华师大版九年级下册第27章 圆27.1 圆的认识2. 圆的对称性优秀课后作业题

27.1.2圆的对称性同步练习华师大版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，AB是的直径，弦CD交AB于点P，，，，则CD的长为

A.
B.
C.
D. 8

2. 如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，则该圆弧所在圆心坐标是

A.
B.
C.
D.

3. 如图，半径为R的的弦，且于E，连结AB、AD，若，则半径R的长为

A. 1
B.
C.
D.

4. 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为     

A.
B.
C.
D.

5. 下列语句中，正确的有
   相等的圆心角所对的弧相等；
   等弦对等弧；
   长度相等的两条弧是等弧；
   经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

6. 下列说法正确的是

A. 等弧所对的圆心角相等 B. 优弧一定大于劣弧
C. 经过三点可以作一个圆 D. 相等的圆心角所对的弧相等

7. 如图，AB是的直径，弦于点E，，，则AE的长为   

A.
B.
C. 3cm
D. 2cm

8. 如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为

A.
B.
C.
D.

9. 九章算术是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”“用数学语言可表述为：“如图，CD为的直径，弦于E，寸，寸，求直径CD的长．“则

A. 13寸 B. 20寸 C. 26寸 D. 28寸

10. 如图，AB是的弦，半径于点D，若的半径为10cm，，则CD的长是

A. 2cm
B. 3cm
C. 4cm
D. 5cm

11. 如图，MN是的直径，点A是半圆弧MN的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点若，，则周长的最小值是     

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心作半径为3的，交直线于A、B两点，且弦，则a的值是     

A. 4 B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，已知的半径为5，，垂足为P，且，则_____________．
    
     

14. 如图，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，，脸盆的最低点C到AB的距离为，则该脸盆的半径为__________cm．

15. 如图，在中，弦，点C在AB上移动，连接OC，过点C作交于点D，则CD的最大值为______．
    
     

16. 在中，半径，弦，则圆心O到AB的距离为_________
17. 如图，在中，P为直径AB上的一点，过点P作弦MN，满足，若，，则MN的长是______cm．
     

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为，拱高CD为．求拱桥的半径；现有一艘宽3 m、船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，AB是的直径，弦于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．

求证：；

若，，求的半径．






 

20. 已知，如图，在中，两弦AB，CD相交于点E，求证：．

21. 如图，在中，，，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，求的度数． 
    
    
    
    
    
    
     

22. 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
    
     

请你补全这个输水管道的圆形截面；用尺规作图

若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．






 

23. 如图，在中，点C是优弧ACB的中点，D，E分别是OA，OB上的点，且，弦CM，CN分别过点D，E．
     

求证：．

求证：．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．
作于H，连结OC，如图，根据垂径定理由得到，再利用，可计算出半径，则，接着在中根据含30度的直角三角形的性质计算出，然后在中利用勾股定理计算出，所以．
【解答】
解：作于H，连结OC，如图，

，
，
，，
，
，
，
在中，
，
，
，
在中，
，，
，
．
故选C．  

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题考查了垂径定理的应用以及点与坐标的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
根据垂径定理可得：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，则点O即是该圆弧所在圆的圆心．然后由点A的坐标为，即可得到点O的坐标．
【解答】
解：如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，

则点O即是该圆弧所在圆的圆心．
点A的坐标为，
点O的坐标为．
故选：C．  

3.【答案】A
 

【解析】解：弦，
，
，
，
；
连接OA，OD，

，，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
由弦，可得，，继而可得，然后由圆周角定理，证得，即可判定；连接OA，OD，由，，可求得，继而可得是等腰直角三角形，则可求得，可解答．
此题考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等腰直角三角形的性质与判定等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
 

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
连接OB，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．
【解答】
解：连接OB，过点O作于点D，交于点C，如图所示：
，
，
的直径为52cm，
，
在中，，
，
故选C．  

5.【答案】A
 

【解析】解：相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中．
等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等．
长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧．
经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确．
故选：A．
根据圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识一一判断即可．
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识，解题的关键是理解基本概念，属于中考常考题型．
 

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查的是圆的认识，圆心角，弧，弦的关系有关知识，利用圆的认识，圆心角，弧，弦的关系对选项进行判断即可．
【解答】
解：等弧所对的圆心角相等，故本选项正确；
B.在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故本选项错误；
C.经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故本选项错误；
D.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误．
故选A．  

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】
此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．根据垂径定理可以得到CE的长，在直角中，根据勾股定理即可求得．
【解答】
解：为圆O的直径，弦，垂足为点E．
．
在直角中，
．
则．
故选A  

8.【答案】A
 

【解析】解：如图所示，
连接AO，过O作，交于点D，交弦AB于点E，
折叠后恰好经过圆心，
，
的半径为4，
，
，
，
在中，
．
．
故选：A．
连接AO，过O作，交于点D，交弦AB于点E，根据折叠的性质可知，再根据垂径定理可知，在中利用勾股定理即可求出AE的长，进而可求出AB的长．
本题考查的是垂径定理在实际生活中的运用及翻折变换的性质，根据题意画出图形，作出辅助线利用数形结合解答．
 

