初中华师大版2. 圆的对称性优秀第2课时导学案

这是一份初中华师大版2. 圆的对称性优秀第2课时导学案，共9页。学案主要包含了知识链接，新知预习等内容，欢迎下载使用。

2.圆的对称性


第2课时 垂径定理





学习目标：


1.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）


2.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）





自主学习


一、知识链接


1.圆是_____对称图形，它的对称轴是____________________________.


2.如图，OA=_______,△OAB是_____三角形；若OD⊥AB，则AE=______,∠AOD=______,∴=_______.


二、新知预习


（预习课本P39-40）填空并完成练习：


(1)垂径定理：垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧.


(2)平分弦(不是直径)的直径______弦，并且_________弦所对的弧.


(3)平分弧的直径__________这条弧所对的弦.


练习：


如图，⊙O中，若OD⊥AB于点C，OB=13，AB=24，则BC的长为 ，OC的长为 .


如图，⊙O中，若C为AB的中点，OC=5，OB=13，则BC的长为 ，AB的长为 .


如图，⊙O中，若D为弧AB的中点，AB=24，OC=5，则OB的长为 .


合作探究


要点探究


探究点1：垂径定理及其推论


做一做 1.剪一张圆纸片，任意画一条直径CD后，再画一条垂直于CD的弦AB，垂足为E.将纸片沿着直径CD对折，对比AE和BE，和，和，你有什么发现？请证明你的结论.








【要点归纳】


垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.


推导格式：∵ CD是直径，CD⊥AB，∴ AE=BE，，.


想一想 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？





（2） （3） （4）


归纳总结：垂径定理的几个基本图形





【典例精析】


例1 如图，OE⊥AB于点E，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB= cm.





【针对训练】如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于点D，DC＝2cm，求半径OC的长.





【方法归纳】运用垂径定理求线段长度时，常用做辅助线的方法如下：①连结半径；②过圆心作弦的弦心距；③作垂直于弦的直径，为应用垂径定理创造条件.





思考探索 如果把垂径定理结论与题设交换一条，命题是真命题吗？


①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.


上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？


命题1 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.


(1) CD⊥AB吗？为什么？


(2) 与相等吗？与相等吗？为什么?











【要点归纳】垂径定理的推论——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.


命题2 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使D为的中点.


(1) CD⊥AB吗？请说明理由；


(2) AE=BE吗？请说明理由.














【要点归纳】垂径定理的推论——平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.





【典例精析】


例2 已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：.


方法一：证明：作直径MN⊥AB.








方法二：证明：取的中点M，连结OM.











探究点2：垂径定理的实际应用


例3 如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，求拱桥的半径．











【针对训练】如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD=10，EM=25．求⊙O的半径．














【方法归纳】在圆中涉及弦长a，半径r，弦心距(圆心到弦的距离)d，弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.





二、课堂小结


当堂检测


如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则OE=____cm.





第1题图 第2题图 第3题图


2.如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于_____mm.


3.如图，⊙O的弦AB=8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM=3，则MN的长为________.


4.如图，AB、BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的直径为5，BC=4，求AB的长.





5.如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点．


（1）依题意画出弦CD，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹）


（2）若AP=2，CD=8，求⊙O的半径.











6.如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB宽10cm，水最深3cm，求输水管的半径．








参考答案





自主学习


知识链接


1.轴 直径所在的直线 2.OB 等腰 BE ∠BOD


二、新知预习


（1）平分 平分 （2）垂直于 平分 （3）垂直平分


练习：


（1）12 5 （2）12 24 （3）13


合作探究


一、要点探究


探究点1：垂径定理及其推论


做一做：


1.AE=BE ，，


证明如下：∵OA=OB，OD⊥AB，∴AE=BE，∠AOD=∠BOD，∴.∵，∴，∴.


想一想： 解：（1）是. (2)不是，因为没有垂直. (3) 是. （4）不是，因为CD没有过圆心.


【典例精析】例1 16





【针对训练】 解: 连结OA，∵ CE⊥AB于点D，∴设OC=x，则OD=x-2，根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，解得 x=5cm.即半径OC的长为5cm.


思考探索


命题1 解：（1）CD⊥AB. 连结AO、BO，则AO=BO，又AE=BE，OE=OE, ∴△AOE≌△BOE ，


∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB. （2）由垂径定理可得= ， = .


命题2 解：（1）CD⊥AB，理由如下：∵D为的中点，∴，∴∠AOB=∠BOD.即OD平分∠AOB.∵OA=OB，∴OD⊥AB，即CD⊥AB.


（2）AE=BE.理由如下：由（1）知OA=OB，OD⊥AB，则AE=BE.


【典例精析】


例2 方法一：证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧），∴∴.


方法二：证明：取的中点M，连结OM.∴OM⊥AB，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴，


∴∴.


探究点2：垂径定理的实际应用


【典例精析】例3 解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，连结OA、OD．根据垂径定理，得AD=6，设圆的半径是r，则OD=r-4.根据勾股定理，得r2=36+（r-4）2，解得r=6.5，


答：拱桥的半径是6.5米．





【针对训练】 解：连结OC，∵M是弦CD的中点，EM过圆心O，∴EM⊥CD．∴CM=MD．∵CD=10，


∴CM=5．设OC=x，则OM=25-x，在Rt△COM中，根据勾股定理，得52+（25-x）2=x2．


解得 x=13．∴⊙O的半径为13．


当堂检测


3 2. 5 3. 2


4.解：连结OB，∵AO⊥BC，垂足为D，BC=4，∴BD=CD=2，∠BDO=90°.


由勾股定理得OD=，∴AD=OA+OD=4.在Rt△ADB中，由勾股定理得AB=


5.解：（1）画出弦CD，如图．依据：垂直于弦的直径平分弦．


（2）如图，连结OD，∵OA⊥CD于点P，AB是⊙O的直径，∴PD=CD.∵CD=8，∴PD=4．设⊙O的半径为r，则OD=r，OP=OA-AP=r-2，在Rt△ODP中，OD2=OP2+PD2，即r2=（r-2）2+42，解得r=5，即⊙O的半径为5．








6.解：设圆形切面的半径为r，过点O作OD⊥AB于点D，OD的延长线交⊙O于点E，则AD=BD=AB=×10=5（cm）.∵最深地方的高度是3cm，∴OD=r-3，在Rt△OBD中，OB2=BD2+OD2，即r2=52+（r-3）2，解得r=cm，∴输水管的半径为cm．











垂径定理
内容
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论
一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论(“知二推三”).
辅助线
两条辅助线：半径，弦心距.
基本图形及变式图形
构造直角三角形利用勾股定理直接计算或建立方程求解.