“x>1”⇔“x3>1”，所以“x>1”是“x3>1”的充要条件．

15．命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则命题綈p为________________．

答案　∃x∈R，x2＋x＋1＝0

解析　命题p是全称量词命题，根据全称量词命题的否定是改量词，否结论，则是∃x∈R，x2＋x＋1＝0.

16．由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m＝0”是假命题，求得实数m的取值范围是m>a，则实数a＝________.

答案　1

解析　因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m＝0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m≠0”是真命题，等价于方程x2＋2x＋m＝0无实根，所以Δ＝4－4m<0，解得m>1，又因为m的取值范围是(a，＋∞)，所以实数a＝1.

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断真假．

(1)p1：∃x∈R，x2－x＋1≤0；

(2)p2：所有的菱形都是平行四边形；

(3)p3：有的梯形是等腰梯形；

(4)p4：任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；

(5)p5：有一个素数含三个正因数．

解　(1)綈p1：∀x∈R，x2－x＋1>0；真命题．

(2)綈p2：存在一个菱形，它不是平行四边形；假命题．

(3)綈p3：所有的梯形都不是等腰梯形；假命题．

(4)綈p4：存在x∈Z，使x2的个位数字等于3；假命题．

(5)綈p5：所有的素数都不含三个正因数；真命题．

18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.

(1)若“命题p：∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；

(2)若“命题q：∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．

解　(1)∵A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，“命题p：∀x∈B，x∈A”是真命题，

∴B⊆A，B≠∅，∴

解得2≤m≤3.

(2)q为真，则A∩B≠∅.

∵B≠∅，∴m≥2，

∴∴2≤m≤4.

19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x≤m－1或x≥m＋1}．

(1)当m＝0时，求A∩B；

(2)若p：－1<x<3，q：x≤m－1或x≥m＋1，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解　(1)当m＝0时，B＝{x|x≤－1或x≥1}，

又A＝{x|－1<x<3}，所以A∩B＝{x|1≤x<3}．

(2)因为p：－1<x<3，q：x≤m－1或x≥m＋1.

q是p的必要不充分条件，所以m－1≥3或m＋1≤－1，所以m≤－2或m≥4.

20．(本小题满分12分)求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件．

解　若方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一个负实数根，则：当a＝0时，x＝－，符合题意．

当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实数根，则Δ＝4－4a≥0，解得a≤1，

当a＝1时，方程有且仅有一个负实数根x＝－1，

当a<1且a≠0时，若方程有且仅有一个负实数根，则<0，即a<0.又以上过程均可逆，

所以方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一个负实数根”的充要条件为“a≤0或a＝1”．

21．(本小题满分12分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.

证明　必要性：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根ξ，

则⇒ξ＝＝.

∴2＋2c·－b2＝0⇒a2＝b2＋c2，

∴∠A＝90°.

充分性：若∠A＝90°，则a2＝b2＋c2，解方程x2＋2ax＋b2＝0得x＝＝－a±c，解方程x2＋2cx－b2＝0得x＝＝－c±a，得x0＝－a－c是方程的公共根．

综上可知，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.

22．(本小题满分12分)已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，其中m∈Z，求这两个方程的根均为整数的充要条件．

解　∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，∴m≠0.

又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都有实根，

∴

解得－≤m≤1.

∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也是整数，

∴∴m为4的约数．

又－≤m≤1，m≠0，m∈Z，∴m＝－1或1.

当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根不是整数；

当m＝1时，两方程的根均为整数．又以上过程均可逆，∴这两个方程的根均为整数的充要条件是m＝1.