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题考查了垂径定理的应用，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系．连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．
【解答】
解：连接OA，，且，
，
设圆O的半径OA的长为x，则
，
，
在直角三角形AOC中，根据勾股定理得：
，化简得：，
即，
解得：
所以寸．
故选C．  

10.【答案】C
 

【解析】解：连接OA，则，

，OC过O，，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
故选：C．
连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理求出OD，再求出答案即可．
本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出AD的长是解此题的关键．
 

11.【答案】D
 

【解析】解：作点A关于MN的对称点，连结，交MN于点P，连结，OA，OB，PA，，

点A与关于MN对称，点A是半圆弧MN的一个三等分点，
，，
点B是劣弧AN的中点，，
，

又，．
，

周长的最小值是，故选D．

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了坐标与图形的性质、正比例函数图象上点的坐标的特征、勾股定理、垂径定理以及等腰直角三角形的性质作轴于C，交AB于D，作于E，连结先求出D点的坐标为，由垂径定理得出，再由勾股定理求出PE、PD，即可根据求解．
【解答】
解：作轴于C，交AB于D，作于E，连结PB，如图，
 

的圆心坐标是，
，，

把代入，得，
点的坐标为，

，为等腰直角三角形，

易知也为等腰直角三角形，

，
，

在中，，
，

，
，
．
故选B．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是垂径定理，勾股定理，正方形的判定和性质，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
连接OB，作于E，于F，根据弦、弧、圆心角、弦心距的关系定理得到，得到矩形PEOF为正方形，根据正方形的性质得到，根据垂径定理和勾股定理求出OE，根据勾股定理计算即可．
【解答】
解：连接OB，作于E，于F，
则，四边形PEOF为矩形，
，，，
，
矩形PEOF为正方形，
，
在中，，
，
故答案为．  

14.【答案】25
 

【解析】

【分析】
此题考查了垂径定理的应用，勾股定理，利用垂直于弦的直径平分这条弦，得到，是直角三角形，从而利用勾股定理求出半径．
【解答】

解：如图，设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设半径为Rcm，
，
 ，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为25．  

15.【答案】
 

【解析】解：连接OD，如图，

，
，
，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而时，OC最小，此时，
的最大值为，
故答案为：．
连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当时，OC最小，根据勾股定理求出OC，代入求出即可．
本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．
 

16.【答案】5
 

【解析】

【分析】

本题考查了垂径定理和勾股定理，关键是求出OC的长．过O作于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可． 

【解答】

解：过O作于C， 

， 

在中，由勾股定理得：，
故答案为 

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
过点O作于点D，连接ON，先根据AB是直径，，求出的半径，故可得出OP的长，因为，所以是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出OD的长，故可得出DN的长，由此即可得出结论．
【解答】
解：过点O作于点D，连接ON，


则，
是的直径，，，
的半径，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，
，
．  

18.【答案】解：如图，连接ON，OB．

，
为AB中点，
，
．
又，
设，则．
在中，根据勾股定理得：，
解得．
即：拱桥的半径是米，
，
当时，，则
，
解得，
米米．
此货船能顺利通过这座拱形桥．
 

【解析】本题主要考查了垂径定理，关键是作出适当的图形，然后利用垂径定理解答并比较大小，最后可以得出结论．
在中，设半径为r，利用勾股定理可以列出等式，即求出半径r；
作出示意图，求出图中DE的长度，然后与2米作比较即可．
 

19.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
．
解：设的半径为则，
，，
，，
，
在中，，
，
解得或舍弃，
的半径为6．
 

【解析】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
想办法证明即可解决问题．
设的半径为则，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
 

20.【答案】证明：连接BC、AD，
与对着同一段弧AC，
，
与中，

≌，
，
，
，
．
 

【解析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质，根据题意构造出全等三角形是解答此题的关键．先连接BC、AD，由全等三角形的判定定理可得出≌，根据三角形的对应边相等可得，进一步得出弧弧BC，由此可得．
 

21.【答案】解：连接CD，
在中，，，
，
，
，
，
的度数为．
 

【解析】首先连接CD，由在中，，，可求得的度数，又由等腰三角形的性质，易求得的度数，继而可得的度数．
此题考查了直角三角形的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
 

22.【答案】解：在弧AB上任取一点C连接AC，BC，作弦AC、BC的垂直平分线，两线交点作为圆心O，OA作为半径，画圆即为所求图形．

过O作于D，交弧AB于E，连接OB．

，
，
由题意可知，，
设半径为xcm，则，
在中，由勾股定理得：
，
，
解得．
即这个圆形截面的半径为10cm．
 

【解析】此题考查了垂径定理、勾股定理的应用，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
在弧AB上任取一点C，连接AC，BC，作弦AC，BC的垂直平分线，两线交点作为圆心O，OA作为半径，画圆即为所求图形．
过O作于D，交弧AB于E，连接OB，根据垂径定理得到，然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的方程求解．
 

23.【答案】证明：连接OC．
，
，
，，
，，
≌，
．
分别连结OM，ON，
≌，
，，
，
，，
，
，，
，
．
 

【解析】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
连接OC，只要证明≌即可解决问题；
欲证明，只要证明即可；